Maths Geometrie Plane (2) Flashcards

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1
Q

Affirmation 3 : Le triangle ABC avec :
AB = 6,4 m,
BC = 4,8 m
AC = 8 m
est rectangle en B.
Vrai ou faux ?

A

La réciproque du théorème de Pythagore, pour trouver si un triangle est rectangle.

D’une part : AB ² + BC ² = 6,4 ² + 4,8 ² = 64
De l’autre : AC ² = 8 ² = 64
On a l’égalité AB ² + BC ² = AC ²

donc le triangle ABC est rectangle en B.

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Q

On considère un triangle IJK où on sait que :
On sait que : M appartient à [IJ] et L appartient à [IK]
IM = 0,8 ;
IL = 1,6 ;
LK = 2,4 ;
IJ = 2
Affirmation 4 : Les droites (ML) et (KJ) sont paralleles. Vrai ou faux ?

A

Pour démontrer que 2 droites sont parallèles dans un triangle, on calcule les rapports suivants :
D’une part : IM/IJ = 0,8/2 = 0,4
D’autre part : IL/IK = 1,6/1,6+2,4 = 0,4
Donc : IM/IJ = IL/IK

De plus, les points I, M et J sont alignés dans le même ordre que I, L et K donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (LM) et (KJ) sont paralleles.
L’affirmation est vraie.

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3
Q

En figure 4, on considère le triangle ABC.
Soit S le milieu de [AB] et K le milieu de [SC].
Soit D le point d’intersection de (AK) et (BC).
La parallèle à (AK) passant par S coupe (BC) en E.

Affirmation 5: BE = ED = DC = BC/3
Vrai ou faux

A

D’une part :
Dans le triangle SEC :
(SE) est parallèle à (AK) donc à (KD) puisque A, K, D sont alignés.

Or, d’après le théorème des milieux : La droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Donc D est le milieu de [EC] et ED = DC.

D’autre part :
Dans le triangle ABD,
(SE) est parallèle à (AK) donc à (AD).
On sait aussi que S est le milieu de [AB]

Or, d’après le théorème des milieux : La droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Donc E est le milieu de [BD]et BE = ED.

On en déduit que BE = ED = DC.
Le segment [BC] est bien partagé en trois segments égaux et BE = ED = DC = BC/3
Donc l’affirmation est vraie.

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4
Q

Figure 5
ABC est un triangle,
D et E sont des points des côtés [AB] et [AC] tels que :
ADE est une sous-figure ou ADE est rectangle en E.

AD = 9 cm,
DB = 6 cm,
AC = 10 cm,
EC = 4 cm

Affirmation 6 : Le triangle ABC est rectangle en C.
Vrai ou faux

A

Utilisons la réciproque du théorème de Thales.

Pour savoir si ABC es rectangle en C, on voit si ED et BC sont parallèles

On sait que :
A, E, C d’une part et À, D, B sont alignés d’autre part, dans le même ordre.

D’une part : AD / AB = 9 / 9+6 = 3/5
D’autre part : AE / AC = 10-4 / 10 = 3/5

Donc : AD/AB = AE/AC

D’après la réciproque du théorème de thales, le droites ED et BC sont parallèles.
En effet, comme la droite ED est perpendiculaire à AC alors CB est perpendiculaire à AC.

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5
Q

Que signifie construire L’image T3 du triangle T1 par la symétrie ortogonale d’axe (d).

A

Cela signifie que l’on a une figure (T1) d’un côté d’un axe de symétrie (d) et que l’on doit reproduire la même de l’autre côté (comme un enfant de CE2)
(C’est le plus simple)

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6
Q

Que signifie construire l’image T4 du triangle T2 par la translation de vecteur BC.

A

On prend un point de notre triangle T2 ( par ex le point A), on positionne le point B notre vecteur BC sur le point A. Le point C du vecteur BC sera le nouveau point A’ du triangle T4.

Attention à bien prendre le même sens que le vecteur. Par ex, si le vecteur BC part en haut à droite, on va bien vers le haut à droite.

Refaire la même chose avec les 2 autres points.

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7
Q

Que signifie construire l’image T5 du triangle T1 par la symétrie centrale de centre E.
Sachant que T1 ne touche pas E.

A

Symétrie centrale = comme un manège (les objets touchent pas le centre)

On ne s’occupe pas de l’axe de symétrie d.
On s’occupe que du centre de symétrie E.

T5 est le même que T1 mais en inversé.

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8
Q

Que signifie construire L’image T6 du triangle T1 par la rotation de centre D et d’angle 90° dans le sens indirect.

La pointe de T1 (C) touche D en bas.
Les points A et B de T1 partent vers le haut à droite et à gauche.

A

On ne s’occupe pas de l’axe de symétrie (d) mais du point D.

Rotation : comme la rotation des palmes d’une éolienne.

Sens indirect = sens des aiguilles d’une montre.

D’angle 90° = on descend vers la droite de D (sens indirect) jusqu’à avoir 90° entre AB et AB’

Le construire de la même façon avec la pointe sur le centre D.

On fait pareil pour les autres côtés AC et BC.

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9
Q

La figure ci-contre représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l’hexagone ci-dessus. On a numéroté certains de
ces hexagones.
Voir photo sur tel

Quelle est l’image de l’hexagone 14 par la translation qui transforme l’hexagone 2 en l’hexagone 12 ?

A

La translation a pour vecteur AB (flèche sur le dessus)

L’image de l’hexagone 14 est l’hexagone 19

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10
Q

Ce panneau routier indique une descente dont la pente est de 10%.
Cela signifie que pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 10 mètres.

  1. Déterminer la mesure de l’angle BCA que fait la route avec l’horizontale.
    Arrondir la réponse au degré.
A

Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique les formules de trigonometrie.

Tan BCA = 100/10 = 0,1
D’où BCA = 5,7° soit 6°

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11
Q
  1. Dans certains pays, il arrive parfois que la pente d’une route ne solt pas donnée par un pourcentage, mais par une indication du rationtelle que « 1:5 », ce qui veut alors dire que pour un déplacement horizontal de 5 mètres, le dénivelé est de 1 mètre.

Lequel des deux panneaux ci-dessous indique la pente la plus forte ?

