Fonction inverse

Question 1

Définition

Answer 1

On appelle fonction inverse la fonction définie sur ]-inf; 0[ u ]0;+inf[ par f(x) = 1/x Attention, la fonction inverse n’est pas définie sur 0

Question 2

Etude des variations

Démonstration sur ]-inf; 0[

Answer 2

Soit x1 et x2 tels que x1 < x2 < 0
Pour étudier les variations de la fonction inverse, on va comparer 1/x1 et 1/x2 en étudiant le signe de leur différence.
1/x1 - 1/x2 = x2-x1/x1x2
or x1 < 0 et x2 < 0 donc x1x2 > 0
et x1 < x2 donc x2-x1 > 0
donc x2-x1/x1*x2 > 0
Bilan on avait x1 < x2 < 0
on a obtenu 1/x1 - 1/x2 > 0
donc 1/x1 > 1/x2
La fonction inverse ne conserve pas l’ordre entre deux nombres négatifs et leurs images.
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-inf; 0[

Question 3

Etude des variations

Démonstration sur ]0; +inf[

Answer 3

Soit x1 et x2 tels que 0 < x1 < x2
Pour étudier les variations de la fonction inverse, on va comparer 1/x1 et 1/x2 en étudiant le signe de leur différence.
1/x1 - 1/x2 = x2-x1/x1x2
or x1 > 0 et x2 > 0 donc x1x2 > 0
et x1 < x2 donc x2-x1 > 0
donc x2-x1/x1*x2 > 0
Bilan on avait 0 < x1 < x2
on a obtenu 1/x1 - 1/x2 > 0
donc 1/x1 > 1/x2
La fonction inverse ne conserve pas l’ordre entre deux nombres positifs et leurs images.
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; +inf[