LGS Flashcards
Wie werden in dem Screenshot die Zahlen a(ij) und b(k) genannt? Mit welchem Adjektiv werden die Bezeichnungen unterschieden?
Diese Zahlen werden Koeffizienten genannt, dabei sind der Teil, die an das x gebunden sind, die “gebundenen Koeffizienten” und der Teil rechts vom Gleichzeichen, die “freien Koeffizienten”.
Wie wird das unten gezeigte mathematische Gebilde genannt?
Wie werden die einzelnen Zahlen davon genannt?
Das Gebilde wird Matrix genannt und ihre einzelnen Bestandteile Elemente der Matrix
Beschreibe wie eine Inversion eines Zahlenpaares in einem Tupel T = (x1, x2, x3, . . . , xn) definiert ist.
Sei n ∈ N und {1, 2, 3, . . . , n} = {x1, x2, x3, . . . , xn}, dann nennen wir jedes Paar (xj , xi) von Zahlen, die in dem Tupel T = (x1, x2, x3, . . . , xn) vorkommen, eine Inversion in T, wenn xj links von xi platziert ist, aber xj > xi ist.
Wie ist die Determinante einer Matrix A (siehe Bild) angegeben/wie rechnent man sie aus?
Was ist die allgemeine Regel zur Berechnung von Determinanten?
Welchen spezielle Entwicklungssatz zur einfachen Berechnung gibt es?
Wenn wir dann die Anzahl der Inversionen eines Tupels (p1, p2, p3, . . . , pn) von Zahlen mit {p(1), p(2), p(3), . . . , p(n)} = {1, 2, 3, . . . , n} durch [p(1), p(2), p(3), . . . , p(n)] bezeichnen, so können wir die Summe aller Produkte
a(1p(1)) a(2p(2)) a(3p(3)) . . . a(np(n))
definieren in denen {p1, p2, p3, . . . , pn} = {1, 2, 3, . . . , n} ist und jeder Summand genau dann positiv gez¨ahlt wird, wenn die Anzahl seiner Inversionen gerade ist. Diese Summe schreiben wir wie im Bild.
Einfacher geht es mit dem LaPlace’schen Entwicklungssatz. Man entwickelt nach einer einer Zeile oder Spalte mit so vielen Nullen wie möglich. Dann geht man alle Elemente der Zeile oder Spalte durch und multipliziert diese mit der jeweiligen Unterdeterminante (Zeile und Spalte in dem das multiplizierte Element vorkommt wird rausgestrichen).
Wie ist die Permutation definiert?
Sei n ∈ N. Jede Anordnung von n paarweise verschiedenen Objekten O(1), O(2), O(3), . . . , O(n) in einer Reihe nennen wir eine Permutation dieser Objekte.
Wie transponiert man eine Matrix?
Bei einer transponierten Matrix werden Zeilen und Spalten getauscht.
Die erste Zeile wird zur ersten Spalte, die zweite Zeile wird zur zweiten Spalte und so weiter.
m x n - Matrix wird zur n x m - Matrix
Funktionsweise
Regel von Sarrus
Bedingung zur Benutzung?
Die Regel von Sarrus funktioniert nur bei 3x3 Matrizen
- Rechts von der Matrix werden zwei weitere Spalten hinzugefügt mit den Werten a11 bis a32
- Alle Werte in einer Linie (Abb.) werden multipliziert. Alle Produkte der blauen Linien werden addiert, von Roten subtrahiert
-
Welche Bedingung muss gelten, damit zwei Matrizen mit einander multipliziert werden können?
Welche Matrix kommt dann dabei raus?
Wie multipliziert man zwei Matrizen?
Sind m, n, p ∈ N natürliche Zahlen und A = (a(ij)) ∈ R^m×n sowie B = (b(jk)) ∈ R^n×p , dann bezeichnen wir die Matrix C = (c(ik)) ∈ R^m×p als Produkt A · B.
