Grundideen der baysianischen Statistik

Question 1

Frequentistische Deutung:

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit ist die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei sehr häufiger Wiederholung

Question 2

Bayessche/Bayesianische Deutung:

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit ist der Grad der subjektiven Überzeugung über das Eintreten eines Ereignisses

Question 3

Axiomatische Deutung

Answer 3

Beschreibt die mathematischen Eigenschaften der WSK ohne diese inhaltlich zu bestimmen (vgl Kolmogorov)

Question 4

Parameterschätzung, klassisch

Answer 4

wie wahrscheinlich die gefundenen Daten unter der Annahme eines Parameterwertes sind:

Question 5

Über die Dichtefunktion finden wir das

Answer 5

95%- Konfidenzintervall.

Question 6

Konfidenzintervall

Answer 6

Ein Konfidenzintervall enthält den wahren Wert oder es enthält ihn nicht.
Wir wissen nicht, ob ein einzelnes Konfidenzintervall den wahren Wert enthält.
Bei wiederholter Stichprobenziehung (jeweils mit Bildung eines Konfidenzintervalls) werden 95% der 95%-Konfidenzintervalle den wahren Wert enthalten und 5% nicht.

Question 7

Parameterschätzung, Bayes

Answer 7

wahrscheinlich welche Parameterwerte sind, gegeben die Werte der Daten
Statt davon auszugehen, dass 𝜇 eine Konstante ist, wird in der Bayes-Inferenz davon ausgegangen, dass der Populationswert eine Zufallsvariable ist.

Question 8

Der Parameter wird als

Answer 8

𝜃 bezeichnet

Question 9

beobachteten Werte der Stichprobe

Answer 9

𝑋 = 𝑥.

Question 10

Posteriori-Verteilung 𝑓( 𝜃 /𝑥)

Answer 10

die Verteilung der Populationswerte in Abhängigkeit vom Stichprobenwert.

Question 11

𝑓(𝜃/𝑥)

Answer 11

Posteriori Verteilung

Question 12

𝑓(𝑥/𝜃)

Answer 12

Likelihood-Verteilung (diese kennen wir aus der klassischen Vorgehensweise)

Question 13

𝑓(𝜃)

Answer 13

Priori-Verteilung (das „geronnene“ Vorwissen)

Question 14

Wenn keinerlei Informationen in der Priori-Verteilung enthalten ist, entspricht die Posteriori- Verteilung der

Answer 14

Likelihood-Verteilung

Question 15

Erwartungswert der Verteilung der beste Punktschätzer für

Answer 15

die Population

Question 16

Die mittleren 95% der Posteriori-Verteilung bilden das

Answer 16

95%-Kredibilitätsintervall.

Question 17

Kredibilitätsintervall

Answer 17

Ein 95%-Kredibilitätsintervall enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% den unbekannten (und zufälligen) Parameter

Question 18

Prior

Answer 18

Nichtinformativ (ohne Vorwissen)

Informativ (mit Vorwissen)

Question 19

Likelihood

Answer 19

(Ergebnis der Datenerhebung)

Question 20

Posterior

Answer 20

Ergebnis der Studie

Question 21

Hypothesentest, klassisch

Answer 21

Hypothese und damit auch angenommene Parameterwerte

Dann fragen wir uns, wie wahrscheinlich die gefundenen Daten unter der Gültigkeit der Hypothese sind:

Question 22

Wenn die gefundenen Daten hinreichend unwahrscheinlich sind,

Answer 22

wird der angenommene Parameterwert (& damit die Hypothese) abgelehnt.

Question 23

Hypothesentest in Bayes

Answer 23

Im Bayes-Kontext gibt es in der Bedeutung kein Äquivalent für den p-Wert! Hypothesen können durch den Blick auf die Posteriorverteilung beurteilt werden
(zB „Liegt ein vermuteter Parameter im Kredibilitätsintervall?“)
Hypothesen können auch in einem Modellvergleich durch den Bayes-Faktor verglichen werden.

Question 24

Hypothesentest in Bayes: Bayes-Faktor

Answer 24

Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑀 ) und 𝑃(𝑀 ) zuordnen. 11

❖ Wenn wir keine Priorität haben, könnte gelten 𝑃(𝑀 ) = 𝑃(𝑀 ) = 1

Question 25

informativer Prior

Answer 25

Wenn es vor der Studie schon merkliches Vorwissen bezüglich der Parameter gab

Question 26

Wenn wir uns schon vor der Studie sehr sicher waren, hat der Prior

Answer 26

eine geringere Streuung.

Question 27

Wenn wir sehr sicher waren vor der Studie und den Prior entsprechend schmal gewählt haben, kann es natürlich auch sein, dass wir falsch lagen. Dann

Answer 27

behindert uns dies daran, aus den Daten die richtigen Erkenntnisse zu ziehen.

Question 28

Bayes-Faktoren anstelle von p-Werten?

Answer 28

Wenn es dabei aber um den Vergleich einer klassischen Null- und Alternativhypothese geht, bietet p-Werte und Bayes-Faktoren als Funktionen der Likelihood quasi die gleiche Information (sie sind auch stark korreliert).
Die bayesianische Interpretation bietet aber den Vorteil einer Interpretation der Hypothesen als unterschiedlich wahrscheinlich.
Da in der bayesianischen Statistik die Parameterwerte direkt geschätzt werden können, sind Hypothesentests eigentlich überflüssig.