Panneau A : pente à 15%
Panneau B : pente à 1 : 5

A

Pour le panneau A, la pente est de 15% donc pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 15 mètres.

Pour le panneau B, pour un déplacement horizontal de 5 mètres, le dénivelé est de 1 mètre. Donc pour un déplacement horizontal de 5 ×20 = 100 mètres, le dénivelé est de 1 x20 = 20 mètres.

C’est donc le panneau B qui indique la pente la plus forte.

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12
Q

Exercice 5 :
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures.

Les distances OA, AB, BC, CD et DE sont toutes égales entre elles.
Voir photos

Quel est le rapport de l’homothétie de centre O qui permet d’obtenir la figure C à partir de la figure A ?

A

Le rapport de l’homothétie de centre O qui permet d’obtenir la figure C à partir de la figure A est 3 puisque l’on a :
OC= 3 x OA.

De plus, le point C est sur la demi-droite [OA) donc le rapport de l’homothétie est positif.

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13
Q

Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures. Les distances OA, AB, BC, CD et DE sont
toutes égales entre elles.

Voir photos

  1. On applique l’homothétie de centre O et de rapport 3/5 à la figure E. Quelle figure obtient-on
A

Si on applique l’homothétie de centre O et de rapport 3/5 à la figure E, alors le point E se transforme en le point E’

tel que 0E’ = 3/5 x OE
Or, 3/5 x OE = OC.

la figure obtenue est la figure C.

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14
Q

Exercice 5
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures. Les distances OA, AB, BC, CD et DE sont
toutes égales entre elles.

Quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure A?
Voir photos

A

Si une figure a une aire 4 fois plus grande que la figure A, ses dimensions ont été multipliées par 2, car ainsi, les aires le sont par 2 ²= 4.

On en déduit que c’est la figure B qui a une aire 4 fois plus grande que la figure A.
En effet, le rapport d’homothétie permettant de passer de la figure A à la figure B est 2 puisque OB = 2 x OA et le point B est sur la demi-droite [OA).

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15
Q

Exercice 6 :
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.

  1. Déterminer le centre de l’homothétie et le placer sur le schéma ci-dessus.

Voir photos

A

Notons O le centre de l’homothétie.
On sait que le centre de l’homothétie, un point et son image sont alignés. On trace donc les droites (AA’) et (BB’) et le point O est le point à leur intersection. La droite (CC’) passe egalement par O.

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16
Q

Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.

  1. Déterminer la mesure de l’angle A’B’C’. (On donnera l’arrondi à l’unité).
A

Une homothétie conserve les angles, donc les triangles A’B’C’ et ABC sont semblables.
On en déduit :
A’B’C = ABC

Le triangle ABC étant rectangle, on peut appliquer les formules de trigonométrie :
tan (ABC) = AC/AB = 3/4

D’où ABC = arctan (3/4) = 37°
L’angle A’B’C’ vaut donc environ 37°.

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17
Q

Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.

Calculer la distance A’ C’

A

on sait que :
- K est positif O, A, A’ ou O, B, B’ ou O, C, C’ sont alignés dans cet ordre.
- [A’ B’] est l’image du segment [AB]

On détermine le rapport k de l’homothétie :
D’où, 9 = 4 k
—> k = 9/4
—> k = 2,25

3 x 2,25 = 6,75 cm

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18
Q

Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.

4) Calculer l’aire du triangle ABC et l’aire du triangle A’B’C’

On sait que A’ C’ fait 6,75 cm

A

(3x4)/2 = 6cm ²
(9 x 6,75)/2 = 30,37 cm ²

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19
Q

Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.

  1. Comment passe-t-on de l’aire du triangle ABC à l’aire du triangle A’B’C’ ? Justifier.
    On sait que le rapport de l’homothétie est 2,25 ou 9/4
    On sait que les 2 aires sont 6cm ² et 30,375cm ²
A

On passe de l’aire du triangle ABC à l’aire du triangle A’B’C’ en la multipliant par le rapport de l’homothétie au carré.

Formons le rapport des deux aires :
30,375 / 6 = 5,0625
Ou
Calculons le rapport de l’homothétie au carré : k ² = (9/4 )² = 2,25 ² = 5,0625

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20
Q

Exercice 7 (CRPE 2023)
Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, ABIFCDE, est représenté ci-contre.
• Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• FE € [AC] et I € [BC].
• Les droites (AB), (FI) et (DE) sont paralleles.
• ABC est un triangle rectangle en A.
• AB = 300 m ; AC = 400 m ; CD = 1250 m et IC = 350 m.

  1. a. Déterminer la longueur BC
A

BC ² = 300 ² + 400 ²
BC ² = 90000 + 160000
BC = 500 m

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21
Q

Exercice 7 (CRPE 2023)
Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, ABIFCDE, est représenté ci-contre.
• Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• FE € [AC] et I € [BC].
• Les droites (AB), (FI) et (DE) sont paralleles.
• ABC est un triangle rectangle en A.
• AB = 300 m ; AC = 400 m ; CD = 1250 m et IC = 350 m.
BC = 500m

b. déterminer les longueurs IF et CF.

A

On sait que :
F € AC
I € BC
AB et FI parallèles

Donc on peut appliquer le Théo de thales dans le triangle ABC

CF/CA = CI / CB = FI / AB
CF / 400 = 350/500 = FI / 300

CF = 280
FI = 210

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22
Q

Exercice 8 (CRPE 2019)
Des paysagistes veulent réaliser un parterre triangulaire avec des tulipes blanches et rouges.
Ils placent trois piquets A, B et C tels que :
• A et B sont distants de 8 m ;
• A et C sont distants de 6 m ;
• B et C sont distants de 10,5 m ;
puis ils tirent des cordes d’un piquet à l’autre.
Ils décident de séparer ce parterre en deux parties. Le long de la corde reliant les piquets A et B, ils placent un piquet D distant de A de 4,8 m. Le long de la corde reliant les piquets A et C, ils placent un piquet E distant de A de 3,6 m. Puis ils tirent une corde entre D et E.

La corde qui relie les piquets D et E délimite la zone dans laquelle seront plantées des tulipes rouges de celle dans laquelle seront plantées des tulipes blanches.

