Maths : Numération (didactique) Flashcards
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
Quel usage du nombre est mobilisé dans cette situation ?
Le nombre est ici mobilisé comme
- mémoire de la quantité afin de construire une collection de même cardinal (de nb d’éléments sans ordre) qu’une collection donnée.
C’est donc l’aspect cardinal du nombre qui est mobilisé.
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
. Quel est l’intérêt du quai ?
Le quai peut servir d’espace de vérification pour l’élève avant validation.
- vérifier que les deux collections, des places vides et des voyageurs sont équipotentes ou non
- aider les élèves à comprendre que la pensée doit précéder leur action
- permet la délimitation de l’ensemble des voyageurs, ainsi vue comme une collection à dénombrer.
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
Analyser la procédure mise en oeuvre par l’élève A. (description, justesse/erreur, analyse)
Élève A
- Il estime au jugé la quantité de jetons à ramener puis rapporte ceux qui sont en trop.
- parvient à réaliser la tâche
a peut-être seulement acquis la notion de « peu » ou « beaucoup ». Il estime qu’il y a « beaucoup de places vides » donc il ramène « beaucoup de voyageurs ». - Procédure non numérique. : l’élève n’utilise pas du tout la notion de nombre dans sa procédure. Ne semble pas avoir acquis la notion de nombre comme cardinal (nb d’éléments) d’une collection.
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
Analyser la procédure mise en oeuvre par l’élève B. (description, justesse/erreur, analyse)
Élève B :
- L’élève a dénombré les places vides, mémorisé le cardinal (nb d’éléments) et constitué une collection de voyageurs de même cardinal (nb d’éléments).
-procédure correcte
-il a utilisé le nombre comme mémoire de la quantité : l’élève revient rapidement avec 7 voyageurs
-Procédure numérique : sait que le nombre sert de mémoire de la quantité
-dénombrer une collection de 7 éléments.
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
Analyser la procédure mise en oeuvre par l’élève C. (description, justesse/erreur, analyse)
Élève C
- Il va chercher un voyageur pour chacune des places vides, jusqu’à épuisement des places.
- n’utilise pas la notion de nombre.
- Procédure non numérique car
- correspondance terme à terme
- usage du nombre dans son aspect cardinal non acquise
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
Analyser la procédure mise en oeuvre par l’élève D. (description, justesse/erreur, analyse)
Élève D :
- Il a scindé en deux la collection des places vides (4 et 3) et rapporte les deux quantités de jetons dans chacune de ses mains.
- Sa procédure est correcte et la tâche est accomplie. Le nombre est utilisé dans son aspect cardinal. Il sait dénombrer des collections de 3 à 4 éléments.
- Procédure numérique : on peut supposer qu’il a reconnu la configuration spatiale du dé pour les 4 places vides
- utilie le subitizing pour remarquer qu’en plus de ces 4, il en faut 3 autres.
« Vous devez aller chercher des voyageurs pour remplir le petit train, pas un de plus, pas un de moins. Vous poserez les voyageurs sur le quai. »
Matériel :
- des jetons représentant les voyageurs (ils sont placés dans une boîte éloignée dans un coin de la classe) ;
- un support pour chaque élève représentant des places libres ou occupées ;
- une partie libre (le quai) sur lequel seront posés les voyageurs rapportés avant validation. Le premier support proposé compte 7 places vides (blanches) et 3 places occupées (noires). Les places vides peuvent être organisées de différentes façons. Les élèves devront déposer les voyageurs sur le quai (zone grisée) avant de les faire monter à bord.
L’élève A a effectué deux voyages. Au premier voyage, il ramène une dizaine de jetons et au second il rapporte les jetons en trop ;
L’élève B a effectué un voyage, il revient très rapidement avec 7 jetons ;
L’élève C a effectué sept voyages, rapportant un seul jeton à la fois ;
L’élève D a effectué un voyage. Il revient avec 4 jetons dans une main et 3 jetons dans l’autre main
Proposer deux modifications de la tâche, que l’enseignant peut proposer pour amener les élèves A ou C à progresser dans leur utilisation du nombre ?
Première modification :
imposer de ne faire qu’un seul voyage.
Cette contrainte oblige à utiliser le nombre comme mémoire de la quantité pour réussir la tâche.
Deuxième modification :
diminuer le nombre de places libres pour rendre le dénombrement plus facile, et ainsi permettre à certains élèves de passer par le subitizing (et donc par le nombre) pour dénombrer les quantités.
Le jeu de Fabienne
Une enseignante veut faire renforcer la capacité « utiliser le nombre pour repérer une position » chez ses élèves de grande section.
Elle leur propose l’activité ci-dessous.
Un train modèle de 31 wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
L’élève dispose :
- d’un train personnel de même longueur, non décoré ;
- d’images identiques à celles du train modèle. L’élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
Phase 1 :
L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle.
Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est introduite par le maitre comme procédure de vérification.
Phase 2 :
La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel.
L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
- Quel usage du nombre est mobilisé dans cette situation ?
- aspect ordinal du nombre.
Comme mémoire pour repérer une position dans une file ordonnée… afin de retrouver ces positions sur un autre support.
Le jeu de Fabienne
Une enseignante veut faire renforcer la capacité « utiliser le nombre pour repérer une position » chez ses élèves de grande section.
Elle leur propose l’activité ci-dessous.
Un train modèle de 31 wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
L’élève dispose :
- d’un train personnel de même longueur, non décoré ;
- d’images identiques à celles du train modèle. L’élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
Phase 1 :
L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle.
Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est introduite par le maitre comme procédure de vérification.
Phase 2 :
La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel.
L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
2) Quelles vérifications permettent la phase 1 avant de proposer la phase 2 aux élèves ? Formuler deux attendus pour la première phase
La phase 1 : -
- se familiariser avec le matériel
- voir si les élèves ont compris l’activité (où positionner les images fournies sur leur train personnel).
- valider la procédure de la correspondance terme à terme qu’il pourra ensuite réinvestir dans la phase 2.
Le jeu de Fabienne
Une enseignante veut faire renforcer la capacité « utiliser le nombre pour repérer une position » chez ses élèves de grande section.
Elle leur propose l’activité ci-dessous.
Un train modèle de 31 wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
L’élève dispose :
- d’un train personnel de même longueur, non décoré ;
- d’images identiques à celles du train modèle. L’élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
Phase 1 :
L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle.
Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est introduite par le maitre comme procédure de vérification.
Phase 2 :
La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel.
L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
Les trains ont été modifiés :
Train 1 : a les décos placées proche des extrémités
Train 2 : a les décos placées plus au centre.
- Les deux trains ci-dessus permettent-ils de mobiliser de la même manière la capacité visée ?
Train 1 :
- l’élève utilise de tous petits nombres : « je compte 3 à partir de la gauche et je place le carré, je compte 2 après le carré et je place l’étoile. De l’autre côté du train, je compte 2 et je place le rond. ».
- éviter de dénombrer un à un et utiliser le subitizing
Train 2 :
- Grands nombre donc contraint d’utiliser le dénombrement de un en un pour repérer le nombre de cases vides à laisser avant de positionner ses images.
Capacitée visée
- « utiliser le nombre pour repérer une position » n’est pas mobilisée de la même manière dans les deux cas
Le jeu de Fabienne
Une enseignante veut faire renforcer la capacité « utiliser le nombre pour repérer une position » chez ses élèves de grande section.
Elle leur propose l’activité ci-dessous.
Un train modèle de 31 wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
L’élève dispose :
- d’un train personnel de même longueur, non décoré ;
- d’images identiques à celles du train modèle. L’élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
Phase 1 :
L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle.
Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est introduite par le maitre comme procédure de vérification.
Phase 2 :
La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel.
L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
Les trains ont été modifiés :
Train 1 : a les décos placées proche des extrémités
Train 2 : a les décos placées plus au centre.
- a. Sacha sait compter jusqu’à 8. Décrire comment Sacha peut procéder pour placer avec succès chacune des trois images du train modèle 2.
Expliquer que Sacha peut partir de la gauche pour atteindre le carré situé à 9 cases (dont 8 vides avant)
Une fois arrivé au carré, il compte 5 cases jusqu’à l’étoile.
Pour atteindre le rond, il part de la droite et compte 7 cases
Le jeu de Fabienne
Une enseignante veut faire renforcer la capacité « utiliser le nombre pour repérer une position » chez ses élèves de grande section.
Elle leur propose l’activité ci-dessous.
Un train modèle de 31 wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
L’élève dispose :
- d’un train personnel de même longueur, non décoré ;
- d’images identiques à celles du train modèle. L’élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
Phase 1 :
L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle.
Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est introduite par le maitre comme procédure de vérification.
Phase 2 :
La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel.
L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
Les trains ont été modifiés :
Train 1 : a les décos placées proche des extrémités
Train 2 : a les décos placées plus au centre.
4 b. Comment Sacha peut-il savoir s’il a réussi ?
- en faisant une correspondance terme à terme
- avec un train 2 (fourni par la prof) qu’il place en dessous de son train personnel
Situation 1 : Dans le cadre de la construction du nombre 3 en petite section, les élèves élaborent des affichages à l’aide de gommettes. Les affiches sont reproduites ci-dessous.
Collection n°1 : 3 étoiles de différentes formes, les unes sur les autres
Collection n°2 : 3 smiley de différentes tailles
Collection n°3 : 1 smiley, 1 étoile, 1 rectangle
Collection n°4 : 3 rectangles
Collection n°5 : 1 drapeau, 1 triangle, 1 carré
Donner trois intérêts d’un tel affichage.
