Chapter 7 - Differential Equation Flashcards Preview

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Flashcards in Chapter 7 - Differential Equation Deck (9):
1

微分方程的通解是什么?

含有与微分方程的阶数相同的任意常数的个数的微分方程的解, 称为微分方程的通解. 

2

微分方程的特解是什么?

确定了通解中的任意常数后得到的解叫做微分方程的特解.

3

线性微分方程解的结构 定理 1 
对于 y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.

如果函数 y1=f(x) 和 y2=f(x) 是该方程的两个解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是它的解, 其中 C1, C2 是任意常数.

4

线性微分方程解的结构 定理 2 
对于 y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.

如果函数 y1=f(x) 和 y2=f(x) 是该方程的两个线性无关的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是它的通解, 其中 C1, C2 是任意常数.

5

线性微分方程解的结构 定理 3

设 y*(x) 是二阶非齐次线性方程 y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) 的一个特解. Y(x) 是与它对应的齐次方程的通解, 则 y=Y(x)+y*(x) 是该方程的一个通解.

6

线性微分方程解的结构 定理 4

设 y1*(x) 和 y2*(x) 分别是方程

y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)

y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)

的特解.
则 y*1(x)+y*2(x) 是方程

y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x)

的特解.

7

常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0
的特征方程

r2+pr+q=0

因为当 r 为常数时, y=erx 和它的各阶导数都只差一个常数因子, 所以将其带入方程 y''+py'+qy=0, 得到 (r2+pr+q)erx=0. 又 erx≠0, 故 r2+pr+q=0.

8

当常系数齐次线性微分方程的特征方程分别
(1) 有两个不相等的实根 r1, r2
(2) 有两个相等的实根 r;
(3) 一对共轭复根 r1,2=α±β,
时, 微分方程的通解分别是什么? 

(1) y=C1er1x+C2er2x
(2) y=(C1+C2x)erx;
(3) y=eαx(C1cos βx±C2sin βx).

9

欧拉方程中, xky(k)项应变换为什么?
(用 D 表示 d/dt 运算)

xky(k) = D(D-1)···(D-k+1)y.