Chapter 1 - Function & Limit Flashcards Preview

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Flashcards in Chapter 1 - Function & Limit Deck (45):
1

极限的唯一性

如果数列 {xn} 收敛,那么它的极限唯一.

2

收敛序列的有界性

如果数列 {xn} 收敛,那么数列 {xn} 一定有界.

3

收敛序列的保号性

如果 Lim(x->∞) xn=a,且 a>0 (或 a<0),那么存在正整数 N ,当 n>N 时,都有 xn>0 (或 xn<0).

4

收敛序列的保号性 推论

如果数列{xn}从某项起有 xn≥0 (或 xn≤0),且 lim(n->∞) xn=a,那么 a≥0 (或 a≤0).

5

函数极限的唯一性

如果 lim(x->x0) f(x) 存在,那么这极限唯一.

6

函数极限的局部有界性

如果 lim(x->x0) f(x) = A,那么存在常数 M>0 和 δ>0,使得当 00|< δ 时, 有 |f(x)|≤M.

7

函数的局部保号性

如果 lim(x->x0) f(x) = A,且 A>0 (或 A<0),那么存在常数 δ>0,使得当 00|< δ 时, 有 f(x)>0 (或 f(x)<0).

8

函数的局部保号性 ( |A|/2 )

如果 lim(x->x0) f(x) = A (A≠0),那么就存在着 x0 的某一去心邻域 U°(x0),当 xU°(x0) 时,就有 |f(x)|>|A|/2.

9

函数的局部保号性 推论

如果在 x0 的某去心邻域内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0),而且lim(x->x0) f(x) = A,那么 A≥0 (或 A≤0).

10

在自变量的同一变化过程 x→x0 (或 x→∞)中,函数f(x)具有极限A的充分必要条件是:

f(x)=A+α

其中 α 是无穷小.

11

无穷大和无穷小的转化关系:

在自变量的同一变化过程中,如果 f(x) 无穷大,那么 1/f(x) 为无穷小;反之,如果 f(x) 为无穷小,且 f(x)≠0,那么 1/f(x) 为无穷大.

12

极限运算法则 定理1

两个无穷小的和是无穷小.

13

极限运算法则 定理1 推论

有限个无穷小之和也是无穷小.

14

极限运算法则 定理2

有界函数与无穷的乘积是无穷.

无穷大并不然.

15

极限运算法则 定理2 推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小.

16

极限运算法则 定理2 推论2

有限个无穷小的乘积是无穷小.

17

如果 limf(x)=A, limg(x)=B, 那么
(1)_______; (2)_______;

和的极限等于极限的和; 

积的极限等于极限的积;

18

如果 limf(x)=A, limg(x)=B, 若又有_______, 则 lim[f(x)/g(x)] = [limf(x)/[limg(x)] = A/B.

 

B≠0

19

极限四则运算法则 推论1

如果 limf(x) 存在,而 c 为常数,那么 lim[c·f(x)] = c·limf(x).

20

极限四则运算法则 推论2

如果 limf(x) 存在,而 n 为正整数,那么 f(x) 的n次方的极限等于其极限的n次方.

21

设有数列 {xn} 和 {yn}. 如果
lim(n→∞) xn=A, lim(n→∞) yn=B, 那么 (1)_______; (2)_______;

{xn±yn} 收敛于 A±B;
{xn· yn} 收敛于 A·B;

22

设有数列 {xn} 和 {yn}.如果 lim(n→∞) xn=A, lim(n→∞) yn=B, 那么当_______时,{xn/yn} 收敛于 A/B.

 

yn≠0 且 B≠0.

23

极限运算法则 定理5

如果 a(x)≥b(x),而 lima(x)=A, limb(x)=B, 那么 A≥B.

24

夹逼准则 如果数列 {xn},{yn} 及 {zn} 满足下列条件: (1)_______; (2)_______; 那么数列 {xn} 的极限存在,极限为 a.

