5b

Question 1

Lös följande ekvation:
x^2 - 2x + 5

Answer 1

x1 = 1 - i2
x2 = 1 + i2

Question 2

Om fjärdegradpolymnomet p(x) har roten a som är imaginär.
1: Vilken annan rot vet vi då?
2: Vilken metod räknar man ut resten av rötterna när vi vet dom 2 kända imaginära?

Answer 2

1: ā = konjugaten till a är också en rot till p(x)
2: p(x) / ((x-a)*(x-ā)) ger en andragradspolymnom som man räknar ut rötterna med pq-formeln

Question 3

Vad är rötterna till följande:
x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x - 2
Om en rot är 1 + i ?

Answer 3

x1=-1 , x2=1 , x3=1-i , x4=1+i
Då vet vi att konjugaten till roten är också en rot, alltså 1 + i. Multiplicerar vi ihop dom kända rötterna kan man sedan använda polymnomdivision för att få ut uttrycket x^2 - 1. Detta ger ekvationen nedan. Och rötterna till den första termen är -1 och 1.
[(x^2-1)(1+i)(1-i) = x^4-2x^3+x^2+2x-2]

Question 4

1: cos (u+v) = ?
2: cos (u-v) = ?
3: sin (u+v) = ?
4: sin (u-v) = ?
5: tan (u+v) = ?
6: tan (u-v) = ?

Answer 4

1: cos ucos v - sin usin v [+ blir -]
2: cos ucos v + sin usin v [- blir +]
3: sin ucos v + sin vcos u [uv + vu]
4: sin ucos v - sin vcos u [uv - vu]
5: (tan u+tan v)/(1-tan utan v)
6: (tan u-tan v)/(1+tan utan v)

Question 5

Vad är sin(75°) exakt?

Answer 5

Beräkna med sin(45°+30°), [sin(u+v)]
(sqrt(6)+sqrt(2))/4

Question 6

1: sin 2v = ?
2: tan 2v = ?
3: cos 2v = ?

Answer 6

1: 2sin vcosv
2: (2*tan v) / (1 - tan^2 v)
3: cos^2 v - sin^2 v

Question 7

Vad är sin v = 1/2?

Answer 7

pi/6 + n2pi
eller
5pi/6 + n2pi
[Där n är ett heltal]

Question 8

Vad är cos v = 1/2?

Answer 8

pi/3 + n2pi
eller
-pi/3 + n2pi
[Där n är ett heltal]

Question 9

Vad är tan v = 1?

Answer 9

pi/4 + n*pi
[Där n är ett heltal]

Question 10

Vad är sin(2v+1) = 1/2

Answer 10

(pi-6)/12 + npi
eller
(5pi-6)/12 + npi
[Där n är ett heltal]

Question 11

Vad är följande?
cos 3v + cos v = 0

Answer 11

pi/2 + npi
eller
-pi/4 + npi/2
(Därför att cos w = cos u blir
w = +/- u + n2pi alltså,
3v = +/- (v+pi) + n 2pi)
[Där n är ett heltal]

Question 12

Vad är hjälpvinkelsatsen?

Answer 12

asin v + bcos v = A*sin v+u
Där A=sqrt(a^2+b^2)
Där cos u = a/A
Där sin u = b/A

Question 13

Försök att använda hjälpvinkelsatsen utan att slå upp den.
Vad är följande?
sin v + sqrt(3)*cos v = 1

Answer 13

1: pi/3+v = pi/6 Svar: v = -pi/6+n2pi
2: pi/3+v = 5pi/6 Svar: v = pi/2+n2pi

[Eftersom a=1 och b=sqrt(3) och
A = sqrt(1^2 + (sqrt(3))^2) = 2 ,
cos u=1/2 och sin u=sqrt(3)/2 blir
u = pi/3 , sin (u + v) = 1/2 –>
sin (pi/3 + v) = 1/2]

Question 14

Vad är följande?
2*(cos v)^2 - cos v = 3

Answer 14

pi + n2pi eller -pi + n2pi (det är samma så en räcker)

[Ersätt cos v till en variabel och räkna ut rötterna. cos v blir då -1 och 3/2 men cos v kan ej vara större än 1, alltså är cos v endast = -1]

Question 15

Vad är 2^x + 2^(x-1) = 6?

Answer 15

x=2

Antingen med att 2^x = en variabel eller att 2^x = 2*2^(x-1) och sedan bryta ut 2^(x-1)

Question 16

Vad är e^2x + e^x - 2 = 0?

Answer 16

x=0

[Sätt e^x = en variabel så får man e^x = -2 och 1, men e^x måste vara större än 0 så därför är e^x enda lösningen]

Question 17

Vad är lg(x^2)=2?

