Maths : Ensemble de nb Flashcards

Question 1

Q

Exercice 1
Cet exercice est à traiter sans calculatrice.

Dans chacun des cas suivants, trouver une écriture sous forme de fraction du nombre qui montre que celui-ci est décimal.

-3,2565
5
- (3/5)
101/125
1/16

Answer

A

Un nb décimal est un nb qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale, c’est-à-dire sous la forme : a/10ⁿ
a et n sont des entiers

-3,2565 = 32565 / 10 000 = - 32565 / 10⁴
—> le nb peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale donc c un nb décimal

5 = 50/10
—> 5 est décimal

-3/5 = -6/10
—> c’est décimal

101/125 = 101x8 / 125x8 = 808 / 1000
—> c’est décimal

1/16 = 1x625 / 16 x 625 = 625 / 10 000
—> c’est décimal

Question 2

Q

Déterminer l’écriture décimale des nb suivants :

37/100
1789/10 ⁴
36/25
5/8
250/125

Answer

A

37/100 = 0,37

1789/10 ⁴ = 0,1789

36/25 = (36 x 4) / (25x4) = 144/100 = 1,44

5/8 = 125x5 / 125x8 = 625 / 1000 = 0,625

250/125 = 250x8 / 125x8 = 2000/1000 = 2

Question 3

Q

On rappelle qu’une barre sur certains chiffres de la partie décimale signifie que l’on a une période de celle-ci.

Par exemple 0,4 (avec une barre sur le 4) = 0,4444 … (une infinité de 4)

; 7,345 (avec une barre sur 45) = 7,3454545 … (une infinité de 45)

Déterminer une écriture sous forme de fraction des nombres suivants :

0,444
0,4 (barre sur le 4)
2,89 (barre sur le 89)
7,345 (barre sur le 45)

Answer

A

Pour 0,444 :

0,444 = 444/1000

On pose a = 0,4 (barre sur le 4) = 0,444…

Comme la période ne contient qu’un chiffre, on multiplie 10 par a.
Donc 10a = 10 x 0,444 = 4,4444 ……..

On fait 10a - a
Donc 4,44 - 0,44 = 4
9a = 4
a = 4/9

4/9 est une écriture fractionnaire de 0,4 (barre sur le 4)

Pour 2,89 ( barre sur le 89)
Même chose sauf qu’on multiplie a par 100 car la période contient 2 chiffres tout de suite après la virgule

On est censé trouver :
100a - a = 287
99a = 287
a = 287/99

Pour a = 7,345 (barre sur le 45)
Attention la barre n’est pas direct après la virgule donc on multiplie a par 10. Puis on multiplie 10a par 100 (comme pour le précédent sauf que la c’est 10a et non a tout seul)
73,454545 x 100 = 7345,4545

1000a - 10a = 7272
990a = 7272
a = 7272/990
= 404/55

Question 4

Q

Exercice 2
On considère le nombre A = (1/4 +1)(1/5 -1) + 1/6

Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
Affirmation: le nombre A est un nombre décimal négatif.

Answer

A

A = (1/4 +1)(1/5 -1) + 1/6
A = (1/4 + 4/4) (1/5 - 5/5) + 1/6
A = (5/4) (-(4/5) + 1/6
A = -1 + 1/6
A = -6/6 + 1/6
A = -5/6

-5/6 est bien un nb négatif et rationnel puisque c’est une fraction avec 2 entiers.
Cependant, il n’est pas décimal car -5/6 est irréductible.
Donc l’affirmation est fausse

Question 5

Q

Exercice 3
1. Quelle est la nature du nombre 10/13 ?

Answer

A

C’est une fraction irréductible.
C’est aussi un rationnel comme son dénominateur ne comporte pas que « des 2 et/ou des 5 », non décimal (= il appartient à Q).

C’est donc aussi un réel (= il appartient à R) car tous les nb sont réels

Question 6

Q

Poser la division décimale de 10 par 13 et en déduire l’écriture périodique décimale de 10/13.

Answer

A

On pose la division, on trouve 10/13 = 0,7692307

Le même reste partiel « 10» se répète, donc le quotient sera composé de la même suite de décimales qui constitue la période. Celle-ci est composée des 6 chiffres : 769230.

Question 7

Q

Quelle est la valeur de la 2000ème décimale de 10/13 ? Justifier.

Dans l’exo précédent, on a trouvé que l’écriture périodique décimale de 10/13 est 769230.

Answer

A

Cherchons combien il y a de séquences de 6 décimales dans une suite de 2000 décimales :

2000 = 6x333 + 2

Une suite de 2000 décimales correspond donc à la répétition de 333 périodes, suivie des deux premières décimales de la période suivante.
La 2000ème décimale est donc égale 6.

On prend 769230 et on fait “1-2” et on tombe sur 6.

Question 8

Q

Exercice 4 :
Déterminer un nombre rationnel non décimal, écrit sous forme de fraction irréductible, compris entre 1/7 et 1/6.

Answer

A

Étape 1 : Réduisons les deux fractions au même dénominateur :
1/7 = 6/42
Et 1/6 = 7/42
On a le même dénominateur 42

Étape 2 : Multiplions numérateurs et dénominateurs par 2 (car on multiplie soit par 2 ou soit par 5 pour tomber sur un 10) :
6/42 = 6x2 / 42x2 = 12/84
Et 7/42 = 7x2 / 42x2 = 14/84

La fraction 13/84 est donc comprise entre 1/7 et 1/6
Donc c’est bien un nb rationnel puisque c’est un quotient de deux entiers.

Étape 3 : Montrons que cette fraction est bien irréductible et que ce nombre n’est pas décimal.
13 est un nombre premier
84 = 2 x 6 x 7 donc le numérateur et le dénominateur n’ont pas de facteurs communs et la fraction est bien irréductible.

La fraction s’écrit : 13/84 = 13/ 2x6x7

Le dénominateur ne contient pas uniquement des puissances de 2 et/ou de 5, donc ce n’est pas un nombre décimal. La fraction 13/84 convient donc au pb

Question 9

Q

Exercice 5 :
Le train Marseille-Lille part de la gare de Marseille avec des passagers.
Un quart d’entre eux voyagent en 1ère classe et le reste en 2eme classe.
Le train fait un arrêt en gare de Lyon.

Les trois huitièmes des passagers de la 1ère classe et le sixième des passagers de la 2de classe descendent en gare de Lyon et aucun ne monte.

Déterminer la proportion des passagers de 1ère classe puis de ceux de 2eme classe descendant en gare de Lyon par rapport au total des voyageurs.
On donnera les résultats sous forme d’une fraction irréductible.

Answer

A

Si 1/4 des passagers voyageant en 1ere classe, alors :
1 - 1/4 = 3/4 des passagers voyagent en 2e classe.

On a alors :
Pour la 1ere classe :
3/8 x 1/4 = 3/32 des passagers de la 1ere classe descendent en Gare de Lyon

Pour la 2e classe :
1/6 x 3/4 = 1/8 des passagers de la 2e classe descendent en Gare de Lyon

Question 10

Q

Exercice 5 :
Le train Marseille-Lille part de la gare de Marseille avec des passagers.
Un quart d’entre eux voyagent en 1ère classe et le reste en 2eme classe.
Le train fait un arrêt en gare de Lyon.

Les trois huitièmes des passagers de la 1ère classe et le sixième des passagers de la 2de classe descendent en gare de Lyon et aucun ne monte.