  1. Pour des questions esthétiques, les paysagistes souhaitent que la corde qui relie les piquets D et E soit parallèle
    à la corde qui relie les piquets B et C.
    Cette situation est-elle vérifiée? Justifier votre réponse.
A

Les points D et E appartiennent respectivement aux segments [AB] et [AC].

Calculons les rapports suivants d’après la réciproque de thales :
AE / AC = 3,6 / 6 = 0,6
AD / AB = 4,8 / 8 = 0,6

Les rapports AC et AB sont égaux.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La situation est donc vérifiée.

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23
Q

Exercice 8 (CRPE 2019)
Des paysagistes veulent réaliser un parterre triangulaire avec des tulipes blanches et rouges.
Ils placent trois piquets A, B et C tels que :
• A et B sont distants de 8 m ;
• A et C sont distants de 6 m ;
• B et C sont distants de 10,5 m ;
puis ils tirent des cordes d’un piquet à l’autre.
Ils décident de séparer ce parterre en deux parties. Le long de la corde reliant les piquets A et B, ils placent un piquet D distant de A de 4,8 m. Le long de la corde reliant les piquets A et C, ils placent un piquet E distant de A de 3,6 m. Puis ils tirent une corde entre D et E.

La corde qui relie les piquets D et E délimite la zone dans laquelle seront plantées des tulipes rouges de celle dans laquelle seront plantées des tulipes blanches.

  1. Déterminer si l’aire de la zone dans laquelle seront plantées des tulipes rouges est égale à celle de la zone dans laquelle seront plantées des tulipes blanches.

La question précédente nous indique :

Les points D et E appartiennent respectivement aux segments [AB] et [AC].
Calculons les rapports suivants d’après la réciproque de thales :
AE / AC = 3,6 / 6 = 0,6
AD / AB = 4,8 / 8 = 0,6
Les rapports AC et AB sont égaux.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La situation est donc vérifiée.

A

Étant donné que l’aire du triangle ABC est la somme des aires des deux zones où sont plantées les tulipes blanches (triangle ADE) et rouges (trapèze BCED), si les deux aires étaient égales, on aurait :
Aire(ADE) = 0,5 x Aire(ABC).

Or, les questions précédentes ont montré que les longueurs des côtés du triangle ADE sont la réduction des longueurs des côtés du triangle ABC dans un rapport de 0,6.
On sait alors que l’aire du triangle ADE est réduite d’un rapport de 0,6 ² par rapport à l’aire du triangle ABC.

D’où Aire (ADE) = 0,6 ² × Aire(ABC) = 0,36 × Aire(ABC).

Comme 0,5 n’est pas égale à 0,36 alors les aires des deux zones ne sont pas égales.
La zone BDED a une aire plus grande que la zone ADE.

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24
Q

Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.

Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.

  1. Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
A

Cherchons AC
AC ² = BC ² + AB ²
AC ² = 8 ² + 6 ²
AC ² = 100
donc AC ² = AB ² + BC ²

D’après la réciproque du théorème de Pytha, ABC est rectangle en B. Donc AB et BC sont parallèles.

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25
Q

Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.

Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.

  1. En déduire la longueur BD.
A

Prouvons que ABD est rectangle en B.
- Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires
- le point D est sur BC
—> Donc le triangle ABD est donc rectangle en B.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en B, on obtient :
AB ² + BD ² = AD ²
d’où 36 + BD ² = 64
soit BD ² = 64 - 36
= racine carré de 28
= 5,29 cm

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26
Q

Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.

Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.

  1. Déterminer la longueur CE

La question précédente nous permet de savoir que BD = 5,29cm

A

Le point D est sur [BC] donc :
DC = BC - BD = 8 - 5,29 = 2,71cm

Les droites (AB) et (CE) sont perpendiculaires à la même droite (BC) donc elles sont parallèles entre elles.

Les points C, D et B et E, D et A sont alignés

Ainsi, les droites (AB) et (CE) sont parallèles donc d’après le théorème de Thalès, on a :
CE / AB = CD / BD
CE = (2,71 x 6) / 5,29
CE = 3,07cm

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27
Q

Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.

Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.

  1. Déterminer l’aire du triangle ACE.

Les questions précédentes nous permet de savoir que BD = 5,29cm et que CE = 3,07cm

A

On considère [CE] comme base dans le triangle ACE, la hauteur correspondante est (AH), avec le point H qui est l’intersection de la perpendiculaire à la droite (CE) passant par A et de la droite (CE).

Imaginons le rectangle AHCB qui possède 3 angles droits. BC = AH = 8cm. AH étant sa hauteur.

Donc Aire ACE = (AH x CE) / 2 = 12,3 cm ²

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28
Q

Exercice 10
Dans ce problème, la figure dessinés n’est pas représentée à l’échelle.
Une enseignante a le projet d’installer un potager rectangulaire ADEF sur une parcelle de forme triangulaire
ABC dans l’enceinte de l’école.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que :
• AB = 24 m,
AC = 10 m
BC = 26 m ;
• D € [AB], E € [BC] et F € [AC].

  1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
A

Le plus long côté du triangle ABC est le côté BC.
ВС ² = 26²
= 676
AC ² + AB ²
= 10 ² + 24 ²
= 100 + 576
= 676
On a alors: AC ² + AB ² = BC ²

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que la triangle ABC est rectangle en A.

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29
Q

Exercice 10
Dans ce problème, la figure dessinés n’est pas représentée à l’échelle.
Une enseignante a le projet d’installer un potager rectangulaire ADEF sur une parcelle de forme triangulaire
ABC dans l’enceinte de l’école.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que :
• AB = 24 m,
AC = 10 m
BC = 26 m ;
• D € [AB], E € [BC] et F € [AC].

Dans la suite de ce problème, on souhaite déterminer où positionner le point D sur [AB] pour que l’aire du rectangle hachuré ADEF soit la plus grande possible.

