1.9 Elegante geometrische Argumentationen Flashcards
Definition 1.9.1: Höhe im Dreieck
Sei durch drei nicht kollineare Punkte A,B und C ein Dreieck ABC gegeben. DAnn kann man von jedem Eckpunkt des Dreiecks das Lot auf die Gerade fällen, die durch die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks gebildet wir, also:
das Lot von A auf die Strecke BC mit Fußpunkt HA
das Lot von B auf die Strecke CA mit Fußpunkt HB
das Lot von C auf die Strecke AB mit Fußpunkt HC
Definition 1.9.2: Kegelschnitt
Seien F1 und F2 zwei verschiedene Punkte der Ebene. Sei r > | F1F2 |.
Eine Ellipse ist jene Punktmenge, für die die Summe der Abstände von F1 und von F2 gleich r ist, d.h. | XF1 | + | XF2 | = r Sei | F1F2 | > r > 0.
Eine Hyperbel ist jene Punktmenge, für die die absolute Differenz der Abstände von F1 und F2 gleich r ist, d.h. | | XF1 | - | XF2 | | = r.
Die Hyperbel zerfällt in zwei disjunkte Äste:
F1-Ast: | XF1 | - | XF2 | = -r
F2-Ast: | XF1 | - | XF2 | = +r
Sei I eine Gerade, die nicht durch F1 geht.
Eine Parabel ist jene Punktmenge, für die der Abstand von F1 gleich dem Normalabstand von I ist, d.h. | XF1 | = Normalabstand von X zu I
F1, F2 … Brennpunkte
I … Leitlinie
r … Hauptachsenlänge
Definition 1.9.3: Zerlegung der Ebene durch Kegelschnitte
Sei P ein beliebiger Punkt der Ebene.
Für eine Ellipse mit Brennpunkten F1,F2 betrachten wir die Strecke F1P. Wenn diese Strecke einen Punkt Q != P der Ellipse enthält, dann liegt P außerhalb der Ellipse. Wenn diese Strecke keinen Punkt der Ellipse enthält, dann liegt P innerhalb der Ellipse.
Für den F1-Ast einer Hyperbel mit Brennpunkten F1,F2 betrachte die Strecke F1P. Enthält diese Strecke einen Punkt Q != P des F1-Astes dann liegt P außerhalb des F1-Astes der Hyperbel. Enthält diese Strecke keinen Punkt der Hyperbel, dann liegt P innerhalb des F1-Astes der Hyperbel.
Für eine Parabel mit dem Brennpunkt F1 betrachte die Strecke F1P. Wenn diese Strecke einen Punkt Q != P enthält, dann liegt P außerhalb der Parabel. Enhält diese Strecke keinen Punkt der Parabel, dann liegt P innerhalb der Parabel.
Definition 1.9.5: Tangente
Eine Gerade g, die einen Kegelschnitt (bzw. Ast) in einem einzigen Punkt P schneidet, für die aber alle anderen Punkte Q auf der Geraden g außerhalb des (Astes des) Kegelschnitts liegen, heißt eine Tangente an den Kegelschnitt im Tangentialpunkt P.