Déterminer la proportion des passagers de 1ère classe puis de ceux de 2eme classe descendant en gare de Lyon par rapport au total des voyageurs.

En 1 on a trouvé :
Pour la 1ere classe :
3/8 x 1/4 = 3/32 des passagers de la 1ere classe descendent en Gare de Lyon

Pour la 2e classe :
1/6 x 3/4 = 1/8 des passagers de la 2e classe descendent en Gare de Lyon

2)sachant que 800 passagers sont montés dans le train à Marseille, combien sont arrivés à Lille ?

Answer

A

Au départ de Marseille :
En 1ere classe :
1/4 x 800 = 200 passagers

En 2eme classe :
3/4 x 800 = 600 passagers

À Lyon :
En 1ere classe :
3/8 x 200 = 75 passagers descendent

En 2eme classe :
1/6 x 600 = 100 passagers descendent

Donc, il reste 800-75-100 = 625 passagers dans le train qui arriveront à Lille

Question 11

Q

Exercice 6
Dans une assemblée,
quarante personnes ont plus de quarante ans,
un quart de l’assemblée a entre trente et quarante ans
et un tiers de l’assemblée a moins de trente ans.

Quel est le nombre de personnes de cette assemblée ?

Answer

A

L’assemblée est partagée en trois catégories de personnes :
les plus de 40 ans, ceux qui ont entre 30 et 40 ans et les moins de 30 ans.

La fraction des moins de 40 ans représente donc : 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12

Le complémentaire à 1 représente donc la proportion des personnes de plus de 40 ans, soit : 1 - 7/12 = 5/12

Or, ces 5/12 de personnes représentent 40 personnes

Si on note N le nombre total de personnes dans l’assemblée, alors on a 5/12 x N = 40
Ce qui donne :

N = 40/5/12 = 40 x 12/5 = 8x12 = 96 personnes

Il y a donc 96 personnes dans cette assemblée

Question 12

Q

Exercice 7
Quatre enfants se partagent une tarte aux pommes de la façon suivante :
• Jean-Marc se sert en premier et en prend un tiers ;
• Sophie prend trois huitièmes de ce qu’a laissé Jean-Marc ;
Antoine et Rémi se partagent le reste de manière équitable.
À quelle fraction de la tarte correspond la portion de chaque enfant ?

Answer

A

Jean-Mare se sert en premier et en prend un tiers : il laisse donc 2/3 de la tarte.

Sophie prend trois huitièmes de ce qu’a laissé Jean-Marc : donc Sophie prend 3/8 x 2/3 = 6/24 = 1/4 de la tarte.

Il en reste alors 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12 de la tarte.
Antoine et Rémi se partagent le reste de manière équitable : ils prennent la moitié chacun de ce qui reste, soit : 5/12/2 = 5/12 x 1/2 = 5/24 de la tarte.

Les portions de chacun sont donc 1/3 pour Jean Marc, 1/4 pour Sophie, 5/24 pour Antoine et 5/24 pour Rémi.

Question 13

Q

Exercice 8
Dans cet exercice, on cherche une valeur approchée de racine carré de √ 55 sans utiliser la touche « racine carrée » de la calculatrice
1. Remplir le tableau ci-dessous et en déduire un encadrement à l’unité de √ 55

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x ²

Answer

A

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x² 1 4 9 16 25 36 49 64 81

Comme 55 est compris en 49 et 64, on a 7 < √55 < 8

Question 14

Q

Ex 9
On considère le nombre A = (√7 + 1) ² + (√7 - 1) ²

Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
Affirmation : le nombre A est un nombre irrationnel.

Answer

A

A = (√7 ² + 1) ² + (√7 - 1) ²
A = √7 ² + 2 x √7 x 1 + 1 ² + √7 ² - 2 x √7 x 1 + 1 ²
On développe à l’aide des identités remarquables.
A = 7 + 2√7 + 1 + 7 - 2√7 + 1
A = 16

16 est un entier naturel et l’affirmation est fausse. C’est un nombre rationnel. En effet, 16 est un entier (il appartient à N et à Z). Il est aussi un décimal et appartient donc à D (on peut écrire 16 = 160/10). C’est donc aussi un rationnel (= il appartient à Q), puisqu’on peut l’écrire sous forme d’une fraction de deux entiers. Il et donc également réel (il appartient
à R).

Question 15

Q

Exercice 10
1. Écrire F = V12 x V30 sous la forme avb, où a et b sont deux entiers, b étant le plus petit possible. Le nombre F est-il irrationnel ?

Answer

A

F = V12 x V30
= V2²x3x V3x2x5
= V2²x 3 x 3 x 2 x 5
= V2²x3²x2x5
= V2²x3² x V2x5
= 2 x 3 x V2x5
= 6V10

F est irrationnel car son écriture simplifiée 6V10 fait apparaître la racine carré d’un nb qui n’est pas un carré parfait (10 n’est pas le carré d’un entier)

Question 16

Q

Écrire G = V48 + 2V75 sous la forme aVb, où on a et b sont deux entiers, b étant le plus petit possible. Le nombre G est-il irrationnel

Answer

A

G = V48 + 2V75
= V3x4 ² + 2V3x5 ²
= 4V3 + 2 x 5V3
= 14V3

Oui 14V3 est irrationnel car il ne peut être exprimé comme le quotient de 2 entiers.
On trouve 28,2487.. sur la calculette

Question 17

Q

Écrire H = V2 / V3 sans radical (=sans racine carrée) au dénominateur. Le nb H est il irrationnel ?

Answer

A

H = V2 / V3
= (V2 x V3) / (V3 x V3)
= (V2x3) / 3
= V6 / 3

Point méthode : pour simplifier une écriture fractionnaire qui comporte une racine carrée au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par cette racine carrée.

Le nombre H est irrationnel car son écriture simplifiée V6 / 3 fait apparaître la racine carrée d’un nombre qui n’est pas un
carré parfait (6 n’est pas le carré d’un entier).

Question 18

Q

Exercice 13
Le cerveau humain est composé de 100 milliards de neurones. À partir de 30 ans, ce nombre de neurones baisse d’environ 100 000 par jour. En considérant qu’une année contient 365 jours, donner l’écriture décimale puis scientifique du nombre de neurones d’un humain âgé de 40 ans.
En considérant qu’une année contient 365 jours, donner le nombre de neurones d’un humain âgé de 40 ans.

Answer

A

En dix ans, il y a 365 x 10 = 3650 jours.
Le cerveau perd : 3 650 x 100 000 = 365 000 000 neurones (365 millions)
Il reste alors à un humain de 40 ans: 100 000 000 000 - 365 000 000
= 99 635 000 000 neurones

Son écriture scientifique est environ :
9,96 x 10 puissance10 neurones.

Question 19

Q

Exercice 14
Toutes les réponses seront données en notation scientifique.
Donner la réponse en notation scientifique.
Le cœur humain effectue environ 5 000 battements par heure.

Calculer le nombre de battements effectués en un jour.

Answer

A

Sachant qu’un jour dure 24 heures, on obtient : 24 x 5000 = 120000 = 1,2 x 10 puissance 5 battements

Question 20

Q

Exercice 14
Toutes les réponses seront données en notation scientifique.
Donner la réponse en notation scientifique.
Le cœur humain effectue environ 5 000 battements par heure.

Pour le 1 nous avons calculé le nombre de battements effectués en un jour.