  1. Dans cette partie on considère que AD = 4,8 m.
    a.
    Montrer que la longueur DE est égale 8 m.
A

On considère le triangle ABC et le triangle BDE qui sont en configuration de Thalès :
- les points A, D, C d’une part, et les points B, E, D d’autre part sont alignés.
- les droites (AF) et (DE) sont parallèles puisqu’elles sont portées par les côtés opposés du rectangle.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
BD / BA = BE / BC = ED / AC

Comme BD = BA - DA = 24 - 4,8 = 19,2 m, on déduit :

19,2/24 = ED / 10
Soit : ED = 8m

30
Q

Didactique : Situation 1 : les papillons

Les papillons (extrait de description de séances successives)
Séance 1: ( Voir « les papillons: annexe 4»).
Phase 1: Des photos et des représentations de papillons sont affichées au mur. Les élèves sont invités à décrire pour un papillon les ressemblances, les différences (travail collectif).
Phase 2 : Chaque élève reçoit deux feuilles photocopiées sur lesquelles sont représentées six moitiés de papillons.
Les élèves ne disposent d’aucun matériel.
Sur une feuille, six moitiés gauches de papillons sont numérotées de 1 à 6.
Sur l’autre feuille, six moitiés droites de papillons sont identifiées par des lettres allant de A à F.
La tâche des élèves est d’associer les deux moitiés formant un papillon (travail individuel). Pour cela les élèves inscrivent, dans un tableau, la lettre correspondant à chaque numéro.

a. Dans quel cycle cette séance peut-elle être proposée

A

Cycle 2

Reconnaître si une figure présente un axe de symétrie.
Reconnaître dans son environnement des situations modélisantes par la symétrie (papillons, bâtiments, etc.)

31
Q

Didactique : Situation 1 : les papillons

Les papillons (extrait de description de séances successives)
Séance 1: ( Voir « les papillons: annexe 4»).
Phase 1: Des photos et des représentations de papillons sont affichées au mur. Les élèves sont invités à décrire pour un papillon les ressemblances, les différences (travail collectif).
Phase 2 : Chaque élève reçoit deux feuilles photocopiées sur lesquelles sont représentées six moitiés de papillons.
Les élèves ne disposent d’aucun matériel.
Sur une feuille, six moitiés gauches de papillons sont numérotées de 1 à 6.
Sur l’autre feuille, six moitiés droites de papillons sont identifiées par des lettres allant de A à F.
La tâche des élèves est d’associer les deux moitiés formant un papillon (travail individuel). Pour cela les élèves inscrivent, dans un tableau, la lettre correspondant à chaque numéro.

B. quelle est la tâche assignée a l’élève ?

A

reconnaitre les deux parties symétriques d’une figure contenant un axe de symétrie.

32
Q

Didactique : Situation 1 : les papillons

Les papillons (extrait de description de séances successives)
Séance 1: ( Voir « les papillons: annexe 4»).
Phase 1: Des photos et des représentations de papillons sont affichées au mur. Les élèves sont invités à décrire pour un papillon les ressemblances, les différences (travail collectif).
Phase 2 : Chaque élève reçoit deux feuilles photocopiées sur lesquelles sont représentées six moitiés de papillons.
Les élèves ne disposent d’aucun matériel.
Sur une feuille, six moitiés gauches de papillons sont numérotées de 1 à 6.
Sur l’autre feuille, six moitiés droites de papillons sont identifiées par des lettres allant de A à F.
La tâche des élèves est d’associer les deux moitiés formant un papillon (travail individuel). Pour cela les élèves inscrivent, dans un tableau, la lettre correspondant à chaque numéro.

c) Pourquoi dans la phase 2, les élèves ne disposent ils d’aucun matériel ?

A

Car il s’agit d’une approche perceptive

Il est préférable qu’ils déplacent mentalement une moitié et l’imaginent à côté de l’autre.

Évite qu’ils mettent côte à côte par tâtonnement ou les superpose carrément

33
Q

Didactique : Situation 1 : les papillons

Les papillons (extrait de description de séances successives)
Séance 1: ( Voir « les papillons: annexe 4»).
Phase 1: Des photos et des représentations de papillons sont affichées au mur. Les élèves sont invités à décrire pour un papillon les ressemblances, les différences (travail collectif).
Phase 2 : Chaque élève reçoit deux feuilles photocopiées sur lesquelles sont représentées six moitiés de papillons.
Les élèves ne disposent d’aucun matériel.
Sur une feuille, six moitiés gauches de papillons sont numérotées de 1 à 6.
Sur l’autre feuille, six moitiés droites de papillons sont identifiées par des lettres allant de A à F.
La tâche des élèves est d’associer les deux moitiés formant un papillon (travail individuel). Pour cela les élèves inscrivent, dans un tableau, la lettre correspondant à chaque numéro.

Phase 3 : Mise en commun.
Les résultats trouvés sont proposés à la discussion. Il s’agit non pas de faire ressortir la bonne réponse, mais de mettre en évidence, s’il y a lieu, les contradictions entre élèves. Cette mise en commun doit faire apparaître des arguments pour dire à quelle condition on obtient un papilion.

Phase 4: Phase de validation.

Phase 5: Phase d’institutionnalisation. Le maitre fait ressortir les éléments importants de la séance et les dicte aux élèves.

d) Dans la phase 3, il est indiqué que « cette mise en commun doit faire apparaître des arguments pour dire à quelle condition on obient un papillon ». Selon vous quels arguments le maître souhaite-t-il mettre en valeur ?

A

Le maître veut mettre en valeur des arguments s’appuyant sur une perception visuelle et globale :

ils sont « pareils », ils ont la même taille, ils ont la même forme…

34
Q

Didactique : Situation 1 : les papillons

Les papillons (extrait de description de séances successives)
Séance 1: ( Voir « les papillons: annexe 4»).
Phase 1: Des photos et des représentations de papillons sont affichées au mur. Les élèves sont invités à décrire pour un papillon les ressemblances, les différences (travail collectif).
Phase 2 : Chaque élève reçoit deux feuilles photocopiées sur lesquelles sont représentées six moitiés de papillons.
Les élèves ne disposent d’aucun matériel.
Sur une feuille, six moitiés gauches de papillons sont numérotées de 1 à 6.
Sur l’autre feuille, six moitiés droites de papillons sont identifiées par des lettres allant de A à F.
La tâche des élèves est d’associer les deux moitiés formant un papillon (travail individuel). Pour cela les élèves inscrivent, dans un tableau, la lettre correspondant à chaque numéro.

Phase 3 : Mise en commun.
Les résultats trouvés sont proposés à la discussion. Il s’agit non pas de faire ressortir la bonne réponse, mais de mettre en évidence, s’il y a lieu, les contradictions entre élèves. Cette mise en commun doit faire apparaître des arguments pour dire à quelle condition on obtient un papilion.