Answer 17

x1 = -10
x2 = 10

[Viktigt att inte skriva 2*lg x = 2, sätt x^2 till en variabel för lätt uträkning]

Question 18

Vad är |x-3|+|2x+1|= 5?
Svara med rätt intervall och rätt antal rötter

Answer 18

-1 och 1
{-(x-3)-(2x+1) –> x=-1 om x<-1/2 }
{-(x-3)+(2x+1) –> x=1 om -1/2</=x<3 }
{+(x-3)+(2x+1) –> x=7/3 om x>/=3 }
(Men x kan inte vara 7/3 i intervallet då x är större eller lika med 3 så det är en falsk rot) Rätt svar är alltså:
x=-1 om x<-1/2
x=1 om -1/2</=x<3

Question 19

Lös följande:
1: x^2 + 2x + 2 = 0
2: 3x^2 + 1 = 3x

Answer 19

1: x1=-1-i , x2=-1+i
2: x1=(3+isqrt(3))/6 , x2=(3-isqrt(3))/6

Question 20

Vad är följande och hur många lösningar har dom i [-pi/3,pi/3]
1: sin 2v = 1/2
2: sin (3v-1) = -1

Answer 20

1: v1=pi/12+npi (1), v2=5pi/12+npi (0) (1)+(0)=[1] lösning i intervallet
2: v1=1/3+pi/2+n2pi/3 (1)
(1)=[1] lösning i intervallet

Question 21

Vad är följande?
1: sin v - sin u = ?
2: sin v + sin u = ?

Answer 21

1: 2cos((v+u)/2)sin((v-u)/2)
2: 2sin((v+u)/2)cos((v-u)/2)

Question 22

Vad är lösningarna och hur många finns i [0,pi]? (Använd sin v+sin u och sin v-sin u)
1: sin 3v = sin v
2: sin 3v + sin v = 0

Answer 22

1: v1=npi (2), v2=pi/4+npi/2 (2),
(2)+(2)=[4] lösningar i intervallet

2: v1=npi/2 (2) , v2=pi/2+npi (1)
(2)+(1)=[3] lösningar i intervallet

Question 23

Vad är lösningarna och hur många finns i [0,pi]?
cos(pi/2-v) = cos 2v

Answer 23

v=pi/6+n2pi/3 (2),
(2)=[2] lösningar i intervallet

Question 24

Lös följande och bestäm hur många lösningar inom [0°,270°]
5sin v - 6(sin v)^2 = 1

Answer 24

(Lös genom att sätta sin v = variabel)
Fall 1: sin v = 1/3 –>
–> v1=arcsin(1/3)+n2pi (1) ,
–> v2=pi-arcsin(1/3)+n2pi (1)
Fall 2: sin v = 1/2 –>
–> v3=pi/6+n2pi (1) ,
–> v4=5pi/6+n2pi (1) ,
(1)+(1)+(1)+(1)=[4] vinklar i intervallet

Question 25

1: 2cos^3v-3cos^2v-3cos v+2=0?
2: Hur många lösningar är i [0°,270°]

Answer 25

1: Svar: v1=pi+n2pi (1) ,
v2=pi/3+n2pi (1) , v3=-pi/3+n*2pi (0)

{Bryt ut 2 och 3 så det blir [2(cos^3v+1)-3cos v(cos v+1)] sedan använd a^3+b^3 för att få [2((cos v+1)(cos^2v-cos v+1)-3cos v(cos v+1)] och bryt ut (cos v+1), då är (cos v+1)=0 och 2(cos^2v-cos v+1)=0
(svaret cos v=2 faller bort)}

2: (1)+(1)+(0)=[2] lösningar i intervallet

Question 26

Bestäm alla dom Reella lösningarna till: 3^x + 2*3^(x-1) = 45

Answer 26

x = 3

Question 27

Vad är följande?
e^(2x) + 2e^x = 3

Answer 27

e^x har värdemängded [1,/8/)
{där /8/ är postitivt öändligt}
Man ser då att minsta värdet som ekvationen kan anta blir just 3.
e^x och e^(2x) = 1 vilket ger x = 0

Question 28

Vad är 2lg (x-1) + lg 2 = 3lg 4?

Answer 28

Svar: x = 1+4sqrt(2)

Värdemängden för lg a är
[1 < a < /8/) ,{där /8/ är oändligt}
(x2 = 1 - 4sqrt(2) är utanför mängden)

Question 29

Vad är följande ekvationer i det mittersta intervallet för x?
1: |x-2|+|x+1|= 3?
2: |2^x - 2|=|2^x - 4|?

Answer 29

1: x = Alla Rella Tal
2: x = log2(3)

Question 30

Vad är |lg 2x|=|lg x| ?

Answer 30

Svar: 1/sqrt(2)

(-1/sqrt(2) faller bort då x har definitionsmängden [0 < x < /8/), {där /8/ är postitivt oändligt}
Man räknar ut ekvationen genom att dela upp i 4 fall för att då bort absolutbeloppen. Detta går att förkortas till 2 fall då 2 av fallen är identiska med andra. Fall 2 har inga Reella lösningar eftersom lg 2 ej är 0.
1: +(lg 2 + lg x) = -(lg x)
2: +(lg 2 + lg x) = +(lg x)

Question 31

Vilka Reella lösningar har följande?
1: 2ln(x-1)+ln(x+6)=3ln x
2: ln(x^2 + 1)+ln x=ln(x^3)

Answer 31

1: x=2 {då ln (a) måste a vara större än 0 och då ln (x-1) måste x vara större än 1 vilket andra roten 3/4 inte är}
2: Inga Reella Lösningar {x blir 0 men ln(a) måste a vara större än 0, så x får ej vara 0. Alltså, inga Reella lösningar}