Sachant qu’un jour dure 24 heures, on obtient : 24 x 5000 = 120000 = 1,2 x 10 puissance 5 battements

Calculer le nombre de battements effectués pendant une vie de 80 ans. On considère qu’une année correspond à 365 jours. Pour une vie de 80 ans. On considère qu’une année correspond à 365 jours

Answer

A

Pour une vie de 80 ans, on obtient :
80 × 365 × 1,2 × 10 puissance5
= 35040 × 10 puissance5
= 3,5 x 10 puissance4 x 10 puissance5
= 3,5 x 10 puissance9 battements,
soit 3 milliards et 500 millions de battements.

Question 21

Q

Exercice 15
Voici un programme de calcul.
* Choisir un nombre. Multiplier par 10 puissance11
* Multiplier par 10 puissance -5
* Diviser par 1 000.
1. Quel nombre (à donner sous son écriture scientifique) obtient-on avec ce programme de calcul lorsqu’on choisit au départ :
A = 2 ;
B = -500 ;
C = 0,035 ?

Answer

A

A = (2 x 10 ¹¹ x 10 -⁵) / 10 ³ = 2 x (10⁶/10³) = 2000 = 2 x 10³

B= (-500 x 10¹¹ x 10 -⁵) / 10³ = 500 x (10⁶/ 10³) = -5 x 10² x 10³ = -5 x 10⁵

C = (0,0035 x 10¹¹ x 10-⁵) / 10³ = 0,035 x (10⁶/10³) = 3,5 x 10¹

Question 22

Q

Exercice 15
Voici un programme de calcul.
* Choisir un nombre. Multiplier par 10 puissance11
* Multiplier par 10 puissance -5
* Diviser par 1 000.
1. Quel nombre (à donner sous son écriture scientifique) obtient-on avec ce programme de calcul lorsqu’on choisit au départ :
A = 2 ;
B = -500 ;
C = 0,035 ?

A = (2 x 10 ¹¹ x 10 -⁵) / 10 ³ = 2 x (10⁶/10³) = 2000 = 2 x 10³

B= (-500 x 10¹¹ x 10 -⁵) / 10³ = 500 x (10⁶/ 10³) = -5 x 10² x 10³ = -5 x 10⁵

C = (0,0035 x 10¹¹ x 10-⁵) / 10³ = 0,035 x (10⁶/10³) = 3,5 x 10¹

On note x le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de x le nombre obtenu avec le programme.

Answer

A

De la même manière, on obtient :
X x (10¹¹ x 10-⁵) / 10³
X x (10⁶ / 10³) = X x 10³ = 1000x

Question 23

Q

Exercice 15
Voici un programme de calcul.
* Choisir un nombre. Multiplier par 10 puissance11
* Multiplier par 10 puissance -5
* Diviser par 1 000.
1. Quel nombre (à donner sous son écriture scientifique) obtient-on avec ce programme de calcul lorsqu’on choisit au départ :
A = 2 ;
B = -500 ;
C = 0,035 ?

A = (2 x 10 ¹¹ x 10 -⁵) / 10 ³ = 2 x (10⁶/10³) = 2000 = 2 x 10³

B= (-500 x 10¹¹ x 10 -⁵) / 10³ = 500 x (10⁶/ 10³) = -5 x 10² x 10³ = -5 x 10⁵

C = (0,0035 x 10¹¹ x 10-⁵) / 10³ = 0,035 x (10⁶/10³) = 3,5 x 10¹

On note x le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de x le nombre obtenu avec le programme.

De la même manière, on obtient :
X x (10¹¹ x 10-⁵) / 10³
X x (10⁶ / 10³) = X x 10³ = 1000x

3.Donner alors un programme de calcul qui remplace le programme ci-dessus par un programme plus court, donnant le même résultat.

Answer

A

D’après la question précédente, on peut alors remplacer le programme de départ par :
* Choisir un nombre.
* Multiplier par 10 ³

Question 24

Q

Exercice 1 (CRPE 2022)
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Donner la bonne réponse en la justifiant.
Une réponse erronée n’enlève pas de point. Une réponse non justifiée ne rapporte pas de point.

4/25 est soit :

A) un nb réel mais n’est pas un nb rationnel

B) un nb rationnel mais n’est pas un décimal

C) un nb décimal mais n’est pas un nb entier

D) un nb entier

Answer

A

4/25 = 16/100 = 0,16 donc, cette fraction peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale ou d’un nombre à virgule dont la partie décimale est finie.

C’est donc un nombre décimal mais n’est pas un entier, puisque sa partie décimale n’est pas nulle.
La bonne réponse est C.

Question 25

Q

Exercice 1 (CRPE 2022)
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Donner la bonne réponse en la justifiant.
Une réponse erronée n’enlève pas de point. Une réponse non justifiée ne rapporte pas de point.

Le quart de 4/12 est soit..

A 1/3
B 4/3
C 16/48
D 4/48

Answer

A

Prendre le quart d’une quantité, c’est multiplier cette quantité par un quart. Donc :
(1/4) x (4/12) = 4/48
La bonne réponse est D.

Question 26

Q

Exercice 1 (CRPE 2022)
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Donner la bonne réponse en la justifiant.

Une réponse erronée n’enlève pas de point. Une réponse non justifiée ne rapporte pas de point.

(2/3) x5 + 5 x (1/3) est égal à :

A 5
B 20/9
C 15/15
D 20/90

Answer

A

Pour multiplier un nombre par une fraction, on multiplie le numérateur par ce nombre et le dénominateur est inchangé.

Donc : (2/3) x 5 + 5 x (1/3) = 10/3 + 5/3 = 15/3 = 5
La bonne réponse est A

Question 27

Q

Exercice 2 (CRPE 2023)
Pour chacune des deux affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier.

Affirmation 1 : « 257 est un nombre décimal.»

Answer

A

Un nombre entier est un nombre décimal. On sait en effet que l’ensemble des nombres entiers positifs (N) et inclus dans l’ensemble des nombres décimaux (D).
Donc l’affirmation 1 est vraie.

Remarque : Comme un nombre décimal est une fraction décimale, on peut aussi conclure que 257 est un nombre décimal puisqu’on peut l’écrire par exemple 2570/10

Question 28

Q

Vrai ou faux
Affirmation 2 : (7/3)- 8 est un nombre rationnel.

Answer

A

(7/3)-8 = (7/3) - (24/3) = (-17/3)

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers. Le nombre donné est bien rationnel et l’affirmation 2 est vraie.

Question 29

Q

Ex 3
On considère deux nb 29/55 et 39/75

Sont-ils décimaux ?

Answer

A

Pour savoir si ces rationnels sont décimaux, on écrit les fractions sous forme irréductible :

29/55 = 29 / (5x11)

La décomposition du dénominateur ne contient pas que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est non décimal.

39/75 = (3x13)/(3x5²) = 13/5²

La décomposition du dénominateur ne contient que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est décimal.

Remarque : on peut aussi montrer que 39/75 est décimal en cherchant son écriture sous forme de fraction décimale 39/75

= 13/5²
= (13x2²)/(5⁵x 2²)
= 52/100

Question 30

Q

Ex 3
On considère deux nb 29/55 et 39/75

Sont-ils décimaux ?

Pour savoir si ces rationnels sont décimaux, on écrit les fractions sous forme irréductible :

29/55 = 29 / (5x11)

La décomposition du dénominateur ne contient pas que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est non décimal.

