II Hypothesentests

Question 1

(D) Type 1/2 error

Answer 1

Ein Fehler 1. Art a(µ) ist das Ablehnen der Nullhypothese, obwohl diese wahr ist. (embarrassing)

Ein Fehler 2. Art ß(µ) ist das Annehmen der Nullhypothese, obwohl diese falsch ist.

Question 2

(D) Gütefunktion: Definition, Interpretation der Power, Werte (4)

Answer 2

1. Die Gütefunktion G ist definiert durch

μ –> G(μ) := Pμ(reject H0) (μ ∈ H0 U H1)

2. Die Power eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese korrekt abzulehnen.
3. μ ∈ H0: G(µ) ist Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.
4. µ ∈ H1: G(µ) ist Power des Tests (= 1 - ß(µ))

Question 3

(D) Gaußtest: Teststatistik, Verteilungen, Annahmebereiche, Gütefunktionen, Hypothesenpaare (6)

Answer 3

1. Tn := (X(n)– - µ0) / (𝜎/√n)
2. µ=µ0: N(0,1) standard normally distributed
3. µ≠µ0: N(𝜆,1) where 𝜆 = (µ - µ0) / (𝜎/√n),
4. Annahmebereiche
   I = [z_a, ∞) (linksseitig)
   I = (-∞, z_1-a] (rechtsseitig)
   I = [z_a/2, z_1-a/2] (beidseitig)
5. Gütefunktionen
   Ansatz: G(µ) = Pµ(reject H0) µ∈(H0 U H1)
6. Hypothesenpaare
   linksseitiger: H0: µ≥µ0, H1: µ

Question 4

(D) p value in Gauß test (3)

Answer 4

Let t the value of the test statistic Tn.

1. left sided: t ∈ [za, ∞) <==> a ≤ Φ(t)
2. right sided: t ∈ (-∞,z1-a] <==> a ≤ 1 - Φ(t)
3. two sided: t ∈ [za/2,z1-a/2] <==> a ≤ 2Φ(-|t|)

Question 5

(A) Test decision based on confidence interval

Answer 5

1. Ansatz:
   t ∈ [za, ∞) (falls linksseitig)
2. Umstellen:
   Umstellen nach µ0
3. Entscheidung:
   H0 akzeptieren, wenn µ0 die Bedingung erfüllt

Question 6

(D) p-value (definition and test decision) (2)

Answer 6

1. Definition
   Assume test has acceptance domains Aa for H0 which are decreasing in a, i.e., Aa’ C Aa for a’ > a. Let t be a value of the test statistic. Then

p(t) = inf{a ∈ (0, 1) : t /∈ Aa}

is called the p-value of t.

2. Interpretation
   - large p-value means that t is typical for H0
   - small p-value means that t is atypical for H0
3. Test decision based on p value
   accept H0 <==> a ≤ p(t), where t is the value of Tn

Question 7

(D) empirical variance, sample variance

Answer 7

1. empirical variance
   S_(n)^2 = 1/(n-1) ∑(Xi - X–)^2
2. sample variance
   V_Fn = 1/n ∑(Xi - X–)^2

Question 8

(D) t-Test: Teststatistik, Verteilung, Vergleich Gaußtest (4)

Answer 8

1. Tn := (X(n)– - µ0) / (√Sn^2/√n)
2. µ=µ0: zentrale t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden (nähert sich für wachsendes n N(0,1) an)
3. µ≠µ0: nichtzentrale t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter 𝜆 = (µ - µ0) / (𝜎/√n),
4. Alles wie beim Gaußtest, außer: ersetze Φ𝜆 durch Fn-1;𝜆 und za durch tn-1;a

Question 9

(D) Fehler 1. und 2. Art, Frage (Gaußtest) (3)

Answer 9

1. linksseitiger Gaußtest
   a(µ) = Pµ(reject H0) = Φ𝜆(za) ≤ Φ(za) = a (µ∈H0)
   ß(µ) = Pµ(accept H0) = 1 - Φ𝜆(za) (µ∈H1)
2. rechtsseitiger Gaußtest
   a(µ) = Pµ(reject H0) = 1 - Φ𝜆(z1-a) ≤ 1 - Φ(z1-a) = a (µ∈H0)
   ß(µ) = Pµ(accept H0) = Φ𝜆(z1-a) (µ∈H1)
3. Warum gelten die Ungleichungen?
   - für a(µ) haben wir µ∈H0

Question 10

(D) Φ𝜆(za)

Answer 10

Φ𝜆(za) = Φ(za - 𝜆) = Φ(za - (µ-µ0)/(𝜎/√n) )

Question 11

(D) Binomialtest: Teststatistik, Verteilung, Eigenschaften VF, Annahmebereiche, Gütefunktionen (5)

Answer 11

1. X1, …, Xn Zufallsvariablen mit Xi ~B(1,p). Dann ist die Teststatistik definiert durch
   Tn := ∑ Xi
2. Es gilt Tn ~ B(n,p).
3. Verteilungsfunktion Fp(z) streng monoton fallend in p.
4. Annahmebereiche
   - linksseitiger Test: I = [zp0;a^+, ∞)
   - rechtsseitiger Test: I = [0, zp0;1-a^-]
   - beidseitiger Test: I = [zp0;a/2^+, zp0;1-a/2^-]
5. Gütefunktionen
   - linksseitiger Test: G(p) = Pp(reject H0) = Pp(t N\in [zp0;a^+, ∞)) = Pp(t < zp0;a^+) = Fp(zp0;a^+)
   - rechtsseitiger Test: G(p) = Pp(reject H0) = Pp(t N\in [0, zp0;1-a^-]) = Pp(t > zp0;1-a^-) = 1 - Fp(zp0;1-a^-)
   - beidseitiger Test: G(p) = Pp(reject H0) = Pp(t N\in [zp0;1-a/2^+, zp0;a/2^-]) = Pp(t < zp0;1-a/2^+) + Pp(t > zp0;a/2^-) = Fp(zp0;1-a/2^+) + 1 - Fp(zp0;a/2^-)