Chapitre 1 : Rudiments de Logique

Question 1

Qu’est ce qu’une assertion ?

Answer 1

C’est une phrase mathématique qui est vraie ou fausse.

Question 2

Quelles sont les 4 connecteurs logiques de base ?

Answer 2

Soit P, Q deux assertions.
- non(P)
- P ou Q
- P et Q
- P <=> Q

Question 3

Définir les 4 connecteurs logique de base.

Answer 3

Question 4

Établir les tables de vérités

Answer 4

Question 5

Définir l’implication et dresser la table de vérité associée.

Answer 5

Question 6

Peut-on utiliser le symbole «=>» comme abréviation de «donc».

Answer 6

NON JAMAIS!!

Question 7

Quels sont les deux quantificateurs ?

Answer 7

Question 8

Écrire en langage formel : «la carré d’un nombre réel est un nombre positif.»

Answer 8

∀x€R, x^2≥0

Question 9

Écrire en langage formel : «un réel positif est supérieur à -1»

Answer 9

∀x€R+, x>-1

Question 10

Écrire en langage formel : «deux nombres réels positifs de somme nulle sont nécéssairement nuls».

Answer 10

∀x,y€R+, x+y=0 => x=y=0

Question 11

Écrire en langage formel : «la fonction exponentielle est strictement croissante sur R»

Answer 11

∀(x,y)€R^2, x>y => exp(x)>exp(y)

Question 12

Écrire en langage formel : «La fonction cube est croissante sur R»

Answer 12

∀(x,y)€R^2, x≥y => x^3≥y^3

Question 13

A quoi faut-il impérativement faire attention quand on parle de quantificateurs ?

Answer 13

Question 14

Quelles sont les 2 assertions a retenir concernant l’ensemble vide ?

Answer 14

Question 15

Quelle est la négation d’une négation ?

Answer 15

Question 16

Donner et demontrer les lois de Morgan

Answer 16

Question 17

Quelle est la négation d’une implication + démo

Answer 17

Question 18

Quelle est la propriété de double distributivité et/ou ?

Answer 18

Question 19

Donner les négations des quantificateurs.

Answer 19

Question 20

Ecrire en langage formel qu’une fonction f:R—>R n’est pas croissante.

Answer 20

Question 21

Que vaut (a^2+b^2)(c^2+d^2) ?

Answer 21

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

Question 22

Donner le canevas de preuve d’une assertion «pour tout»

Answer 22

Question 23

Donner le canevas de preuve d’une assertion «il existe»

Answer 23

Question 24

Donner le caneva de preuve d’une implication.

Answer 24

Question 25

Donner la canevas de preuve d’une équivalence.

Answer 25

Question 26

Answer 26

Question 27

Sans démo, que valent les solutions de l’équation x^2-(a+b)x+ab=0 ?

Answer 27

x=a ou x=b

Question 28

Donner le canevas de preuve de « P ou Q ».

Answer 28

Question 29

Quelle est l’utilité d’une assertion « pour tout » ?

Answer 29

Question 30

Quelle est l’utilité d’une assertion « il existe » ?

Answer 30

Question 31

Quels sont les différents modes de raisonnements ?

Answer 31

1. Disjonction de cas 2. Contraposée 3. Absurde 4. Équivalence 5. Analyse-synthèse 6. Existence 7. Unicité 8. Récurrence

Question 32

Answer 32

Question 33

A-t-on équivalence entre une implication et sa contraposée ? Le démontrer.

Answer 33

OUI !

Question 34

Définir la contraposée d’une implication.

Answer 34

Question 35

Answer 35

(on a raisonner par contraposée)

Question 36

Montrer ce résultat par équivalence.

Answer 36

Question 37

Answer 37

Question 38

Résoudre l’équation |x + 1| = 2x + 3 sur R.

Answer 38

Question 39

Answer 39

Question 40

Donner le canevas de preuve d’unicité.

Answer 40

Question 41

Donner le canevas de preuve d’une récurrence simple.

Answer 41

Question 42

Answer 42

Question 43

Answer 43

Question 44

Answer 44

Question 45

Quels sont les différents modes de définition d’un ensemble ?

Answer 45

1. in extenso (en extension) 2. en compréhension 3. par paramétrage

Question 46

Quelle est la définition d’un ensemble en compréhension ?

Answer 46

Question 47

Quelle est la définition d’un ensemble par paramétrage ? Donner quelques exemples.

Answer 47

Question 48

Quelle est la définition d’un ensemble in extenso ?

Answer 48

Question 49

Définir l’inclusion de deux ensembles.

Answer 49

Question 50

Comment montrer que deux ensembles sont égaux ?

Answer 50

Question 51

Définir l’union de deux ensembles.

Answer 51

Question 52

Définir l’intersection de deux ensembles.

Answer 52

Question 53

Définir la différence de deux ensembles.

Answer 53

Question 54

Que signifie « A et B sont distinctes, avec A et B deux parties d’un ensemble Ω » ?

Answer 54

Question 55

Que signifie « A et B sont disjointes, avec A et B deux parties d’un ensemble Ω » ?

Answer 55

Question 56

Donner les 3 assertions équivalentes concernant les ensembles.

Answer 56

Question 57

Quelle sont les lois de Morgans des ensembles ?

Answer 57

Question 58

Donner les propriétés de double distributivité des ensembles.

Answer 58

Question 59

Donner les propriétés de l’élément neutre des ensembles.

Answer 59

Question 60

Définir un produit cartésien.

Answer 60

Question 61

Définir un recouvrement.

Answer 61

Question 62

Définir un recouvrement disjoint.

Answer 62

Question 63

Définir une partition.

Answer 63