39/75 = (3x13)/(3x5²) = 13/5²

La décomposition du dénominateur ne contient que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est décimal
Remarque : on peut aussi montrer que 39/75 est décimal en cherchant son écriture sous forme de fraction décimale
39/75 = 13/5² = (13x2²)/(5⁵x 2²) = 52/100

2) comparer ces 2 nombres

Answer

A

Pour comparer des rationnels, on peut les réduire au même dénominateur :
29/55 = 29/(5x11) = (5x29)/(5²x11) = 145/(5²x11)

39/75 = 13/5² = (11x13)/(11x5²) = 143/(11x5²)

Comme 143 < 145, on en déduit :
(39/75) < (29/55)

Question 31

Q

Ex 3
On considère deux nb 29/55 et 39/75

Sont-ils décimaux ?

Pour savoir si ces rationnels sont décimaux, on écrit les fractions sous forme irréductible :

29/55 = 29 / (5x11)

La décomposition du dénominateur ne contient pas que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est non décimal.

39/75 = (3x13)/(3x5²) = 13/5²

La décomposition du dénominateur ne contient que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est décimal
Remarque : on peut aussi montrer que 39/75 est décimal en cherchant son écriture sous forme de fraction décimale
39/75 = 13/5² = (13x2²)/(5⁵x 2²) = 52/100

2)comparer ces 2 nombres.

Pour comparer des rationnels, on peut les réduire au même dénominateur :
29/55 = 29/(5x11) = (5x29)/(5²x11) = 145/(5²x11)

39/75 = 13/5² = (11x13)/(11x5²) = 143/(11x5²)

Comme 143 < 145, on en déduit :
(39/75) < (29/55)

3) trouver un nb décimal strictement compris entre ces 2 nb.

Answer

A

On calcule 39/75 = 0,52

En effectuant la division à virgule (à la main ou en utilisant une calculatrice), on obtient : 29/55 = 0,52727

On peut alors affirmer que, par exemple, 0,521 vérifie : 39/75 < 0,521 < 29/55

0,521 est un décimal strictement compris entre 39/75 et 29/55.

Question 32

Q

Ex 3
On considère deux nb 29/55 et 39/75

Sont-ils décimaux ?

Pour savoir si ces rationnels sont décimaux, on écrit les fractions sous forme irréductible :

29/55 = 29 / (5x11)

La décomposition du dénominateur ne contient pas que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est non décimal.

39/75 = (3x13)/(3x5²) = 13/5²

La décomposition du dénominateur ne contient que des puissances de 2 ou de 5, donc 39/75 est décimal
Remarque : on peut aussi montrer que 39/75 est décimal en cherchant son écriture sous forme de fraction décimale
39/75 = 13/5² = (13x2²)/(5⁵x 2²) = 52/100

2)comparer ces 2 nombres.

Pour comparer des rationnels, on peut les réduire au même dénominateur :
29/55 = 29/(5x11) = (5x29)/(5²x11) = 145/(5²x11)

39/75 = 13/5² = (11x13)/(11x5²) = 143/(11x5²)

Comme 143 < 145, on en déduit :
(39/75) < (29/55)

On calcule 39/75 = 0,52

En effectuant la division à virgule (à la main ou en utilisant une calculatrice), on obtient : 29/55 = 0,52727

On peut alors affirmer que, par exemple, 0,521 vérifie : 39/75 < 0,521 < 29/55

0,521 est un décimal strictement compris entre 39/75 et 29/55.

4) Trouver une fraction qui ne soit pas un nombre décimal, strictement comprise entre ces deux nombres.

Answer

A

On a déjà vu que (réduction au même dénominateur) :
Donc : pour 29/55 = 145/(5 ² x 11)
= 145/275
Et pour 39/75 = 143/(11x 5²) = 143/275

Il en résulte que 144/275 est une fraction strictement comprise entre 39/75 et 29/55

Vérifions que 144/275 n’est pas un nb décimal.

Son dénominateur 275 s’écrit 5² x 11 et son numérateur, 144 n’est divisible ni par 5 ni par 11. La fraction 144/275 est donc irréductible.

La décomposition en facteurs premiers du son dénominateur ne contient pas que des puissances de 2 ou de 5, il en résulte que 144/275 n’est pas un décimal.

Ce nombre vérifie bien toutes les conditions requises

Question 33

Q

Exercice 4
On considère le nombre P = 3,12341234 …. (une infinité de « 1234»)

À quel ensemble de nombres, le plus petit possible au sens de l’inclusion, ce nombre appartient-il ? Justifier la réponse.

Answer

A

L’écriture décimale de P comporte une partie décimale illimitée et périodique de période 1234.

C’est donc une écriture d’un nombre rationnel non décimal.

Le plus petit ensemble auquel appartient le nombre P est donc l’ensemble Q

Question 34

Q

Exercice 4
On considère le nombre P = 3,12341234 …. (une infinité de « 1234»)

Déterminer une écriture sous forme de fraction du nb P.

Answer

A

On pose P = 3,12341234…
On multiplie P par 10000 pour obtenir un nombre de même période que lui :
10000Р = 31234,12341234 …

Puis, on soustrait membre à membre : 10000P - Z = 31231
D’où : 9999P = 31231
P= 9999P = 31231
P= 31231/9999

Remarque : comme on ne demande pas la fraction irréductible, on peut s’arrêter là (mais elle l’est !)

Question 35

Q

Exercice 4
On considère le nombre P = 3,12341234 …. (une infinité de « 1234»)

3 Determiner la 2024eme décimale de P

Answer

A

La valeur de la 2024e décimale se trouve en effectuant la division de 2024 par 4, puisque la période du nombre P est de quatre chiffres.
2024 = 4 x 506. Le reste de la division est nul.
Pour la 2024eme décimale, on arrive à la fin de la 506eme période. La 2024eme décimale est donc un « 4».

Question 36

Q

Excercice 5 : vrai ou faux

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation 1: Il existe des nombres rationnels qui sont des décimaux.

Answer

A

C’est vrai. Par exemple, 1/2 est un nombre rationnel, comme fraction de deux entiers et c’est aussi un décimal puisqu’on peut l’écrire sous la forme d’une fraction décimale : 1/2 = 5/10.

Question 37

Q

Ex 5 : vrai ou faux

Affirmation 2 : Tous les nombres entiers qui ont une racine carrée irrationnelle sont des nombres premiers.

Answer

A

C’est faux. Voici un contre-exemple :

6 est un entier qui a une racine carrée irrationnelle (car 6 n’est pas le carré d’un entier) et 6 n’est pas premier.

Question 38

Q

Vrai ou faux

Affirmation 5 : Le produit de deux nombres décimaux strictement positifs a et b est plus grand qu’au moins un de ces nb

Answer

A

C’est faux. Voici un contre exemple :
0,1 x 0,2 = 0,002 et 0,002 est inférieur à 0,1 et à 0,2.

Question 39

Q

Ex 7 ;
On donne les nb rationnels suivants
A = 364/1001
B = 384/275

Les nb A et B sont ils des décimaux ?

Answer

A

A = 364/1001 = (91x4) / (91x11) = 4/11

A n’est pas un décimal puisque le dénominateur n’est pas une puissance de 2 ou de 5.

B = 384/275 = (3 x 2⁷)/(25x11)
Cette fraction est irréductible et B n’est pas un nb décimal.

Question 40

Q

Ex 7 ;
On donne les nb rationnels suivants
A = 364/1001
B = 384/275

Les nb A et B sont ils des décimaux ?

A = 364/1001 = (91x4) / (91x11) = 4/11

A n’est pas un décimal puisque le dénominateur n’est pas une puissance de 2 ou de 5.