Phase 4: Phase de validation.

Phase 5: Phase d’institutionnalisation. Le maitre fait ressortir les éléments importants de la séance et les dicte aux élèves.

e) Dans la phase 4, comment les élèves peuvent-ils valider les réponses obtenues après la mise en commun ?

A

Les élèves peuvent découper les cartes et les mettre côte à côte.

Comme les papillons sont très différents entre eux, la validité des réalisations sera évidente.

35
Q

Photos de papillons se ressemblant fortement

  1. L’objectif de la séance 2 est d’apprendre à identifier le symétrique d’une figure donnée en utilisant un papier translucide.
    Dans une première phase, le maître laisse les élèves travailler de manière individuelle sur la situation donnée.

a. En quoi cette situation peut-elle montrer les limites des arguments utilisés lors de la séance 1 pour
reconnaître les figures symétriques ?

A
  • Les moitiés de papillons sont très ressemblantes.
  • donc : la perception ne suffit plus pour déterminer de manière certaine
36
Q

Photos de papillons se ressemblant fortement

  1. L’objectif de la séance 2 est d’apprendre à identifier le symétrique d’une figure donnée en utilisant un papier translucide.
    Dans une première phase, le maître laisse les élèves travailler de manière individuelle sur la situation donnée.

b) donner une procédure de validation adaptée à cette situation

A

Découper l’étiquette de la moitié gauche, la retourner et la superposer aux étiquettes des parties droites avec du papier translucide

—> vérification par superposition grâce à la transparence

37
Q

Exercice de symétrie en CE2.
Complète le dessin comme si tu pliais la feuille en suivant le grand trait.

1) quelle est la notion mathématique ? La compétence ?

A

La symétrie axiale

Compétence : compléter une figure pour qu’elle soit symétrique par rapport à un axe donné C2-C3

38
Q

Exercice de symétrie en CE2.
Complète le dessin comme si tu pliais la feuille en suivant le grand trait.

2) difficultés / acquis ?

A

Difficultés :
- égalité des distances à l’axe de symétrie non respectée

  • faire un dessin superposable grâce à une rotation d’un demi tour
  • non symétrie, non superposable
  • ne se sert pas du quadrillage

Acquis :
- règle bien utilisée

39
Q

Situation 3 : les cartes du nouvel an chinois CE2

Autrefois, dans l’ancienne Chine, on s’ofirait, à l’occasion du Nouvel An chinois, des sortes de ‹ cartes de vœux » découpées dans du papier et on en décorait les murs et les portes des maisons.
Pour réaliser ces cartes, on utilisait souvent le pliage et le découpage.
1. Parmi les motifs représentés, quels sont ceux qui ont été réalisés par pliage et découpage ?
Entoure-les

  1. Prends un carré de papier de 21 x 21 cm. Plie-le en huit comme ci-dessous: c’est le pliage ‹ rosace ».
    Reporte un motif, découpe et déplie.
    Les lignes de pliage sont des axes de symétrie.
    Marque-les.
  2. Utilise maintenant le pliage rosace pour réaliser la carte F.
    Découpe, déplie, compare avec le modèle et cherche les découpages oubliés.
  3. Quelle est la notion mathématique étudiée ?
A

La symétrie orthogonale (dit axiale)

40
Q

Situation 3 : les cartes du nouvel an chinois CE2

Autrefois, dans l’ancienne Chine, on s’ofirait, à l’occasion du Nouvel An chinois, des sortes de ‹ cartes de vœux » découpées dans du papier et on en décorait les murs et les portes des maisons.
Pour réaliser ces cartes, on utilisait souvent le pliage et le découpage.
1. Parmi les motifs représentés, quels sont ceux qui ont été réalisés par pliage et découpage ?
Entoure-les

  1. Prends un carré de papier de 21 x 21 cm. Plie-le en huit comme ci-dessous: c’est le pliage ‹ rosace ».
    Reporte un motif, découpe et déplie.
    Les lignes de pliage sont des axes de symétrie.
    Marque-les.
  2. Utilise maintenant le pliage rosace pour réaliser la carte F.
    Découpe, déplie, compare avec le modèle et cherche les découpages oubliés.

2) quelles sont les compétences exigée en fin de C3 ?

A
  • Compléter une figure par symétrie axiale
  • Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite par rapport à un axe donné
  • construire la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe donné
41
Q

Situation 3 : les cartes du nouvel an chinois CE2

Autrefois, dans l’ancienne Chine, on s’ofirait, à l’occasion du Nouvel An chinois, des sortes de ‹ cartes de vœux » découpées dans du papier et on en décorait les murs et les portes des maisons.
Pour réaliser ces cartes, on utilisait souvent le pliage et le découpage.
1. Parmi les motifs représentés, quels sont ceux qui ont été réalisés par pliage et découpage ?
Entoure-les

  1. Prends un carré de papier de 21 x 21 cm. Plie-le en huit comme ci-dessous: c’est le pliage ‹ rosace ».
    Reporte un motif, découpe et déplie.
    Les lignes de pliage sont des axes de symétrie.
    Marque-les.
  2. Utilise maintenant le pliage rosace pour réaliser la carte F.
    Découpe, déplie, compare avec le modèle et cherche les découpages oubliés.

4) trace l’axe de symétrie des figures

3) énoncer les différentes étapes de la démarche proposée pour l’exo 1-2-3

A

1-
- perception visuelle de régularités
- fait le point sur les connaissances du CP-CE1 (symétrie axiale)
- introduire le voc : axe de symétrie pour désigner les plis

2-
- manipulation

3-
- établir le rapport entre pliage et symétrie axiale : le pliage permet de trouver les axes de symétrie

42
Q

Situation 3 : les cartes du nouvel an chinois CE2

Autrefois, dans l’ancienne Chine, on s’ofirait, à l’occasion du Nouvel An chinois, des sortes de ‹ cartes de vœux » découpées dans du papier et on en décorait les murs et les portes des maisons.
Pour réaliser ces cartes, on utilisait souvent le pliage et le découpage.
1. Parmi les motifs représentés, quels sont ceux qui ont été réalisés par pliage et découpage ?
Entoure-les

  1. Prends un carré de papier de 21 x 21 cm. Plie-le en huit comme ci-dessous: c’est le pliage ‹ rosace ».
    Reporte un motif, découpe et déplie.
    Les lignes de pliage sont des axes de symétrie.
    Marque-les.
  2. Utilise maintenant le pliage rosace pour réaliser la carte F.
    Découpe, déplie, compare avec le modèle et cherche les découpages oubliés.

