Chapitre 5 : Applications

Question 1

Définir une application, l’ensemble de départ et d’arrivée, une image et un antécédent.

Answer 1

Question 2

Soit f une application. Définir le graphe de f.

Answer 2

Γ={(x,f(x), x€E}

Question 3

Définir l’ensemble des images de f.

Answer 3

{y∈F | ∃x∈E , y=f(x)}= {f(x), x∈E}

Question 4

Comment note-t-on l’ensemble des applications de E dans F ?

Answer 4

Question 5

Comment montrer l’égalité de deux application f:E—>F et g:E’—>F’ ?

Answer 5

Question 6

Quelle est la première chose à faire lorsqu’on nous donne une application ?

Answer 6

Il faut s’assurer que celle-ci est bien définie, c’est-à-dire que pour x€E, l’élément f(x) a du sens, et d’autre part que f(x) tombe bien dans F.

Question 7

Définir l’identité d’un ensemble E.

Answer 7

Question 8

Définir la restriction d’une application à un ensemble A.

Answer 8

Question 9

Définir la co-restriciton de f à une partie B de F.

Answer 9

Question 10

Définir un prolongement d’une application.

Answer 10

Question 11

Définir la composée de deux applications.

Answer 11

Question 12

Answer 12

Si on prend f(x)=a et g(x)=b pour tout x dans E.

Question 13

Donner les propriétés de la loi •.

Answer 13

Question 14

Définir l’image directe.

Answer 14

Question 15

Donner les images directes dans les cas où A=Ø et où A=E

Answer 15

Question 16

Définir l’image reciproque.

Answer 16

Question 17

Donner les images réciproques dans les cas où B=Ø, où B=F et pour un singleton.

Answer 17

Question 18

Définir une application injective.

Answer 18

Question 19

Utiliser des quantificateurs pour qualifier une fonction non injective. Donner un exemple de fonction non injective.

Answer 19

Question 20

Quel est le lien entre monotonie et injectivité d’une fonction ?

Answer 20

Question 21

Définir une application surjective.

Answer 21

Question 22

Quantifier ce qu’est une application non surjective. Donner un exemple d’application non surjective.

Answer 22

Question 23

Answer 23

Question 24

Définir une application bijective.

Answer 24

Question 25

Quelle est la rédaction à maîtriser pour montrer qu’une application est bijective ?

Answer 25

Question 26

Question 27

Answer 27

Question 28

Quelles sont les 3 propriétés liant composition et injectivité, surjectivité et bijectivité ?

Answer 28

Answer 29

Question 30

Answer 31

Question 32

Définir une application réciproque.

Answer 32

Question 33

Quand peut-on parler d’application réciproque ?

Answer 33

Uniquement si f est bijective. Il faut préciser à l’écrit « comme f est bijective, on peut considérer f^-1

Question 34

Que peut-on dire de la composition d’une application avec une application réciproque ?

Answer 34

Question 35

soit f€F^E et g€E^F telles que g•f=idE et f•g=idF. Que peuton dire de f et g ?

Answer 35

f et g sont bijectives et réciproques l’une de l’autre.

Question 36

Comment montrer que f est bijective et donner f^-1 ?

Answer 36

On exhibe une application g€E^F telle que f•g=idF et g•f=idE. On a alors f^-1=g.

Question 37

Si f bijective, que peut-on dire de f^-1 ?

Answer 37

Question 38

Quelle est la propriété de « linéarité » de • ?

Answer 38

Question 39

Quelle est la propriété de « linéarité » de • ?

Answer 39

Question 39

Question 40

Définir une involution.

Answer 40

Question 41

Que peut-on dire d’une application involutive ?

Answer 41

Elle est bijective et son application réciproque est elle-même.

Question 42

Définir la fonction indicatrice.

Answer 42

Question 43

Donner les 3 propriétés de la fonction indicatrice.

Answer 43

Question 44

Answer 44

Question 45

Définir une famille d’élément de E indexée par I.

Answer 45

Question 46

Définir un recouvrement.

Answer 46

Question 47

Définir un recouvrement disjoint.

Answer 47

Question 48

Définir une partition.

Answer 48

Question 49

Answer 49