- les éléments de la collection peuvent être identiques ou de taille différente sans que cela influe sur le comptage à effectuer.
- pas besoin que ce soit trois éléments identiques
- le cardinal d’une collection (càd son nombre d’éléments) est indépendant de la disposition spatiale des éléments, de la place occupée.
Situation 2 (CRPE 2021)
Dans une classe de Moyenne Section de maternelle, un enseignant propose le jeu « Les piquants des hérissons ».
L’enseignant propose à ses élèves de fabriquer, par groupes de 4 élèves, des hérissons en pâte à modeler.
Chaque hérisson devant avoir cinq piquants.
Consigne :
- « Vous allez composer des hérissons à 5 piquants en choisissant des petits piquants rouges ou des grands piquants verts.
- Un mélange des couleurs est possible.
- Vous devez faire le plus de hérissons possible
- les hérissons doivent être différents (ils ne doivent pas avoir autant de piquants de la même couleur) »
Matériel utilisé :
- Pâte à modeler (corps du hérisson) ;
- Petites pailles rouges et grandes pailles vertes.
- Est-ce l’usage « ordinal » ou l’usage « cardinal » du nombre qui est mobilisé dans cette séance ? Justifier la réponse.
aspect cardinal du nombre
- attribuer un nombre au cardinal de cette collection : réaliser des collections de cinq piquants
- mesure de la quantité d’élements en vrac.
Situation 2 (CRPE 2021)
Dans une classe de Moyenne Section de maternelle, un enseignant propose le jeu « Les piquants des hérissons ».
L’enseignant propose à ses élèves de fabriquer, par groupes de 4 élèves, des hérissons en pâte à modeler.
Chaque hérisson devant avoir cinq piquants.
Consigne :
- « Vous allez composer des hérissons à 5 piquants en choisissant des petits piquants rouges ou des grands piquants verts.
- Un mélange des couleurs est possible.
- Vous devez faire le plus de hérissons possible
- les hérissons doivent être différents (ils ne doivent pas avoir autant de piquants de la même couleur) »
Matériel utilisé :
- Pâte à modeler (corps du hérisson) ;
- Petites pailles rouges et grandes pailles vertes.
- Après la manipulation, les élèves représentent leurs solutions sur des hérissons dessinés. L’enseignant récupère les quatre productions ci-dessous.
Groupe 1 :
5 piquants verts
5 rouge
Groupe 2 :
1 rouge et 4 verts
2 rouge et 3 verts
3 rouge et 2 verts
4 rouge et 1 vert
Groupe 3
4 rouge et 1 vert
3 rouge et 2 verts
5 rouge
5 verts
1 rouge et 4 verts
Groupe 4
1 rouge 1 vert 2 rouge 1 vert = 3 rouge et 2 verts
1 rouge 1 vert 1 rouge 2 verts = 2 rouge et 3 verts
1 rouge 1 vert 1 rouge 1 vert 1 rouge = 3 rouge et 2 verts
2 verts 1 rouge 1 vert 1 rouge = 2 rouge et 3 verts
Analyser les productions de chacun des groupes d’élèves en termes de réussites et d’erreurs
Groupe 1
Réussite
Les deux hérissons conviennent : ils comportent bien 5 piquants chacun et sont différents.
Erreurs
Les élèves n’ont pas suivi la consigne précisant : « Un mélange des couleurs est possible ».
Groupe 2 :
Réussite
- Les quatre hérissons proposés conviennent : ils ont 5 piquants chacun et sont tous différents.
- stratégie pour déterminer les hérissons : on trouve 1 piquant rouge, puis 2, puis 3 puis 4
Erreurs
Les élèves ici n’ont pas bien compris la consigne précisant : « Un mélange des couleurs est possible ». =/ un mélange des couleurs est obligatoire. D’où que 4/6 hérissons.
Groupe 3 :
Réussite :
Les cinq hérissons proposés conviennent : ils comportent bien 5 piquants chacun et sont tous différents.
Erreurs
- Il ne manque au groupe 3 qu’un seul type de hérisson : le hérisson avec 2 piquants rouges et 3 piquants verts.
-confusion entre « 5 piquants ‘ » et « 5 hérissons », pensant qu’il y avait un lien entre les cardinaux de ces ensembles.
Groupe 4 :
Réussite :
2 hérissons différents qui comportent bien 5 piquants, donc qui conviennent. Mais les 4 hérissons proposés sont similaires deux à deux meme si emplacement des piquants différents
Erreurs
- Les élèves ont bien compris le début : « Vous devez faire le plus de hérissons possible, mais les hérissons doivent être différents… » mais ils ont occulté la fin « …ils ne doivent pas avoir autant de piquants de la même couleur. »
- Les élèves ont sans doute pensé que l’ordre des piquants donnait des hérissons différents.
