Aussagenlogik

Question 1

Erkläre die UND-Verknüpfung

Answer 1

Diese liefert genau dann am Ausgang eine 1, wenn beide Eingänge gleich 1 sind. Das entspricht in der Aussagenlogik der Feststellung, dass eine UND-Aussage genau dann wahr ist, wenn beide Teilaussagen wahr sind.
Schreibweise: A∧B

Question 2

Erkläre die ODER-Verknüpfung

Answer 2

Diese liefert genau dann am Ausgang eine 1, wenn mindestens einer der beiden Eingänge gleich 1 ist. In der Aussagenlogik ist dementsprechend die Verbindung zweier Aussagen durch ODER genau dann wahr, wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist. Beachte dass es sich hier um das nicht ausschließende ODER handelt, also nicht um ENTWEDERODER.
Schreibweise: A∨B

Question 3

Erkläre die Negation

Answer 3

Während AND und OR sogenannte zweistellige Verknüpfungen sind, d.h. zwei Eingänge haben, ist die Negation (NICHT-Verknüpfung) eine einstellige Verknüpfung, sie hat nur einen Eingang. Am Ausgang liegt genau dann eine 1, wenn am Eingang das 0-Signal anliegt und umgekehrt.
Schreibweise: ¬A

Question 4

Erkläre die neutralen Elemente bezüglich UND/ODER-Verknüpfungen

Answer 4

A∨0=A entspricht A+0=A
A∧0=0 entspricht A⋅0=0
A∧1=A entspricht A⋅1=A

Question 5

Was ist eine Kartesische Menge?

M = {W,F}
D = M x M = ...

Answer 5

Die Kartesische Menge umfasst alle möglichen geordneten Paare, die mit den Teilmengen des Wertebereichs gebildet werden können.
Dort ist das erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge.

D = { (W,W) , (W,F) , (F,W) , (F,F) }

Question 6

Erkläre die Basis der logischen Operatoren

M <= O

Answer 6

M kann jeden Operator, der nicht in M enthalten ist mit den Operatoren in M definieren

Question 7

Erkläre Implikation

A=>B

Answer 7

Sprechweise

A impliziert B

A ist wahr, genau dann wenn B

(¬A)vB

Die Wahrheitstabelle dazu sieht so aus:

Question 8

Erkläre die folgenden Rechenregeln der Aussagenlogik:

1. Idempotenz der Negation
2. Idempotenz der Konjunktion
3. Idempotenz der Disjunktion
4. Assoziativität der Konjunktion
5. Assoziativität der Disjunktion
6. Distributivität der Konjunktion
7. Distributivität der Disjunktion
8. Erste De Morgan’sche Regel
9. Zweite De Morgan’sche Regel
10. Reduktion der Implikaton
11. Transitivität der Implikation
12. Reduktion der Äquivalenz

Answer 8

1. Idempotenz der Negation: ¬(¬A) = A
2. Idempotenz der Konjunktion: A ∧ A = A
3. Idempotenz der Disjunktion: A ∨ A = A
4. Assoziativität der Konjunktion: A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
5. Assoziativität der Disjunktion: A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
6. Distributivität der Konjunktion: A ∧ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
7. Distributivität der Disjunktion: A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
8. Erste De Morgan’sche Regel: ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
9. Zweite De Morgan’sche Regel: ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
10. Reduktion der Implikaton: A ⇒ B = (¬A) ∨ B
11. Transitivität der Implikation: ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
12. Reduktion der Äquivalenz: (A ⇔ B) = ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)