B = 384/275 = (3 x 2⁷)/(25x11)
Cette fraction est irréductible et B n’est pas un nb décimal.

2)Le nb A + B est-il un nb décimal ?

Answer

A

A+B = 4/11 + 384/275
= (4x25)/(11x25) + 384/275
= 484/275
= (44x11)/(25x11)
= 44/25

Or 44/25 = (44x4)/(25x4) = 176/100
Donc A + B est un nb décimal puisqu’on peut aussi l’écrire sous la forme d’une fraction décimale

Question 41

Q

Ex 7 ;
On donne les nb rationnels suivants
A = 364/1001
B = 384/275

Les nb A et B sont ils des décimaux ?

A = 364/1001 = (91x4) / (91x11) = 4/11

A n’est pas un décimal puisque le dénominateur n’est pas une puissance de 2 ou de 5.

B = 384/275 = (3 x 2⁷)/(25x11)
Cette fraction est irréductible et B n’est pas un nb décimal.

2)Le nb A + B est-il un nb décimal ?

A+B = 4/11 + 384/275 = (4x25)/(11x25) + 384/275 = 484/275 = (44x11)/(25x11) = 44/25

Or 44/25 = (44x4)/(25x4) = 176/100
Donc A + B est un nb décimal puisqu’on peut aussi l’écrire sous la forme d’une fraction décimale

3) 3. Les questions 1 et 2 pourraient servir de contre-exemple pour montrer qu’une affirmation est fausse.
Quelle serait cette affirmation ?

Answer

A

Affirmation: « la somme de deux rationnels non décimaux est un rationnel non décimal ».
Cette affirmation est fausse:
En effet, les deux questions précédentes ont permis de montrer qu’il existe deux rationnels non décimaux dont la somme est un rationnel décimal.

Question 42

Q

Ex 8 :
On considère A = 123/130

1) donner l’écriture décimale de ce nb

Answer

A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

Question 43

Q

Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?
A = 123/130

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

2) Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?

Answer

A

D’après la division de la question précédente, la valeur de la 2024eme décimale se trouve en effectuant la division de 2024 раг б.
2024 = 6 x 337 + 2.
Pour la 2024eme décimale, il y a d’abord le « 9 » comme chiffre des dixièmes qui ne se répète pas.

Puis on parcourt 337 périodes de 6 chiffres. La 2024eme décimale est donc la suivante, (puisqu’il y a un reste de 2, voir la division posée ci-dessus) : c’est un « 4 », premier chiffre de la période.

Question 44

Q

Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?
A = 123/130

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

2) Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?

D’après la division de la question précédente, la valeur de la 2024eme décimale se trouve en effectuant la division de 2024 раг б.
2024 = 6 x 337 + 2.
Pour la 2024eme décimale, il y a d’abord le « 9 » comme chiffre des dixièmes qui ne se répète pas.

Puis on parcourt 337 périodes de 6 chiffres. La 2024eme décimale est donc la suivante, (puisqu’il y a un reste de 2, voir la division posée ci-dessus) : c’est un « 4 », premier chiffre de la période.

Donner une troncature de ce nb au millième

Answer

A

Le millième correspondant à la 3e décimal donc cette troncature vaut 0,946.

Question 45

Q

Ex 8

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?
A = 123/130

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

2) Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?

D’après la division de la question précédente, la valeur de la 2024eme décimale se trouve en effectuant la division de 2024 раг б.
2024 = 6 x 337 + 2.
Pour la 2024eme décimale, il y a d’abord le « 9 » comme chiffre des dixièmes qui ne se répète pas.

Puis on parcourt 337 périodes de 6 chiffres. La 2024eme décimale est donc la suivante, (puisqu’il y a un reste de 2, voir la division posée ci-dessus) : c’est un « 4 », premier chiffre de la période.

Donner une troncature de ce nb au millième

Le millième correspondant à la 3e décimal donc cette troncature vaut 0,946.

4) Donner l’encadrement de A au centième

Answer

A

Un encadrement de A au centième correspond à un encadrement avec 2 décimales.
Donc : 0,94 < A < 0,95

Question 46

Q

Ex 8

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?
A = 123/130

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

2) Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?

D’après la division de la question précédente, la valeur de la 2024eme décimale se trouve en effectuant la division de 2024 раг б.
2024 = 6 x 337 + 2.
Pour la 2024eme décimale, il y a d’abord le « 9 » comme chiffre des dixièmes qui ne se répète pas.

Puis on parcourt 337 périodes de 6 chiffres. La 2024eme décimale est donc la suivante, (puisqu’il y a un reste de 2, voir la division posée ci-dessus) : c’est un « 4 », premier chiffre de la période.

Donner une troncature de ce nb au millième

Le millième correspondant à la 3e décimal donc cette troncature vaut 0,946.

4) Donner l’encadrement de A au centième

Un encadrement de A au centième correspond à un encadrement avec 2 décimales.
Donc : 0,94 < A < 0,95

5) donner une valeur approchée de A au dixième

Answer

A

Une valeur approchée de A au dixième s’écrit avec 1 décimale :
A = 0,9 (valeur approchée par défaut)
A= 1 (valeur approchée par excès)

Question 47

Q

Ex 8
1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?
A = 123/130

1) donner l’écriture décimale de A

Divisons 123 par 130

L’écriture décimale de A est 0,9461538… la période commence à la 2ème décimale et comporte les 6 chiffres «461538»

2) Quelle est la 2024eme décimale de ce nombre ?

D’après la division de la question précédente, la valeur de la 2024eme décimale se trouve en effectuant la division de 2024 раг б.
2024 = 6 x 337 + 2.
Pour la 2024eme décimale, il y a d’abord le « 9 » comme chiffre des dixièmes qui ne se répète pas.

Puis on parcourt 337 périodes de 6 chiffres. La 2024eme décimale est donc la suivante, (puisqu’il y a un reste de 2, voir la division posée ci-dessus) : c’est un « 4 », premier chiffre de la période.

Donner une troncature de ce nb au millième

Le millième correspondant à la 3e décimal donc cette troncature vaut 0,946.

4) Donner l’encadrement de A au centième

Un encadrement de A au centième correspond à un encadrement avec 2 décimales.
Donc : 0,94 < A < 0,95

5) donner une valeur approchée de A au dixième

Une valeur approchée de A au dixième s’écrit avec 1 décimale :
A = 0,9 (valeur approchée par défaut)
A= 1 (valeur approchée par excès)

Donner l’arrondi de A au dix millième.

Answer

A

Le dix millième correspond à la 4eme décimale, donc cet arrondi vaut 0,9462. (On arrondit ici a l’entier supérieur, parce que la 5e décimale est supérieure ou égale à 5.
C’est un «5»

Question 48

Q

Situation 1 : un professeur décide de faire travailler ses élèves sur le jeu du super casino. Ils ils leur distribue les règles suivantes :
Règle du jeu du super casino. Trois joueurs. Un croupier. 30 cartes nombre de un à 30.
Chaque joueur tire une carte et commande au croupier, les plaques correspondantes au nombre tiré
Après chaque tirage, chaque jour fait les échanges, si nécessaire, de la façon suivante :
–10 petits carrés jaunes contre une barre rouge
–10 barres rouges contre une enveloppe
Une partie se joue en six tirages. Le gagnant est celui qui marque le plus de points.

Voici les plaques, barres, carrés que les enfants ont gagnés, qui a gagné ?

Quels sont les objectifs de cet exercice ?

