Espaces vectoriels et réduction Flashcards
Caractérisation d’un sev F d’un K-ev E
F ⊂ E
F ≠ ∅
Ɐ(x, y) ∈ F², Ɐ(a, b) ∈ K², ax + by ∈ F
Caractérisation d’une sous algèbre B de (A, +, *, ●)
B ⊂ A
1A ∈ B
Ɐ(x, y) ∈ B², Ɐa ∈ K, a●x + y ∈ B
Ɐ(x, y) ∈ B², x*y ∈ B
Théorème de la base incomplète
E ev de dim finie
Soient F une famille libre et G une famille génératrice
alors on peut compléter F en une base de E à l’aide de vecteurs de G
Formule de Grassman
F, G sev d’un ev E
alors dim F+G = dim F + dim G - dim F∩G
Théorème du rang
E ev de dim finie, f appli linéaire de E dans F
dim E = rg f + dim Ker f
H sev d’un ev E, H hyperplan de E
H = Ker f (où f une forme linéaire non nulle) <=> H ≠ E et Ɐa ∈ E \ H, E = H ⊕ Vect a
Base canonique de Mn,p(K)
(Ei,j) avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p
et Ei,j = [δi,k * δj,l] avec 1 ≤ k ≤ n et 1 ≤ l ≤ p
Produit de deux éléments de la base canonique de Mn,p(K)
Ei,j * Ek,l = δj,k * Ei,l
Calcul du déterminant de A = (ai, j) : développement selon la j-ième colonne
det A = Σ ai,j * (-1)^[i+j] * Δi,j
on somme pour i de 1 à n
Lien entre une matrice A de Mn(K) et sa comatrice
tA * (com A) = t(com A) * A = (det A) * In
Déterminant d’une matrice A de Mn(K) triangulaire
det A = Π aᵢᵢ
produit pour i de 1 à n
Sn(K) : déf + dim
Ensemble des matrices symétriques : {A ∈ Mn(K), tA = A}
dim Sn(K) = n(n+1)/2An(K) : déf + dim
Ensemble des matrices antisymétriques : {A ∈ Mn(K), tA = -A}
dim An(K) = n(n-1)/2Sous espace propre associé
Eλ(u) = Ker u-λid = {vect propre associé à λ}
Polynôme caractéristique de A
χA = det X*In - A
Coef de χA
χA = Xⁿ - (tr A)*Xⁿ⁻¹ + … + (-1)ⁿ det A
Coef de χA s’il est scindé
tr A = Σ λᵢ
det A = Π λᵢ
Relation sur la dimension de Eλ
1 ≤ dim Eλ ≤ m(λ) Avec m(λ) multiplicité de λ comme racine de χ
Lemme de décomposition des noyaux
u un endomorphisme P, Q deux polynômes de K[X] tq pgcd(P, Q) = 1 Alors Ker(PQ)(u) = KerP(u) ⊕ KerQ(u)
Théorème de Cayley-Hamilton
E de dim finie, u un endomorphisme
Alors χu(u) = 0
u diagonalisable
5 équivalences
χu scindé et Ɐλ ∈ Sp(u), dim Eλ(u) = m(λ)
<=> E = ⊕ Eλ(u)
<=> dim E = ∑dim Eλ(u)
<=> ∃P ∈ K[X] scindé à racines simples tq P(u) = 0 (E de dim finie)
<=> μu scindé à racines simples
u diagonalisable (déf)
∃B une base de E tq la matrice de u dans la base B soit diagonale
A diagonalisable (3 équivalences)
A semblable à matrice diagonale
<=> X → AX diagonalisable
<=> χA scindé et Ɐλ ∈ Sp(A), rg(A - λIn) = n - m(λ)
A trigonalisable
A semblable à une matrice triangulaire (sup ds la déf)
<=> χA scindé