4) trace l’axe de symétrie des figures

4) difficultés des élèves ?

A
  • lecture du texte
  • repérer les axes de pliage donc de symétrie
  • déterminer quels motifs découper pour réaliser la carte F comportant de nombreuses symétries
43
Q

Excercice de calque :

a Trace une droite en rouge pour partager en deux parties une feuille quadrillée. Sur la partie gauche, reproduis ce polygone

b Avec de l’adhésif, fixe un morceau de calque sur la partie gauche de ta feuille. Calque le polygone.

c. Retourne le calque en le pliant le long de la droite rouge. Repasse sur les tracés du polygone.

d. Retire le calque et observe les deux
polygones. Ils sont symétriques
par rapport à la droite rouge.

Quelles propriétés de la symétrie axiale sont utilisées implicitement dans cette partie ?

A

Principale propriété :

  • l’obtention du symétrique par retournement
  • orthogonalité de l’axe de symétrie par rapport à un segment formé par un point et son symétrique (illustré lors du retournement du calque le long de l’axe de symétrie)

Autres :
- propriété de conservation des distances et des angles

44
Q

Exercice :
1) Tracer le symétrique du bateau par rapport à la droite

4) Tracer l’axe de symétrie d’une figure (un cœur) oblique sur un support non quadrillé

Quelles sont les difficultés ?

A

Ex 1 :
- nb de sommets : difficulté de de se construire une image mentale du résultat

  • l’axe ne coupe pas la figure

Ex 4 :
- figure oblique
- support non quadrillé

45
Q

Un enseignant de cycle 3 a proposé les deux exercices reproduits ci-dessous.
Il a veillé au préalable à ce que la seule ressource disponible soit la règle.

Consigne : Construis le symétrique des figures par rapport à la droite tracée en gras :

2) quelle est la compétence évaluée ?

A
  • construire la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe donné
46
Q

Un enseignant de cycle 3 a proposé les deux exercices reproduits ci-dessous.
Il a veillé au préalable à ce que la seule ressource disponible soit la règle.

Consigne : Construis le symétrique des figures par rapport à la droite tracée en gras :

3) indiquer les choix effectués par l’enseignant pour les principales variables didactiques de la situation ?

A
  • choix du support : papier quadrillé
  • orientation de l’axe : axe horizontal, vertical, oblique
  • le placement de la figure : segments horizontaux, verticaux où oblique (plus dur)
47
Q

Un enseignant de cycle 3 a proposé les deux exercices reproduits ci-dessous.
Il a veillé au préalable à ce que la seule ressource disponible soit la règle.

Consigne : Construis le symétrique des figures par rapport à la droite tracée en gras

4) citer 2 procédures qu’un élève de cycle 3 peut utiliser pour résoudre cet exercice ?

A

Procédure 1 :
Placer les points remarquables de la figure. Puis joindre tous les points

Procédure 2 :
Placer le symétrique d’un des points le plus proche de l’axe
Puis tracer de proche en proche en se guidant du quadrillage

48
Q

Fiche 3 exo 1 (photo)

Exercice 1
On considère l’homothétie de centre O qui transforme la figure ABFD en A’B’F’D’.

Calculer longueur BD

A

Par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABD, on a : BD ² = AB ² + AD ² = 3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25

D’où BD = racine carré de 25 = 5 cm

49
Q

Fiche 3 exo 1 (photo)

Exercice 1
On considère l’homothétie de centre O qui transforme la figure ABFD en A’B’F’D’.

Sachant que la question d’avant nous donne BD = 5 cm

2) calculer l’angle FBD

A

Comme FBD est un triangle rectangle, on peut appliquer les formules de trigonométrie :

Tan (FBD) = FD / DB = 1
D’où FBD = arctan (1) = 45°

50
Q

Fiche 3 exo 1 (photo)

Exercice 1
On considère l’homothétie de centre O qui transforme la figure ABFD en A’B’F’D’.

Sachant que la question d’avant nous donne BD = 5 cm
Et que angle FBD = 45°

3) calculer la valeur du rapport k

A

k = - A’ D’ / AD = - 1,2/3 = - 12/39 = -2/5

51
Q

Fiche 3 exo 1 (photo)

Exercice 1
On considère l’homothétie de centre O qui transforme la figure ABFD en A’B’F’D’.

Sachant que la question d’avant nous donne BD = 5 cm
Et que angle FBD = 45°
Et que k = -2/5

2) calculer l’aire de la figure A’B’F’D’

A

On calcule l’aire de la figure ABFD et l’aire de la figure A’B’F’D’ sera déterminée en multipliant cette première aire par k ²

D’où aire A’B’F’D’ = Aire ABFD x k ² = -2/5 ² x 37/2 = 4/25 x 37/2 = 74 / 25 = 2,96 cm ²

52
Q

Exercice 3 (Sujet 0 CRPE 2022) photo
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s’appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
- la croix M est située à 30 m du mur d’enceinte de l’école MR =
30 m) ;
- la croix L est située à 40 m du mur d’enceinte de l’école (LS = 40 m) ;
- les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).

Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L’enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l’épreuve soit équitable, l’enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c’est-à-dire des croix L et M.

a. Sur la figure, construire le point T, milieu du segment [ML]. Tracer la droite perpendiculaire à (ML) et passant par T.
On note C le point d’intersection de cette droite avec le mur.

Comment fait on pour réaliser cette construction ?

A

On tire un trait entre M et D, on met T en plein milieu
Puis on trace CT perpendiculaire à ML

53
Q

Exercice 3 (Sujet 0 CRPE 2022) photo
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s’appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
- la croix M est située à 30 m du mur d’enceinte de l’école MR =
30 m) ;
- la croix L est située à 40 m du mur d’enceinte de l’école (LS = 40 m) ;
- les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).

Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L’enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l’épreuve soit équitable, l’enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c’est-à-dire des croix L et M.