Answer

A

comprendre la notion de groupements par 10 pour l’échanger contre une unité de rang supérieur
La réitération : c la même chose pour former une centaine, il en faut 10.
On ne peut garder plus de 9 unités sans faire d’échange

Question 49

Q

Situation 1 : un professeur décide de faire travailler ses élèves sur le jeu du super casino. Ils ils leur distribue les règles suivantes :
Règle du jeu du super casino. Trois joueurs. Un croupier. 30 cartes nombre de un à 30.
Chaque joueur tire une carte et commande au croupier, les plaques correspondantes au nombre tiré
Après chaque tirage, chaque jour fait les échanges, si nécessaire, de la façon suivante :
–10 petits carrés jaunes contre une barre rouge
–10 barres rouges contre une enveloppe
Une partie se joue en six tirages. Le gagnant est celui qui marque le plus de points.
Pourquoi les plaques de 10 ont-elles deux faces différentes, l’une unie et l’autre quadrillé ?

Answer

A

Conceptualiser la dizaine comme nouvelle unité valant 10 carreaux

Question 50

Q

Situation 2
Les exercices suivants ont été proposés au tableau dans une classe de CM1 au mois de novembre :
Exercice 1 : Écrire en chiffres le nombre deux-millions-trois-cent-quarante-mille-cent-cinq.
Exercice 2 : Écrire en chiffres le nombre dix-sept-millions-deux-mille-cinquante-huit.
L’exercice 1 est corrigé collectivement avant que l’exercice 2 ne soit donné aux élèves.

Dans les séances précédentes, les élèves ont travaillé l’écriture des grands nombres, ce qui a conduit à l’introduction, pour faciliter la lecture, d’un espace entre les classes qui correspondent à des tranches de trois chiffres, et l’enseignant a conclu: « On remplace les mots millions et mille par des espaces ».
Voici les productions relevées pour chacun des exercices :
Exercice 1 :
2 340 105 : 17 élèves
2 340 500: 6 élèves
2340 050: 1 élève
200003004015015 : 1 élève
234500: 1 élève

Exercice 2 :
17 002 058 : 11 élèves
17 200 058 : 5 élèves
17 200 58 : 2 élèves
172 058 : 1 élève
17 2000 058 : 1 élève
17 2000 58: 1 élève
17 2 58: 5 élèves

Explique la différence de réussite entre les 2 exercices ?

Answer

A

Réponses : deux millions trois cent quarante mille cent cinq = 2 340 105
dix-sept millions deux mille cinquante-huit = 17 002 058
Ex 1 : on entend “deux”, on écrit “2”, on entend “millions”, on écrit un espace, on entend “trois cent quarante”, on écrit *340”, etc.
Ex 2 : il ne suffit pas d’écrire en chiffres ce que l’on entend avant ou après les mots “millions” et “mille”, il faut ajouter des zéros pour constituer des tranches de trois chiffres: on entend “dix-sept”, on écrit *17”, on entend “millions”, on écrit un espace, on entend “deux”, il faut écrire non pas *2” mais *002”, etc.
Le deuxième exercice met en échec la règle incomplète donnée par le maitre.

Question 51

Q

Situation 3 : exo sur les trombones, colliers, sachets, boîte

Consigne : Combien de trombones à ton dans la collection dessinée ? Écris ce nb en chiffres

quel est l’apprentissage visé ? Citer 2 compétences mathématiques.

Answer

A

Aspect positionnel du nb (écrire un nb dont on connaît les différents rangs (u,d,c))
Aspect décimal du nb (effectuer des échanges)

Question 52

Q

Après l’exercice des trombones, le maître porooose ensuite l’exo suivant :
«Écris le nb représenté par chaque étiquette :
6 dizaines, 4 unités, 3 centaines
7 unités, 9 centaines
6 dizaines, 13 unités, 8 centaines, 5dizaines

Quel pourrait être l’intérêt d’un tel choix ?

Answer

A

axer l’apprentissage sur les échanges et sur l’écriture du nb dont on connaît les différents rangs = travailler aspect décimal et positionnel

Question 53

Q

Ex 4 : voici des nombres :
50 267, 6076, 20681…
Consigne : Recopie les nombres qui ont :
6 chiffres de centaines
206 pour nb de centaines
0 pour chiffre des milliers
40 pour nombre de milliers
740 pour nombre de milliers

Quel intérêts de proposer cet exo à des C3 ? 3 caractéristiques

Answer

A

nb de taille variée
Travail sur la signification du chiffre
Les nb choisis présentent de vraies difficultés et font la distinction entre chiffre et nb de centaines/milliers.

Question 54

Q

Situation 1 : un professeur décide de faire travailler ses élèves sur le jeu du super casino. Ils ils leur distribue les règles suivantes :
Règle du jeu du super casino. Trois joueurs. Un croupier. 30 cartes nombre de un à 30.
Chaque joueur tire une carte et commande au croupier, les plaques correspondantes au nombre tiré
Après chaque tirage, chaque jour fait les échanges, si nécessaire, de la façon suivante :
–10 petits carrés jaunes contre une barre rouge
–10 barres rouges contre une enveloppe
Une partie se joue en six tirages. Le gagnant est celui qui marque le plus de points.

Voici les plaques, barres, carrés que les enfants ont gagnés, qui a gagné ?

Quels sont les objectifs de cet exercice ?

comprendre la notion de groupements par 10 pour l’échanger contre une unité de rang supérieur
La réitération : c la même chose pour former une centaine, il en faut 10.
On ne peut garder plus de 9 unités sans faire d’échange

Situation 1 : un professeur décide de faire travailler ses élèves sur le jeu du super casino. Ils ils leur distribue les règles suivantes :
Règle du jeu du super casino. Trois joueurs. Un croupier. 30 cartes nombre de un à 30.
Chaque joueur tire une carte et commande au croupier, les plaques correspondantes au nombre tiré
Après chaque tirage, chaque jour fait les échanges, si nécessaire, de la façon suivante :
–10 petits carrés jaunes contre une barre rouge
–10 barres rouges contre une enveloppe
Une partie se joue en six tirages. Le gagnant est celui qui marque le plus de points.
Pourquoi les plaques de 10 ont-elles deux faces différentes, l’une unie et l’autre quadrillé ?

Answer

A

Conceptualiser la dizaine comme nouvelle unité valant 10 carreaux

Question 55

Q

Situation 2
Les exercices suivants ont été proposés au tableau dans une classe de CM1 au mois de novembre :
Exercice 1 : Écrire en chiffres le nombre deux-millions-trois-cent-quarante-mille-cent-cinq.
Exercice 2 : Écrire en chiffres le nombre dix-sept-millions-deux-mille-cinquante-huit.
L’exercice 1 est corrigé collectivement avant que l’exercice 2 ne soit donné aux élèves.

Dans les séances précédentes, les élèves ont travaillé l’écriture des grands nombres, ce qui a conduit à l’introduction, pour faciliter la lecture, d’un espace entre les classes qui correspondent à des tranches de trois chiffres, et l’enseignant a conclu: « On remplace les mots millions et mille par des espaces ».
Voici les productions relevées pour chacun des exercices :
Exercice 1 :
2 340 105 : 17 élèves
2 340 500: 6 élèves
2340 050: 1 élève
200003004015015 : 1 élève
234500: 1 élève

Exercice 2 :
17 002 058 : 11 élèves
17 200 058 : 5 élèves
17 200 58 : 2 élèves
172 058 : 1 élève
17 2000 058 : 1 élève
17 2000 58: 1 élève
17 2 58: 5 élèves

Explique la différence de réussite entre les 2 exercices ?

