Mengen Flashcards
Was ist in der mathematischen Mengenlehre ein Element?
Was bedeutet es, wenn zwei Mengen gleich sind?
Was ist eine Teilmenge und wie unterscheidet sie sich von einer echten Teilmenge?
Gehört ein Objekt m zu einer Menge M, so sagt man, dass es ein Element der Menge sei. Mathematisch schreibt man diesen Zusammenhang so: m ∈ M.
Zwei Mengen sind einander gleich, wenn dieselben Elemente zu ihnen gehören. Mathematisch schreibt man diesen Zusammenhang mit einem Gleichzeichen: M = N.
Eine Menge M heißt Teilmenge von einer Menge N, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist. Mathematisch schreibt man diesen Zusammenhang so: M ⊆ N, also ∀m ∈ M: m ∈ N.
Man nennt M eine echte Teilmenge von N und schreibt mathematisch dafür M ⊂ N, wenn M eine Teilmenge von N ist und darüber hinaus M nicht gleich N ist, also M ≠ N.
Benenne die 5 Rechenregeln für Mengen und erkläre deren Aussage.
- Idempotenz: Es ist M ∪ M = M und M ∩ M = M, für jede Menge M;
- Assoziativgesetz: Es ist M ∪ (N ∪ P) = (M ∪ N) ∪ P und M ∩ (N ∩ P) = (M ∩ N) ∩ P, für alle Mengen M, N und P
- Kommutativgesetz: Es ist M ∪ N = N ∪ M und M ∩ N = N ∩ M, für alle Mengen M und N;
- Distributivgesetz: Es ist M ∩ (N ∪ P) = (M ∪ N) ∩ (M ∪ P) und M ∪ (N ∩ P) = (M ∩ N) ∪ (M ∩ P), für alle Mengen M, N und P;
- De Morgan’sches Gesetz: Es ist ¬(M ∪ N) = ¬M ∩ ¬N und ¬(M ∩ N) = ¬M ∪ ¬N, für alle Teilmengen M, N einer Menge P
Erkläre folgende Verknüpfungen von Mengen:
- Durchschnitt
- Vereinigung
- Differenzmenge
- symmetrische Differenz
- kartesisches Produkt
- Relation
- Komplement
- Potenzmenge
1. Durchschnitt ∩: Sind M und N Mengen, so ist M∩N die Menge der Objekte M∩N = {x ∈ M und x ∈ N}, die sowohl Element von M als auch von N sind. M ∩ N wird der Durchschnitt von M und N genannt. In Verallgemeinerung dieser Schreibweise benutzt man auch für I ⊆ N und für Mengen Mi mit i ∈ I, für alle i ∈ I die Schreibweise ∩i∈IMi für die Menge {m | fur alle ¨ i ∈ I ist m ∈ Mi}.
2. Vereinigung ∪: Sind M und N Mengen, so ist M∪N die Menge der Objekte M∪N = {x ∈ M oder x ∈ N}, die Element von M oder von N sind. M∪ N wird die Vereinigung von M und N genannt. Analog dem vorigen schreibt man auch für I ⊆ N und Mengen Mi , fur alle i ∈ I, die Menge {m | es gibt ein i ∈ I mit m ∈ Mi} als ∪i∈IMi .
**3. Differenzmenge: **: Sind M und N Mengen, so ist M \ N die Menge der Objekte M \ N = {x ∈ M | x ∈ M und x /∈ N}, die Element von M aber nicht von N sind. M \ N wird die Differenzmenge von M ohne N genannt.
4. symmetrische Differenz ∆: Sind M und N Mengen, so ist M∆N die Menge der Objekte M∆N = {x ∈ M ∪ N | x ∈ M \ N oder x ∈ N \ M}, die Element von M, nicht aber von N, oder die Element von N, nicht aber von M sind. M∆N wird die symmetrische Differenz von M und N genannt.
5. kartesisches Produkt ×: Sind M und N Mengen, so ist M × N die Menge der Objekte M × N = {(x, y)| x ∈ M und y ∈ N}, der geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element von M und deren zweite Komponente ein Element von N ist. M ×N wird, zu Ehren des französischen Mathematikers und Philosophs Rene Descartes, kartesisches Produkt von M und N genannt.
6. Relation: Sind M und N Mengen, so wird jede Teilmenge R ⊆ M × N eine Relation (aus M in N) genannt.
7. Komplement: Ist M Teilmenge einer Menge N, so ist M’ die Menge M’ = N \ M derjenigen Elemente von N, welche nicht Element von M sind. Die Menge M’ wird das Komplement von M in N genannt.
8. Potenzmenge P: Ist M eine Menge, so ist P(M) = {N | N ⊆ M} die Menge der Teilmengen von M, die sogenannte Potenzmenge von M.
