Chapter 4 - Indefinite Integral Flashcards Preview

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Flashcards in Chapter 4 - Indefinite Integral Deck (23):
1

∫ xμ dx

xμ+1/(μ+1) + C. (μ≠-1)

2

∫ 1/x dx

㏑|x| + C.

3

∫ adx

ax/㏑a + C.

4

原函数存在定理

连续函数一定有原函数

5

∫ 1/(1+x2) dx

arctan x + C

6

∫ 1/√1-x2 dx

arcsin x + C

7

∫ 1/cos2x dx

tan x + C

8

∫ 1/sin2x dx

- cot x + C

9

∫ sec x· tan x dx

sec x + C

10

∫ csc x·cot x dx

- csc x + C

11

∫ tan x dx

- ㏑|cos x| + C

12

∫ cot x dx

㏑|sin x| + C

13

∫ sec x dx

㏑|csc x - cot x| + C

14

∫ 1/(a2+x2) dx

(1/a)arctan(x/a) + C

15

∫ 1/(x2-a2) dx

(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)| + C

16

∫ 1/√a2-x2 dx

arcsin (x/a) + C

17

∫ 1/√x2+a2 dx

ln (x+√x2+a2) + C

18

∫ 1/√x2-a2  dx

ln |x+√x2-a2| + C

19

定积分的保号性

若 f(x)≥0 且在 [a,b] 上 f(x) 不恒等于零, 那么 ∫a→b f(x) ≥0. 

20

定积分的保号性 2

f(x)≤g(x) → ∫a→b f(x) dx ≥0

21

|∫a→b f(x) dx| 与 ∫a→b |f(x)| dx 的大小关系.

|∫a→b f(x) dx| ≤ ∫a→b |f(x)| dx

因为右边可以保证北极函数一定是正的; 而左边 f(x) 积分自身正负抵消之后才取得绝对值, 所以较小.

22

设 M, m 分别为 函数 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值, 则 ∫a→bf(x)dx 的范围是什么?

m(b-a) ≤ ∫a→bf(x)dx ≤ M(b-a)

23

积分中值定理

如果函数 f(x) 在 [a,b] 上连续, 那么至少有一个 ξ∈[a,b],
f(ξ)=1/(b-a) ∫a→bf(x)dx

与其他中值定理不同的是, 此处 ξ ∈ 区间 [a,b].