Damit zwei Matrizen multipliziert werden können muss eine m x n - Matrix und eine n x p - Matrix vorliegen. Die erste Matrix muss also genauso viele Spalten haben wie die zweite Matrix Zeilen hat.
Dabei kommt dann bei der Multiplikation eine m x p - Matrix bei herum. Also eine Matrix mit so vielen Zeilen wie die erste und Spalten wie die zweite Matrix.
Die Elemente der Produktmatrix C berechnet man wie folgt:
Was sind die 12 Rechenregeln für Matrizen?
- Assoziativgesetz der Addition: (A + B) + C = A + (B + C)
- Kommutativgesetz der Addition: A + B = B + A
- Additives neutrales Element: A + N = A
- Additives Inverses: Ist b(ij) = −a(ij) , für alle i(j), so ist A + B = N
- Skalar Distributivität: x · (A + B) = xA + xB
- L-Distributivität: A · (B + C) = AB + AC
- R-Distributivität: (A + B) · C = AC + AC
- Assoziativgesetz der Multiplikation: Wenn, anders als ursprünglich vereinbart, m, n, p, q ∈ R und A ∈ R m×n , B ∈ R n×p und C ∈ R p×q ist, dann ist (A · B) · C = A · (B · C)
- Nicht Kommutativgesetz der Multiplikation
- Nullteilergesetz der Multiplikation
- Distributivgesetz der additiven Transposition: (A + B)^T = A^T + B^T
- Distributivgesetz der multiplikativen Transposition: (A · B)^T = B^T · A^T
Was bedeutet es, wenn eine Matrix:
- quadratisch;
- symmetrisch;
- invertierbar ist
Was ist der Grad einer Matrix?
Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie, für ein passendes m ∈ N, eine m x m - Matrix ist. In diesem Fall ist m der Grad der Matrix.
Eine Matrix heißt symmetrisch, falls A = A^T ist.
Eine Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B derart gibt, dass A · B = I = B · A.
Was ist der Rang einer Matrix?
Seien m, n ∈ N natürliche Zahlen und A ∈ R m×n eine m × n-Matrix. Der Rang R(A) von A ist der größte Grad einer Untermatrix von A mit nicht verschwindender Determinante, d.h. der Rang von A ist gleich:
max {g ∈ N | g ist der Grad einer Untermatrix B von A mit det(B) ≠ 0}.
Wie lautet der Satz von Cramer?
Was sind elementare Zeilenoperationen?
Seien m, n ∈ N naturliche Zahlen und A eine m x n - Matrix, so heißt jede der folgenden Operationen eine elementare Zeilenoperation auf A:
- Das Multiplizieren einer Zeile von A mit einer von Null verschiedenen Zahl.
- Das Addieren der j-ten Zeile von A zur i-ten Zeile von A
3.
Was sind Pivotelemente einer Matrix und was bedeutet es, wenn eine Matrix gestaffelt ist?
Seien m, n ∈ N zwei natürliche Zahlen und A eine m x n - Matrix. Für jedes i ∈ {1, 2, 3, . . . , m} und jede Zeile Z(A / i) von A bezeichnen wir a(ij) als das Pivot von Z(A / i) , wenn
- j = min {k ∈ {1, 2, 3, . . . , n} | a(ik)* ≠ 0}
ist. Wir sagen darüber hinaus, dass A gestaffelt, in Staffelform oder in Zeilenstufenform ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfullt sind:
- Alle Nullzeilen von A befinden sich unter allen Nichtnullzeilen von A.
- Für je zwei Nichtnullzeilen Z(A / 1) und Z(A / 2) , befindet sich das Pivot P(1) von Z(A / 1) links von P(2), dem Pivot von Z(A / 2), wenn Z(A / 1) sich über Z(A / 2) befindet.
- Unter dem Pivot einer Zeile befinden sich höchstens Nullen.