Answer

A

Réponses : deux millions trois cent quarante mille cent cinq = 2 340 105
dix-sept millions deux mille cinquante-huit = 17 002 058
Ex 1 : on entend “deux”, on écrit “2”, on entend “millions”, on écrit un espace, on entend “trois cent quarante”, on écrit *340”, etc.
Ex 2 : il ne suffit pas d’écrire en chiffres ce que l’on entend avant ou après les mots “millions” et “mille”, il faut ajouter des zéros pour constituer des tranches de trois chiffres: on entend “dix-sept”, on écrit *17”, on entend “millions”, on écrit un espace, on entend “deux”, il faut écrire non pas *2” mais *002”, etc.
Le deuxième exercice met en échec la règle incomplète donnée par le maitre.

Question 56

Q

Fiche 4
On a une droite graduée allant de 0 à 3
Avec un trait tous les 0,2 ou tous les 1/5

Place : 13/5 ; 6/10 ; 12/6 ; 1/2 ; 9/9 sur la droite graduée

Léo place :
1/2 a 0,5
6/10 à 1,2
9/9 à 1,8
12/6 à 2,4
13/5 à 2,6

A) analyser les réponses de Léo en répétant erreurs et réussites

Answer

A

Réussite :
1/2 (sait que 1/2 est une moitié)
13/5 (coup de chance)

Erreurs :
Toutes les fractions dont le dénominateur n’est pas 2 : il regarde le numérateur et dénombre sur la frise.
> Ne comprend pas n/n = 1

Question 57

Q

Fiche 4
On a une droite graduée allant de 0 à 3
Avec un trait tous les 0,2 ou tous les 1/5

Place : 13/5 ; 6/10 ; 12/6 ; 1/2 ; 9/9 sur la droite graduée

Léo place :
1/2 a 0,5
6/10 à 1,2
9/9 à 1,8
12/6 à 2,4
13/5 à 2,6

A) analyser les réponses de Léo en répétant erreurs et réussites

Réussite :
1/2 (sait que 1/2 est une moitié)
13/5 (coup de chance)

Erreurs :
Toutes les fractions dont le dénominateur n’est pas 2 : il regarde le numérateur et dénombre sur la frise.
> Ne comprend pas n/n = 1

Lors de l’exo précédent les élèves devaient placer : 2/5 ; 1/5 ; 5/5 ; 8/5
Pourquoi cet exo était plus facile ?

Answer

A

la droite est déjà graduée en cinquième : la tâche devient un comptage/denombrement
Pas besoin d’observer le dénominateur, tjr le même

Question 58

Q

Exo 2 avec les carrés de fraction : pour chaque figure ci-dessous, on indique la fraction de la figure coloriée

Donner un intérêt et une limite de cet exercice par rapport à l’exercice proposé à la question 1 sur la droite graduée ?

Answer

A

Intérêt : élève obligé de considère le numérateur et le dénominateur
inconvénient : on ne voit plus que la fraction comme un nombre mais comme une partie d’un tout
Inconvénient 2 : traite que des fractions inférieures à 1

Question 59

Q

Exo 2 des carrés de fraction :
L’enseignant propose de comparer les figures e, g et h qui représentent 3/4, 6/8 et 12/16
Quel est l’intérêt de proposer ces 3 figures ?

Answer

A

proposer des écritures équivalentes de fraction
Répond au programme : “connaître des égalités entres des fractions usuelles”

Question 60

Q

Exo 2 des carrés de fraction :
2 élèves ne sont pas d’accord sur le résultat de 2 carrés dont les parties grisées valent chacune 4/8
Comment leur montrer que les 2 carrés ont une partie grisée de 4/8 ?

Answer

A

on découpe les deux figures et on colle les parties grisée au même endroit sur chacun des carrés, on voit bien que c’est pareil : 4/8

Question 61

Q

Situation 2 :
Calcule le périmètre de cette figure qui possède 4 longueurs mesurant :
4 unités et 2/10 d’unité
2,5 unités
3 unités et 6/20 d’unité
34/10 d’unité

L’élève a écrit :
4+2+3 = 9 unités
2/10 + 6/10 + 34/10 + 5/10 = 42/10
Le périmètre est 9,42

Analyser la production. Relever les réussites et erreurs de l’élève :

Answer

A

Procédure utilisée : l’élève sépare les parties entières des parties fractionnaires indépendamment.
Réussites : séparation est juste. Sait que 2,5 est 2+ 5/10
Erreurs : calcul en ligne des parties fractionnaires = 47/10. Le changement de registre pour exprimer 47/10 comme 4,2

Question 62

Q

Situation 2 :
Calcule le périmètre de cette figure qui possède 4 longueurs mesurant :
4 unités et 2/10 d’unité
2,5 unités
3 unités et 6/20 d’unité
34/10 d’unité

L’élève a écrit :
4+2+3 = 9 unités
2/10 + 6/10 + 34/10 + 5/10 = 42/10
Le périmètre est 9,42

Que peut on proposer à l’élève pour corriger ses erreurs ?

Answer

A

Colorier 47/10 avec des carrés sachant qu’un carré decoupé en 10 vaut 1 unité.

Question 63

Q

Situation 4 :

Un maître de cycle 3 propose à ses élèves les questions suivantes sur le thème des fractions et des décimaux.
1. Dans un nombre, à quoi sert la virgule ?
2. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.
Proposition n° 1 : Un nombre entier est un nombre décimal.
Proposition n° 2 : Le nombre 3
est un nombre décimal.

Voici deux réponses d’élèves à la première question :
* Élève A : La virgule sert à montrer que c’est un nombre décimal.
* Elève B : La virgule sert à séparer le nombre entier et la partie décimale.
a. Pour chacune des réponses proposées, expliquer pourquoi elle ne peut pas être retenue par l’enseignant pour la trace écrite à noter dans les cahiers d’élèves.

Answer

A

élève A : un nb contenant une virgule n’est pas forcément un nb décimal (ex : 1/3).
Élève B : le nombre décimal est composé de la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.

Question 64

Q

Situation 4 :

Un maître de cycle 3 propose à ses élèves les questions suivantes sur le thème des fractions et des décimaux.
1. Dans un nombre, à quoi sert la virgule ?
2. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.
Proposition n° 1 : Un nombre entier est un nombre décimal.
Proposition n° 2 : Le nombre 3
est un nombre décimal.

B) quelle réponse à la question posée, l’enseignant peut-il proposer à la classe ?

Answer

A

dans une écriture décimale, la virgule sert à séparer le chiffre des unités de celui des dixièmes

Answer 65

A

Faux car un nb entier peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Ex : 70/10 s’écrit 7 ou 7,0

Answer 66

A

Prend une bande, la découpe en 5 unités.
Prend une autre bande, la découpe en 10 unités
Les positionne au même niveau
Il remarque que 2/5 = 4/10
La lecture de quatre dixième doit permettre d’arriver à l’écriture 0,4.
Il trouve donc que la proposition 2 est vraie

Answer 67

A

un nb décimal est un nb qui peut s’écrire sous la forme d’une fractions dont le dénominateur est 10,100,1000…
Cela inclut les entiers car on dit “peut” (ex : 4 = 40/10 = 400/100)

Answer 68

A

Ethan compare les parties décimales et a besoin de rajouter un 0 pour les comparer. Or, il faut tjr commencer par comparer les entiers.
Pense que 20 est plus grand que 12 donc pense que 5,20 est plus grand que 3,12.

