Analyse Flashcards
(25 cards)
Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment
Image d’un segment par une fonction continue
Toute fonction continue sur un segment y est bornée et atteint ses bornes (possède donc un min et un max)
f : I → ℝ est k-lipschitzienne (def)
∃k ∈ ℝ+, ∀(x, y) ∈ I², │f(y) - f(x) │ ≤ k*│x - y │
Théorème des valeurs intermédiaires 1
Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ continue sur [a; b] Si f(a)*f(b) ≤ 0, alors il existe c compris entre a et b tel que f(c) = 0
Théorème des valeurs intermédiaires 2
f : I → ℝ continue sur I et a, b dans I
Pour tout k compris entre f(a) et f(b), il existe c compris entre a et b tel que f(c) = k
Théorème des valeurs intermédiaires 3
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
Théorème de Rolle
Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ
Si f est continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[, et f(a) = f(b)
Alors ∃c ∈ ]a; b[ tel que f’(c) = 0
Théorème des accroissements finis
Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ
Si f est continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[
Alors ∃c ∈ ]a; b[ tel que f(b) - f(a) = f’(c)*(b-a)
Inégalité des accroissements finis
Soient a < b deux réels et f : [a; b] → ℝ continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[
1/ Si ∃(m, M) ∈ ℝ², ∀x ∈ ]a; b[, m ≤ f’(x) ≤ M
alors m(b-a) ≤ f(b)-f(a) ≤ M(b-a)
2/ Si ∃K ∈ ℝ+, ∀x ∈ ]a; b[, │f’(x)│≤ K
alors │f(b)-f(a)│≤ K*│b-a│
Théorème de prolongement des fonctions de classe Cp
f : [a; b] → ℝ de classe Cp sur [a; b[
Si f continue sur [a; b], et si la dérivée p-ième de f a une lim finie en b alors f est prolongeable en une fonction de classe Cp sur [a; b]
Formule de Leibniz
Soient n un entier naturel et f, g : I → ℝ de classe Dⁿ (resp Cⁿ)
Alors fg de classe Dⁿ (resp Cⁿ) et la dérivée n-ième de fg correspond au binôme de Newton
Racines n-ième de a = |a|*exp(iθ) ∈ ℂ
solutions de zⁿ = a
∀k∈ [|0; n-1|], zk = |a|^(1/n) * exp(iθ/n + i2kπ/n)
z*Conj(z)
= |z|²
tan’
tan’ = 1/cos² = 1 + tan²
arcsin’
arcsin’(x) = 1/√(1-x²)
arccos’
arccos’(x) = -1/√(1-x²)
arctan’
arctan’(x) = 1/(1+x²)
Relation avec arctan
arctan(x) + arctan(1/x) = signe(x) * π/2
∀θ ∈ R, Tn(cos θ) = cos(nθ)
1) Existence et unicité
2) Relation de récurrence
3) Degré et coefficient dominant
4) Parité
5) Équation différentielle
https: //www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/Polynomes/PolynomesTchebychev.pdf
2) ∀n ∈ N, Tn+2 − 2XTn+1 + Tn = 0
3) T₀ = 1 et ∀n ∈ N, deg(Tn) = n et ∀n ∈ N, dom(Tn) = 2ⁿ⁻¹
4) Pour tout entier naturel n, Tn a la parité de n
5) ∀n ∈ N, (1 − X²)Tn′′ − XTn′ + n² * Tn = 0
∑k, ∑k², ∑k³
∑k = n(n+1)/2 ∑k² = n(n+1)(2n+1)/6 ∑k³ = (n(n+1)/2)²
Expression de uᵢ quand uᵢ₊₁ = a*uᵢ + b (a≠1)
On note l tel que a*l + b = l uᵢ₊₁ - l = a(uᵢ - l) Donc (uᵢ - l)ᵢ est une suite géométrique uᵢ - l = aⁱ (u₀ - l) D'où uᵢ = aⁱ (u₀ - l) + l
Suite linéaire récurrente d’ordre 2
uᵢ₊₂ = auᵢ₊₁ + buᵢ
r² - ar - b = 0 (Ec)
Si Ec possède deux racines distinctes r₁ et r₂
uᵢ = x₁r₁ⁱ + x₂r₂ⁱ
Si Ec possède une racine double r
uᵢ = (x₁ + ix₂)rⁱ
Si Ec possède deux racines complexes conjuguées zexp( ± jθ)
uᵢ = (x₁cos(iθ) + x₂sin(iθ))*zⁱ
Primitive de (ln x)/x
1/2 * (ln x)²
Primitive de ln x
x*ln x - x