4) on a trouvé le point C d’intersection précédemment, justifier que le point C est bien le point de contact cherché

A

Par construction, la droite (TC) est la médiatrice du segment [LM] (car elle lui est perpendiculaire et passe par son milieu T). Par propriété de la médiatrice elle est l’ensemble des points qui sont équidistants de L et de M. Le point C à l’intersection du mur et de cette droite répond donc bien aux exigences de la situation.

54
Q

Exercice 3 (Sujet 0 CRPE 2022) photo
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s’appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
- la croix M est située à 30 m du mur d’enceinte de l’école MR =
30 m) ;
- la croix L est située à 40 m du mur d’enceinte de l’école (LS = 40 m) ;
- les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).

Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L’enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l’épreuve soit équitable, l’enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c’est-à-dire des croix L et M.

5) on a trouvé le point C d’intersection précédemment et justifié que le point C est bien le point de contact cherché

  1. On note x la distance, exprimée en mètre, entre les points R et C dans la cour de récréation.
    a. Déterminer les longueurs MC et CL en fonction de x.
A

Dans le triangle RMC, rectangle en R, on peut appliquer le théorème
de Pythagore : MC ² = RC ²+ RM ²
MC ² = x ² + 30 ² = x ² + 900

Dans le triangle CLS, rectangle en S, on peut appliquer le théorème
de Pythagore : (on utilise les id remarquables pour développer (50-x)²
CL ² = SC ² + SL ²
LC ² = (50 - x) ² + 40 ²
LC ² = a ² - 2ab + b ² + 40 ²
LC ² = 50² - 2 x 50x + x² + 40 ²
LC ² = 2500 - 100x + x ² + 1600
LC ² = x ² - 100x + 4100

55
Q

Exercice 3 (Sujet 0 CRPE 2022) photo
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s’appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
- la croix M est située à 30 m du mur d’enceinte de l’école MR =
30 m) ;
- la croix L est située à 40 m du mur d’enceinte de l’école (LS = 40 m) ;
- les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).

Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L’enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l’épreuve soit équitable, l’enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c’est-à-dire des croix L et M.

5) on a trouvé le point C d’intersection précédemment et justifié que le point C est bien le point de contact cherché

  1. On note x la distance, exprimée en mètre, entre les points R et C dans la cour de récréation.
    a. Déterminer les longueurs MC et CL en fonction de x.

B. En déduire la distance entre les points R et C dans la cour de recré

Sachant qu’on a trouvé ça avant pour la question a : Dans le triangle RMC, rectangle en R, on peut appliquer le théorème
de Pythagore : MC ² = RC ²+ RM ²
MC ² = x ² + 30 ² = x ² + 900

Dans le triangle CLS, rectangle en S, on peut appliquer le théorème
de Pythagore : CL ² = SC ² + SL ²
LC ² = (50 - x) ² + 40 ² = 2500 + x ² - 2 x 50x + 1600
LC ² = x ² - 100x + 4100

A

Les deux distances MC et LC doivent être égales donc leurs carrés
aussi :

MC ² = LC ²
x ² + 900 = x ² - 100x + 4100
900 = -100x + 4100
100x = -900 + 4100
100x = 3200
x = 3200/100 = 32

On a donc prouvé que la distance cherchée est 32 m, ce qui est conforme à l’estimation faite graphiquement en question 2c.

56
Q

Exercice 4 (CRPE 2020) photo
On dispose d’une feuille rectangulaire ABCD telle que AB = racine carre de 2 et BC = 1 (figure 1).

On appelle E le milieu de [DC] et F l’intersection des droites (AE) et (BD).
1. On appelle G le milieu de [BC]. Démontrer que la longueur AG vaut 3/2

A

Étant donné que ABCD est un rectangle, il y a un angle droit en B donc le triangle ABG est rectangle en B.
On peut appliquer le théorème de Pythagore : AG ² = AB ² + BG ²

Comme G est le milieu de BC, BG = 1/2 BC = 1/2

D’où AG = racine carré de 9/4 = 3/2

57
Q

Exercice 4 (CRPE 2020) photo
On dispose d’une feuille rectangulaire ABCD telle que AB = racine carre de 2 et BC = 1 (figure 1).

On appelle E le milieu de [DC] et F l’intersection des droites (AE) et (BD).
En 1 on a démontré que la longueur AG vaut 3/2

Démontrer que AEG est un triangle rectangle en E

A

Voir photo

58
Q

Exercice 4 (CRPE 2020) photo
On dispose d’une feuille rectangulaire ABCD telle que AB = racine carre de 2 et BC = 1 (figure 1).

On appelle E le milieu de [DC] et F l’intersection des droites (AE) et (BD).
En 1 on a démontré que la longueur AG vaut 3/2

On a démontré que AEG est un triangle rectangle en E

Démontrer que les droites (BD) et (EG) sont parallèles.

A

On considère le triangle BCD où E est le milieu de [CD] et où G est le milieu de [BC].

Par le théorème des milieux, on en déduit que les droites (EG) et (BD) sont parallèles.

59
Q

Exercice 4 (CRPE 2020) photo
On dispose d’une feuille rectangulaire ABCD telle que AB = racine carre de 2 et BC = 1 (figure 1).

On appelle E le milieu de [DC] et F l’intersection des droites (AE) et (BD).
En 1 on a démontré que la longueur AG vaut 3/2

On a démontré que AEG est un triangle rectangle en E

On a démontré que les droites (BD) et (EG) sont parallèles.

  1. En déduire que les droites (BD) et (AE) sont perpendiculaires en F.
A

Quand deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Or, on a montré que les droites (BD) et (EG) sont parallèles (question 3) et que la droite (EG) est perpendiculaire à la droite (AE) (question 2).

On en déduit que la droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AE) et leur point d’intersection est le point F par
hypothèse de l’énoncé.

60
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

  1. Démontrer que AIKJ est un rectangle.
A
  1. Démontrer que AIKJ est un rectangle.
    D’après les données de l’énoncé, le quadrilatère AIKJ possède 3 angles droits : IAJ, ATK, AJK.

Un tel quadrilatère est un rectangle. Donc AIKJ est un rectangle.

61
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

En 1 on a démontré que AIKJ est un rectangle.

  1. On se place dans le cas où AI = 2,4 cm.
    a. Tracer le triangle ABC en vraie grandeur et placer les points I, J et K.