Answer 69

A

pour placer un nb sur droite graduée, il faut d’abord regarder la partie entière.
Il verra que 3,12 sera plus proche de 0 que 5,2 donc plus petit

Answer 70

A

Procédure experte pour comparer deux tels nombres décimaux. En effet, quand les parties entières sont différentes, on se contente d’uniquement comparer celles ci

Answer 71

A

proposer des nombres ayant même partie entière pour vérifier cette compétence. Ex : « Comparer 5,2 et 5,12» ou encore « Comparer 5,02 et 5,002 ».
Permet de comparer quand les nb ont une partie décimale de longueur différente.

Answer 72

A

Confond millième et millier
Confond centième et centaines
Or c’est l’inverse avant la virgule

Answer 73

A

Sa réponse est erronée. Nolan considère que plus un nombre décimal possède de chiffres, plus il est grand. Cette confusion est classique: Nolan applique une règle vraie pour des entiers, qui est fausse pour les décimaux.

Answer 74

A

Une reformulation possible est de dire que 13,01 est plus grand que 13,001 car le premier chiffre (en partant de la gauche) qui diffère dans les deux nombres est le chiffre des centièmes: c’est un 1 pour 13,01 et un 0 pour 13,001.
Comme 1 > 0, alors 13,01 > 13,001.

Answer 75

A

Considérer un nombre à virgule comme deux nombres entiers indépendants séparés par une virgule ex avec 5,2 et 5,12.
Penser qu’entre 5,1 et 5,2, il n’y a pas de nombre parce qu’il n’y a pas d’entier entre les entiers 1 et 2. Or il y en a une infinité pour les décimaux.
Que plus il y a de chiffres, plus le nombre est grand.

Answer 76

A

Réponse a
- Il déplace la virgule vers la gauche au lieu de la droite.

Réponse b
- L’élève utilise un théorème en actes: « pour multiplier par 10, on ajoute un zéro à la droite des unités », règle qui est vraie pour les nombres entiers mais pas les nombres décimaux.
Pareil pour le c mais à droite du nb

Réponse d : juste

Answer 77

A

La proposition 1 :
- si le nombre n’est pas un entier, elle est fausse car en ajoutant un zéro à un nombre décimal non entier, on obtiendrait le même nombre.

La proposition 2 :
- Faux dans le cas où le nombre à multiplier par 10 est entier (ne possède pas de virgule)

Answer 78

A

Multiplier un nombre par dix, c’est le rendre 10 fois plus grand.
- Quand le nombre est entier, cela revient à ajouter un zéro à la droite du nombre.
- Quand le nombre s’écrit avec une virgule (est décimal non entier), cela revient à déplacer la virgule d’un rang vers la droite.

Answer 79

A

à comprendre que multiplier par 10, c’est rendre le nombre dix fois plus grand :
- les dixièmes deviennent des unités, les unités deviennent des dizaines, les dizaines deviennent des centaines, etc.
- aide à comprendre que ce n’est pas la virgule qui se déplace mais chaque chiffre qui change de place.
- Cela fonctionne aussi avec les entiers : ce n’est pas un 0 qu’on ajoute à droite, c’est chaque chiffre qui change de place (et le 0 marque l’espace laissé vide).

Answer 80

A

Les règles pour l’aspect positionnel décimal :
- la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans l’écriture du nombre. Par exemple, dans le nombre 20,532, le chiffre 2 n’a pas toujours la même valeur. Le premier 2 représente 2 dizaines, alors que le deuxième représente 2 millièmes d’unités.
- le système repose sur des groupements successifs: chaque chiffre représente un nombre de groupements d’unités. Ces groupements sont les dixièmes, les unités, dizaines, les centaines, les milliers…
- la méthode de groupements est régulière, c’est-à-dire qu’un groupement contient 10 d’unités d’ordre inférieur, quel que soit l’ordre considéré. Par exemple, un dixième représente 10 centièmes, une unité représente 10 dixièmes, une dizaine représente 10 unités, une centaine représente 10 dizaines, …

> aspect décimal : repose sur la compréhension de la valeur des chiffres en f° de leur rang dans l’écriture d’un nb.

aspect positionnel de la numérisation : repose sur la compréhension des unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, dixièmes, centièmes…) et de leurs relations.

Pour que le système fonctionne, il faut :
- Un symbole indiquant l’absence d’un groupement d’un certain ordre (0)
- Autant de symboles que la valeur de la base (nous sommes en base 10, nous avons donc 10 chiffres)

Answer 81

A

Pour évaluer les élèves sur l’aspect positionnel de la numération, on peut proposer l’exercice suivant : demander le chiffre des..

Voici une liste de nombres : 232,16 ; 17,784 : 683,16 ; 9310,3 : 84 435,147 ; 3809,18
Recopier les nombres :
* dont le chiffre des dizaines est 3
* dont le chiffre des dixièmes est 1 ;
* dont le chiffre des centaines est égal à celui des centièmes.

Pour évaluer les élèves sur l’aspect décimal de la numération, on peut proposer l’exercice suivant : demander quel est le nb de…
* Quel est le nombre de centièmes dans 35,14 ?
* Teddy a récolté 35,14 € en pièces de 1 centime pour l’opération Pièces Jaunes. Combien a-t-il récolté de pièces ?
Ou encore celui-ci :
Voici une liste de nombres: 3,8 ; 19,7 ; 6,04 ; 1,91
A)Lequel a le plus grand nombre de dixièmes ?
B)Lequel a le plus petit nombre de centièmes ?

Answer 82

A

Pour comparer deux nombres décimaux :
- on compare leur partie entière: celui qui a la plus petite partie entière est le plus petit
- si elles sont les mêmes, on compare :
- leur chiffre des dixièmes: celui qui a le plus petit chiffre des dixièmes est le plus petit
- s’ils sont les mêmes, leur chiffre des centièmes, et ainsi de suite.

Answer 83

A

La séance de calcul porte sur le thème des nombres décimaux et des fractions. En particulier, il s’agit de savoir passer d’une écriture à une autre, de multiplier nombre décimal par 10, de comparer deux décimaux ou encore d’ajouter deux décimaux.

Réponse a.
L’élève multiplie par 10 en utilisant la règle « pour multiplier un nombre entier par 10, on ajoute un zéro à la droite de ce nombre ». La règle valable pour des entiers ne l’est pas pour des nombres décimaux.

Réponse b
L’élève remplace le trait de fraction par une virgule et considère que ¼ et 1,4 sont égaux.
Fraction vue comme la juxtaposition de deux entiers.

Réponse c
Comme le nombre les 45 sont identique, la comparaison porte sur les nombres situés après la virgule. 6 < 13. L’élève en déduit que 45,6 < 45,13.

• Réponse d
comme pour l’autre
Erreur sur l’aspect décimal du nb

Answer 84

A

Première situation de remédiation :
- revenir aux fractions décimales :
- 45,6 = 45 + 6/10
- 45,13 = 45 + 1/10 + 3/100
- Comme un dixième est dix fois plus grand qu’un centième, faire constater lequel est le plus grand : on place 45+ 6/10 et 45 + 1/10 + 3/100 sur une droite graduée

Deuxième situation de remédiation :
Proposer de comparer 6/10 et 13/100 pour savoir lequel des deux nombres est le plus grand : pour cela, on peut donner 2
quadrillages carrés de 10 par 10 à faire colorier

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Maths : Ensemble de nb Flashcards

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