Erkläre alle 7 Mengenrelationen:
- linkstotal
- rechtstotal
- linkseindeutig
- rechtseindeutig
- Funktion (Geh auch auf den Defintions- und Wertebereich)
- reflexiv
- symmetrisch
- transitiv
Seien M und N Mengen sowie R ⊆ M × N eine Relation aus M in N. Dann nennt man R:
- linkstotal: wenn für jedes Element m ∈ M ein Element n ∈ N derart existiert, dass (m, n) ∈ R ist;
- rechtstotal: wenn für jedes Element n ∈ N ein Element m ∈ M derart existiert, dass (m, n) ∈ R ist;
- linkseindeutig: wenn für je zwei Elemente (m, n),(m’, n) ∈ R folgt, dass m = m’ ist;
- rechtseindeutig: wenn für je zwei Elemente (m, n),(m, n’) ∈ R folgt, dass n = n’ ist;
- Funktion: wenn R linkstotal und rechtseindeutig ist. In diesem Fall wird das eindeutig bestimmte Element n ∈ N, das in der Beziehung R zu m ∈ M steht auch durch R(m) bezeichnet und die Relation R wird dann auch folgendermaßen spezifiziert: R : M → N, m → R(m). Man nennt dann auch M den Definitionsbereich und N den Wertebereich von R sowie {n ∈ N | es gibt ein m ∈ M mit (m, n) ∈ R} das Bild von M unter R. Eine rechtstotale Funktion wird auch surjektiv genannt und eine linkseindeutige Funktion wird auch injektiv genannt.
- reflexiv: wenn (m, m) ∈ R ist, für alle m ∈ M;
- symmetrisch: wenn (m, m’) ∈ R impliziert (m’, m) ∈ R;
- transitiv: wenn (m, m’) ∈ R und (m’, m’’) ∈ R impliziert (m, m’’) ∈ R.
Was bedeutet es, wenn eine Funktion f invertierbar ist?
Was ist dann die Funktion g zu der Funktion f? Und gilt es auch umgekehrt?
Eine Funktion f : M → N ist genau dann invertierbar, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Es sind also genau die linkstotalen, rechtstotalen, rechtseindeutigen und linkseindeutigen Relationen invertierbare Funktionen.
Seien M und N Mengen sowie f : M → N eine Funktion. Dann heißt f invertierbar, falls eine Funktion g : N → M derart existiert, dass ∀m ∈ M : (g ◦ f)(m) = m, als auch ∀n ∈ N : (f ◦ g)(n) = n. In diesem Fall ist g durch f eindeutig bestimmt und heißt die Umkehrfunktion von f. Ist g die Umkehrfunktion von f, so ist g invertierbar und die Umkehrfunktion von g ist f.
Erkläre was die Kardinalität oder Mächtigkeit einer Menge ist.
Wann sind Mengen gleichmächtig?
Was bedeutet es, wenn Mengen abzählbar sind?
Was bedeutet es, wenn Mengen überabzählbar sind?
Die Kardinalität oder Mächtigkeit beschreibt das Größenmaß von endlichen Mengen.
In einer endlichen Menge N, in der eine natürliche Zahl n ∈ N derart existiert, dass eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von den Elementen der Menge M = {1, 2, 3, … n} zu den Elementen von N gibt, wird n die Kardinalität der Menge N genannt.
Eine Menge M heißt gleichmächtig zu einer Menge N, wenn eine bijektive Funktion f : M → N existiert.
Mengen, die gleichmächtig zu der natürlichen Menge N sind heißen abzählbar.
Eine unendliche Mnge, die nicht abzählbar ist, heißt überabzählbar.
Erkläre die beiden Quantoren, den Generalisator und den Partikularisator.
Nenne jeweils auch den Alias.
Der Generalisator ∀ auch Allquantor genannt, kann so interpretiert werden, dass eine getätigte Aussage nach dem Generalisator für alle mit dem Generalisator verbundenen Situationen zulässig sind.
Ist M eine Menge und P ein Prädikat von Objekten in M, so bedeutet die Aussage: ∀ x ∈ M : P(x), dass auf alle x ∈ M das Prädikat P zutrifft.
Der Partikularisator ∃ auch Existenzquantor genannt, kann so interpretiert werden, dass eine getätigte Aussage nach dem Partikularisator für mindestens eine mit dem Generalisator verbundene Situation zulässig ist.
Die Aussage ∃x ∈ M : P(x) bedeutet, dass ein Objekt x in M existiert, auf welches das Prädikat P zutrifft. Diese Behauptung wird als wahr betrachtet, wenn es tatsächlich ein Objekt in M gibt, auf welches das Prädikat zutrifft.