Comment on fait ?

A

On se met perpendiculairement à 2,4cm de A puis on trace IK perpendiculaire à AI
puis KJ perpendiculaire à KI

62
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

En 1 on a démontré que AIKJ est un rectangle.

  1. On se place dans le cas où AI = 2,4 cm.
    a. On a tracé le triangle ABC en vraie grandeur et placer les points I, J et K.

B) montrer que IK = 4,8cm

A

Les triangles ABC et BIK sont en configuration de Thalès avec les points A,J,C alignée dans cet ordre et les points B, K, Calignés dans cet ordre. De plus, comme les droites (AC) et (IK) sont perpendiculaires à la droite (AB), elles sont parallèles entre elles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès :
BI / BA = BK / BC = IK / AC

Comme les points B, I, A sont alignés, on peut écrire :
BI = AB - AI = 6 - 2,4 = 3,6 cm.
3,6/ 6 = IK / 8

On en déduit : IK = 8 x 3,6/6 = 4,8 cm.

63
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

En 1 on a démontré que AIKJ est un rectangle.

  1. On se place dans le cas où AI = 2,4 cm.
    a. On a tracé le triangle ABC en vraie grandeur et placer les points I, J et K.

On a montré que IK = 4,8cm

c. Calculer l’aire du rectangle AIKJ, en centimètre carré.

A

La formule de l’aire du rectangle est longueur x largeur. D’où l’aire du rectangle AIKJ est :
AI × IK = 2,4 x 4,8 = 11,52 cm ²

64
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

En 1 on a démontré que AIKJ est un rectangle.

  1. On se place dans le cas où AI = 2,4 cm.
    a. On a tracé le triangle ABC en vraie grandeur et placer les points I, J et K.

On a montré que IK = 4,8cm

On a calculé l’aire du rectangle AIKJ, en centimètre carré = 11,52 cm ²

  1. Le point I est mobile sur le segment [AB], la longueur Al est donc variable.
    On pose Al = x, où x est un nombre compris entre 0 et 6.

a.Exprimer BI en fonction de x.

A

Comme les points B, I, A sont alignés, on peut écrire : BI = AB - AI = 6 - x.

65
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

En 1 on a démontré que AIKJ est un rectangle.

  1. On se place dans le cas où AI = 2,4 cm.
    a. On a tracé le triangle ABC en vraie grandeur et placer les points I, J et K.

On a montré que IK = 4,8cm

On a calculé l’aire du rectangle AIKJ, en centimètre carré = 11,52 cm ²

  1. Le point I est mobile sur le segment [AB], la longueur Al est donc variable.
    On pose Al = x, où x est un nombre compris entre 0 et 6.

a. On a exprimé BI en fonction de x
= 6 - x

b. Montrer que IK = 8 - 3/4 x

A

Thales :

BI / BA = IK / AC
6-x / 6 = IK / 8

On en déduit : IK
= 8 * (6-x / 6)
= 8 * (6/6 - x/6)
= 8 * (1- x/6)
= 8 - 8/6 x
= 8 - 4/3 x

66
Q

Exercice 5 (CRPE 2020)
On considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Les trois points I, K et J sont définis de la façon suivante :
I est un point du segment [AB] ;
K est le point du segment [BC] tel que (KI) est perpendiculaire à (AB) ;
J est le point du segment AC tel que KJ est perpendiculaire à AC

En 1 on a démontré que AIKJ est un rectangle.

  1. On se place dans le cas où AI = 2,4 cm.
    a. On a tracé le triangle ABC en vraie grandeur et placer les points I, J et K.

On a montré que IK = 4,8cm

On a calculé l’aire du rectangle AIKJ, en centimètre carré = 11,52 cm ²

  1. Le point I est mobile sur le segment [AB], la longueur Al est donc variable.
    On pose Al = x, où x est un nombre compris entre 0 et 6.

a. On a exprimé BI en fonction de x
= 6 - x

b. On a montré que IK = 8 - 3/4 x

c. En déduire une expression de l’aire du rectangle AIKJ en fonction de x.

A

L’aire du rectangle AIKJ est : Al x IK = x * (8 - 3/4 x )

67
Q

Situation 4 : exo avec d’un côté :
un quadrillage, un axe de symétrie horizontal et un avion en papier.
De l’autre coté :
Un quadrillage, un axe de symétrie oblique, un F
Consigne : construit le symétrique des figures par rapport à la droite tracé en gras
Outil : règle uniquement

Compétences évaluée des 2 exos ?

A
  • construire la figure symétrique d’une figure donné par rapport à un axe donné (sur papier quadrillé)
68
Q

Situation 4 : exo avec d’un côté :
un quadrillage, un axe de symétrie horizontal et un avion en papier.
De l’autre coté :
Un quadrillage, un axe de symétrie oblique, un F
Consigne : construit le symétrique des figures par rapport à la droite tracé en gras
Outil : règle uniquement

Indiquer les choix effectuées par l’enseignant pour les principales variables didactique de la situation

A
  • support : papier quadrillé
  • orientation de l’axe : oblique, horizon
  • Placement de la figure : sommets = noeuds du quadrillage, pas de pts d’intersections avec l’axe, segments suivent ou non le quadrillage
69
Q

Situation 4 : exo avec d’un côté :
un quadrillage, un axe de symétrie horizontal et un avion en papier.
De l’autre coté :
Un quadrillage, un axe de symétrie oblique, un F
Consigne : construit le symétrique des figures par rapport à la droite tracé en gras
Outil : règle uniquement

Citer deux procédures qu’un élève de cycle 3 peut utiliser pour résoudre cet exercice

A
  • 1ere procédure : placer les pts remarquables, les joindre avec la règle
  • 2e procédure : prendre un point proche de l’axe, puis tracer de proches en proches
70
Q

Situation 4 : exo avec d’un côté :
un quadrillage, un axe de symétrie horizontal et un avion en papier.
De l’autre coté :
Un quadrillage, un axe de symétrie oblique, un F
Consigne : construit le symétrique des figures par rapport à la droite tracé en gras
Outil : règle uniquement

Quelles peuvent être les erreurs et réussites

A

sommets bien placés
Figure obtenue par translation
Tracés effectués au jugé, sans compter le nb de carreaux