Chapter 1 - Function & Limit Flashcards
Functions & Limit
极限的唯一性
如果数列 {xn} 收敛，那么它的极限唯一.
收敛序列的有界性
如果数列 {xn} 收敛，那么数列 {xn} 一定有界.
收敛序列的保号性
如果 Lim(x->∞) xn=a，且 a>0 (或 a<0)，那么存在正整数 N ，当 n>N 时，都有 xn>0 (或 xn<0).
收敛序列的保号性 推论
如果数列{xn}从某项起有 xn≥0 (或 xn≤0)，且 lim(n->∞) xn=a，那么 a≥0 (或 a≤0).
函数极限的唯一性
如果 lim(x->x0) f(x) 存在，那么这极限唯一.
函数极限的局部有界性
如果 lim(x->x0) f(x) = A，那么存在常数 M>0 和 δ>0，使得当 0<|x-x0|< δ 时, 有 |f(x)|≤M.
函数的局部保号性
如果 lim(x->x0) f(x) = A，且 A>0 (或 A<0)，那么存在常数 δ>0，使得当 0<|x-x0|< δ 时, 有 f(x)>0 (或 f(x)<0).
函数的局部保号性 ( |A|/2 )
如果 lim(x->x0) f(x) = A (A≠0)，那么就存在着 x0 的某一去心邻域 U°(x0)，当 x∈U°(x0) 时，就有 |f(x)|>|A|/2.
函数的局部保号性 推论
如果在 x0 的某去心邻域内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0)，而且lim(x->x0) f(x) = A，那么 A≥0 (或 A≤0).
在自变量的同一变化过程 x→x0 (或 x→∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是：
- f(x)=A+α*
- 其中 α 是无穷小.*
无穷大和无穷小的转化关系：
在自变量的同一变化过程中，如果 f(x) 无穷大，那么 1/f(x) 为无穷小；反之，如果 f(x) 为无穷小，且 f(x)≠0，那么 1/f(x) 为无穷大.
极限运算法则 定理1
两个无穷小的和是无穷小.
极限运算法则 定理1 推论
有限个无穷小之和也是无穷小.
极限运算法则 定理2
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
无穷大并不然.
极限运算法则 定理2 推论1
常数与无穷小的乘积是无穷小.
极限运算法则 定理2 推论2
有限个无穷小的乘积是无穷小.
如果 limf(x)=A, limg(x)=B, 那么
(1)_______; (2)_______;
和的极限等于极限的和;
积的极限等于极限的积;
如果 limf(x)=A, limg(x)=B, 若又有_______, 则 lim[f(x)/g(x)] = [limf(x)/[limg(x)] = A/B.
B≠0
极限四则运算法则 推论1
如果 limf(x) 存在，而 c 为常数，那么 lim[c·f(x)] = c·limf(x).
极限四则运算法则 推论2
如果 limf(x) 存在，而 n 为正整数，那么 f(x) 的n次方的极限等于其极限的n次方.
设有数列 {xn} 和 {yn}. 如果
lim(n→∞) xn=A, lim(n→∞) yn=B, 那么 (1)_______; (2)_______;
{xn±yn} 收敛于 A±B;
{xn· yn} 收敛于 A·B;
设有数列 {xn} 和 {yn}.如果 lim(n→∞) xn=A, lim(n→∞) yn=B, 那么当_______时，{xn/yn} 收敛于 A/B.
yn≠0 且 B≠0.
极限运算法则 定理5
如果 a(x)≥b(x)，而 lima(x)=A, limb(x)=B, 那么 A≥B.
夹逼准则 如果数列 {xn}，{yn} 及 {zn} 满足下列条件： (1)_______; (2)_______; 那么数列 {xn} 的极限存在，极限为 a.
(1) 从某项起，即存在正整数 n0，当 n>n0 时，有 yn≤xn≤zn;
(2) {yn} 及 {zn} 均收敛于 a.