(1) 从某项起,即存在正整数 n0,当 n>n0 时,有 yn≤xn≤zn;
(2) {yn} 及 {zn} 均收敛于 a.

25

夹逼准则'  如果(1)_______; (2)_______,那么 f(x) 极限存在且等于 A.

(1) 当 x 在 x0 的某个去心邻域内(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x);
(2) g(x)、h(x) 在 x0 处(或 x→∞ 时)极限均为 A;

26

极限存在准则 II

单调有界数列必有极限.

27

βα是等价无穷小的充分必要条件.

β=α+o(α)

28

α~α’,β~β’,且_______,则_______.

β'/α' 的极限存在,

lim[β/α] = lim[β'/α'].

29

函数在点 x0 连续的定义:
(1)_______; (2)_______.

(1) 该函数在点 x0 的某一邻域内有定义;
(2) Δx→0 时, limΔy = lim[f(x0+Δx)-f(x0)] = 0.

30

函数在点 x0 连续的定义2:
(1)_______; (2)_______.

(1) 该函数在点 x0 的某一邻域内有定义. 
(2) x→x0 时, limf(x)=f(x0).

31

_______, 叫做在该区间上的连续函数.

在区间上每一点都连续的函数

32

设函数 f(x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数 f(x) 有下列三种情形之一: (1)_______; (2)_______; (3)_______, 那么函数 f(x) 在点 x0 为不连续, 而点 x0 称为函数 f(x) 的不连续点间断点

(1) 在 x=x0 没有定义; 
(2) 虽在 x=x0 有定义, 但 lim(x→x0) f(x) 不存在; 
(3) 虽在 x=x0 有定义, 且 lim(x→x0) f(x) 存在, 但 lim(x→x0)f(x) ≠ f(x0)

33

第一类间断点定义

x=x0 是函数 f(x) 的间断点, 但左极限和右极限都存在.

34

第一类间断点包括哪些? 
它们的的区别是什么?

① 可去间断点 (左右极限相等); 
② 跳跃间断点 (左右极限不相等). 

35

第二类间断点包括哪些?

无穷间断点、振荡间断点. 

36

连续函数的和、差、积、商连续性

设函数 f(x)g(x) 在点 x0 连续, 则它们的和、差、积、商(分母≠0)都在点 x0 连续. 

37

如果函数 y=f(x) 在区间 Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数 x=f-1(y) 怎样? 

也在对应区间 Iy={y|y=f(x), x∈Ix} 上单调增加(或单调减少)且连续.

38

设函数 y=f[g(x)] 由函数 u=g(x) 与函数 y=f(u) 复合而成, lim(x→x0) g(x)=u0, (x0)⊂Df*g, 若_______, 则
lim(x→x0)f[g(x)]= lim(u→u0)f(u)f(u0).

函数 y=f(u) 在 u=u0连续

39

设函数 y=f[g(x)] 由函数 u=g(x) 与函数 y=f(u) 复合而成, U(x0)⊂Df*g, g(x0)=u0.若_______, 则复合函数在 x=x0 连续. 

(1) 函数 u=g(x) 在 x=x0 连续,  
(2) 函数 y=f(u) 在 u=u0 连续. 

40

初等函数的连续性.

一切初等函数在其定义区间都是连续的.

41

f(x) 在闭区间上连续的条件.

① 在和闭区间对应的开区间上连续;

② 而​在左右端点分别左右连续;

42

有界性与最大值最小值定理

闭区间连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.

43

零点定理

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续, 且 f(a) 与 f(b) 异号, 则在开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使 f(ξ)=0. 

44

介值定理

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续, 且在这区间的端点分别取不同的函数值 f(a)=A, f(b)=B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C, 再开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(ξ)=C . 

45

介值定理 推论

在闭区间 [a,b] 上连续的函数 f(x) 的值域为闭区间 [m,M], 其中 m 与 M 依次为 f(x) 在 [a,b] 上的最小值与最大值.