Maths : Les Fonctions Flashcards
Sous quelle forme s’écrit une fonction affine ?
F(x) = ax + b
a et b sont 2 nombres
Exemple : f(x) = 2x - 4/5
Les fonctions affines particulières :
Qu’est-ce qu’une :
fonction linéaire ?
fonction constante ?
Une fonction linéaire :
Une fonction où b = 0
Càd une fonction où y’a pas marqué b puisqu’il est = à 0
Exemple :
g(x) = ax
g(x) = 3x
—> une droite qui passe par l’origine
Une fonction constante :
h(x) = b
Exemple : h(x) = 4
—> droite parallèle à l’axe des abscisses
Le résultat est tjr b (4) car il n’y a pas de coef directeur (a) qui fait varier b en fonction de x.
Comment trouver “a” dans f(x) = ax + b en lisant un graphique ?
On prend 2 points du graphique qui ont une différence de 1 en abscisse
On part du 1er point, on fait +1 puis on regarde de combien on monte en ordonnée
Le nb en ordonnée est “a”
Comment trouver “b” dans f(x) = ax + b en lisant un graphique ?
On lit graphiquement par où passe la droite sur l’axe des ordonnée
Le nb où elle passe est b
Donner la représentation graphique de f(x) = x - 1
Si x = 3
Si x = 3
f(x) = f(3) = 3 - 1 = 2
Donc si x vaut 3, f(x) = 2
Donc le point A (3;2) appartient à (d)
Un micro-entrepreneur se lance dans la fabrication artisanale de confitures de fruits et il s’intéresse à la rentabilité de son entreprise.
1. La courbe en page suivante est la représentation graphique 𝐶𝑅 de la fonction 𝑅 qui modélise la recette obtenue (en euros) en fonction du nombre de pots vendus.
a. Quelle est la nature de cette fonction ? Justifier. On voit que la courbe est droite et passe par l’origine
C’est une fonction linéaire pcq
- elle est droite
- elle passe par l’origine
Un micro-entrepreneur se lance dans la fabrication artisanale de confitures de fruits et il s’intéresse à la rentabilité de son entreprise. 1. La courbe en page suivante est la représentation graphique 𝐶𝑅 de la fonction 𝑅 qui modélise la recette obtenue (en euros) en fonction du nombre de pots vendus.
b. En utilisant le graphique, estimer le prix auquel le micro-entrepreneur a décidé de vendre un pot de confiture
On lit le graph.
On voit que pour 600 pots vendus, la recette est de 3000€. Prix de vente = recette / pot vendu = 3000/600 = 5€
On considère que tous les pots fabriqués sont vendus.
Les coûts de fabrication sont estimés par le microentrepreneur à 3,25 € par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de 500 €.
On note 𝑥 le nombre de pots vendus et 𝐹(𝑥) le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de 𝑥.
a. Exprimer 𝐹(𝑥) en fonction de x
𝐹(𝑥) = 3,25𝑥 + 500
- On considère que tous les pots fabriqués sont vendus. Les coûts de fabrication sont estimés par le microentrepreneur à 3,25 € par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de 500 €. On note 𝑥 le nombre de pots vendus et 𝐹(𝑥) le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de 𝑥.
b. Dans le repère donné ci-dessus et sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction 𝐹.
Comment on fait ?
On utilise f(x) = ax + b
on remplace x par une valeur en abscisse au hasard (ex : 1000)
on remplace a par la recette : 3,25
on remplace b par 500 car c’est la variable qui ne bouge jamais
on résoud l’équation :
f(1000) = 3,25 x 1000 + 500
f(1000) =3250 + 500 = 3750
Exo les confitures. Par lecture graphique, estimer le nombre de pots vendus à partir duquel le micro-entrepreneur dégage un bénéfice.
Quand la seconde courbe est au dessus de la première (qu’elle la coupe)
On considère que tous les pots fabriqués sont vendus. Les coûts de fabrication sont estimés par le microentrepreneur à 3,25 € par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de 500 €. On note 𝑥 le nombre de pots vendus et 𝐹(𝑥) le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de 𝑥.
d. Trouver le résultat exact par un calcul.
La recette est supérieure aux coûts de fabrication se traduit par l’inéquation : 𝑅(𝑥) > 𝐹(𝑥)
R(x) est la 2e courbe qui représente ses recettes selon le nb de pots vendus et en ajoutant sa charge fixe.
et F(x) la première courbe qui représente ses benef selon le nb de pots vendus
Soit 5𝑥 > 3,25𝑥 + 500
5𝑥 − 3,25𝑥 > 500
1,75𝑥 > 500
𝑥 > 500/1,75
𝑥 > 285,71
C’est donc à partir de 286 pots vendus que le micro-entrepreneur dégagera un bénéfice
La figure ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, représente sept carrés dont les mesures des côtés, en centimètre, sont des nombres entiers consécutifs.
Les quatre plus petits carrés sont gris et les trois autres sont blancs.
On cherche s’il est possible de trouver des longueurs pour les côtés des carrés telles que la somme des aires des quatre carrés gris soit égale à celle des trois carrés blancs.
On envisage une résolution graphique. On choisit comme variable x la longueur en cm du côté du plus grand carré blanc. On admet que la somme des aires des carrés gris est : 4𝑥² − 36𝑥 + 86
Démontrer que l’expression algébrique/algébriquement de la somme des aires des carrés blancs est : 3𝑥² − 6𝑥 + 5.
Étant donné que les longueurs des côtés des trois carrés blancs sont, de droite à gauche, x, (x – 1) et (x – 2) (car les cotés des carrés sont des nb consécutifs donc qu’ils ont une différence de moins 1 et qu’on part du carré de droite qui est le plus grand pour aller vers le plus petit)
Utiliser les id remarquables :
(a+b)² = a² + 2 x a x b + b²
(a-b)² = a² - 2 x a x b + b² (on utilise celle-là ici)
(a+b) x (a-b) = a² - b²
les aires de ces trois carrés blancs valent 𝑥², (𝑥 − 1)² et (𝑥 − 2)².
La somme des aires des carrés blancs est :
𝑥² + (𝑥 − 1)² + (𝑥 − 2)²
= x² + 𝑥² − 2𝑥 + 1 + 𝑥² − 4𝑥 + 4
= 3𝑥² − 6𝑥 + 5.
Quelles sont les id remarquables :
Utiliser les id remarquables :
(a+b)² = a² + 2 x a x b + b²
(a-b)² = a² - 2 x a x b + b²
(a+b) x (a-b) = a² - b²
Comment déterminer graphiquement, si la situation des sept carrés semble avoir des solutions.
On cherche graphiquement des points d’intersection entre les 2 courbes.
On en remarque un à (3 ; 0) et un à (27 ; 2000)
les 2 solutions sont nos 2 x càd 3 et 27.
Donc le plus grand des carrés à ses cotés de longueur 3 ou 27cm.
Soit x la valeur en °C d’une température, et y la valeur en °F de la même température.
On admet qu’il existe entre y et x une relation de la forme :
y = a x + b.
On sait que pour x = 0, y = 32
On sait que pour x = 10, y = 50
Déterminer a et b.
Pour x = 0, on a y = 32
d’où : a x 0 + b = 32
donc b = 32
Pour x = 10, on a y = 50
d’où
a x 10 + 32 = 50
1,8 x 10 + 32 = 50
Donc y = a x + b
donc y = 1,8 x + 32
