14 Independence of RV's

Question 1

(D) Independence of RV’s

Answer 1

X1, …, Xn RV’s on (Ω, A, P) are called independent, if for any intervals

P(X1 ∈ I1, …, Xn ∈ In) = P(X1 ∈ I1) · … · P(Xn ∈ In).

Question 2

(D) Chi^2 auf Unabhängigkeit: Teststatistik, Verteilung, Nullhypothese, Bezeichnung, qqPlot (3)

Answer 2

1. Teststatistik
   Tn := ∑i=1,r ∑j=1,s (Nij - n(Ni•/n)(N•j/n))^2 / n(Ni•/n)(N•j/n)
2. Verteilung
   Gegeben H0 ist die Teststatistik assymptotische verteilt nach Chi^2(r-1)(s-1).
3. Nullhypothese
   H0: pij = pi• * p•j (für alle i, j)
4. Annahmebereich
   asymptotisch exakter Annahmebereich I = [0,Chi^2(r-1)(s-1);1-a/2] (Chi^2… da gegeben H0)
5. Bezeichnung
   Der Chi^2-Test auf Unabhängigkeit wird als asymptotisch exakter Test bezeichnet. Das heißt, je größer n, desto exakter wird der Test.
6. qqPlot
   Die Verteilung der Teststatistik mit qqPlot überprüfen
   qqPlot(DS, dist=”chisq”, df=(r-1)(s-1))
   Die Annäherung wird besser, je größer n ist.

Question 3

(D) Runs test auf Unabhängigkeit: Teststatistik, Verteilung, R-Befehl, Unterschied Zufälligkeit (4)

Answer 3

1. Teststatistik
   R~ = (R - E[R]) / √Var[R]
   (wobei R die Anzahl der Runs ist – R-Befehl: lengths(rle(x)))
2. Verteilung
   ungefähr Standard-normalverteilt, wenn n0 und n1 groß genug
   (n0: Anzahl der Nullen, n1: Anzahl der Einsen)
3. R-Befehl
   x = sample(c(0,1), size, replace=TRUE)
   runs.test(as.factor(x))
4. Unterschied
   Es besteht kein Unterschied zwischen dem runs test of randomness und dem runs test of independence:
   X1, …, Xn random <==> Xi iid Zufallsvariablen

Dichotomisieren mit dem Median

Question 4

(D) Objekte im Chi^2-Test (pij,i•,•j,

Answer 4

1. joint class probabilities 
pij := P(X∈Ii, Y∈Jj)

2. margin class probabilities
pi• := P(X∈Ii) = ∑j pij
p•j := P(Y∈Jj) = ∑i pij