dimostrazioni Flashcards
(18 cards)
condizione necessaria e sufficiente per atto di moto rigido
in un atto di moto libero non sono ammesse tutte le velocità ( deformerebbero il corpo rigido )
PQ ∙ PQ = | PQ | ^ 2 = costante d PQ ∙ PQ / dt = 0 d PQ / dt ∙ PQ + PQ ∙ d PQ / dt = 0 2 dPQ/dt ∙ PQ = 0 poiche dAB/dt = ( vb - va ) 2 ( vq - vp ) ∙ PQ = 0 dunque vq ∙ PQ = vp ∙ PQ la proiezione di vp su PQ deve essere uguale alla proiezione di vq su PQ sono ammesse al massimo 2 velocità
teorema di Poisson
per un sistema rigido piano esiste un vettore ω detto velocità angolare per cui ω = dθ/dt ez dunque di/dt = ω x i dj/dt = ω x j
dimostrazione
ω = dθ/dt ez
ω x i = dθ/dt ez x i = dθ/dt j
di/dt = dθ/dt j = ω x i
ω x j = dθ/dt x j = - dθ/dt i
dj/dt = - dθ/dt i = ω x j
formula fondamentale della cinematica rigida
le velocità di due punti qualsiasi A e B sono legati dalla seguente relazione:
vB = vA + ω x AB
dimostrazione
OQ = OP + PQ = xP(t) ex + yP(t) ey + |PQ| i(t)
derivo tutto
vQ = dx/dt ex + dy/dt ey + |PQ| i(t)/dt
vQ = vP + |PQ| ω x i ( Teo Poisson )
vQ = vP + ω x ( |PQ| i ) ( proprietà prodotto vettore )
vQ = vP + ω x PQ
( ω è diretto perpendicolarmente a PQ e rappresenta la rotazione )
Teorema di Eulero
l’atto di moto rigido piano può essere traslatorio o rotatorio:
- traslatorio: ω = 0, tutti i punti hanno stessa velocità
- rotatorio: ω ≠ 0, non esistono due punti con uguale velocità
se l’atto di moto è rotatorio, esiste un unico punto C detto centro di istantanea rotazione con velocità nulla.
dimostrazione unicità del CIR
ipotizziamo che vC = 0 e che ∃ Q : vQ = 0
per la formula fondamentale
vQ = vC + ω x CQ
ω x CQ = 0
ω deve essere diverso da 0 ( moto rotatorio )
unica soluzione dell’equazione sarebbe CQ = 0
che si verifica se e solo se C coincide con Q
=> il CIR è unico
dimostrazione esistenza del CIR
ipotizziamo che vC = 0 e che ω ≠ 0
per la formula fondamentale
vC = vA + ω x AC => - vA = ω x AC
moltiplico a destra e a sinistra per ω vettorialmente
- vA x ω = ω x ( ω x AC )
- vA x ω = - ( ω ∙ ω ) AC
AC = vA x ω / ω^2 = vA x ω / (thetapunto)^2
1° equazione cardinale della statica
R(e) = R(e,a) + R(e,v) = 0 ( condizione necessaria ma non sufficiente per l’equilibrio )
dimostrazione
per ogni punto del sistema deve valere la II legge di Newton:
Σ F(a) + ϕ = 0 ( ϕ = forze reattive )
considero
Σ F(a) = R(a) risultante delle forze attive
Σ ϕ = R(v) risultante delle forze vincolari
condizione necessaria di equilibrio:
R(a) + R(v) = 0
condizione che si semplifica considerando la classificazione delle forze in interne ed esterne
R = 0 = R(esterne) + R(interne) = R(esterne) = 0
( le forze interne sono 0 per la III legge di Newton )
R(e,a) + R(e,v) = 0
2° equazione cardinale della statica
Ma(e) = 0
( momento delle forze esterne rispetto al polo A = 0 )
dimostrazione
II legge di Newton:
∀Pi ∈ C0 Fi + ϕi = 0
considero il polo A: APi x ( Fi + ϕi ) = 0
Σ APi x ( Fi + ϕi ) = 0
M(a) = APi x ( Fi ) = momento delle forze attive
M(v) = APi x ( ϕi ) = momento delle forze reattive
condizione necessaria di equilibrio:
Ma(a) + Ma(v) = 0
condizione che si semplifica considerando la classificazione delle forze in interne ed esterne
Ma = 0 = Ma(e) + Ma(i) = Ma(e) ( III legge di Newton )
Ma(e,a) + Ma(e,v) = 0
formula del trasporto dei momenti
MB = MA + R x AB
dimostrazione B ≠ A MA = Σ APi x Fi MB = Σ BPi x Fi = Σ ( BA + APi ) x Fi = = BA x Fi + Σ APi x Fi Fi = R Σ APi x Fi = MA
MB = MA + BA x R = MA - AB x R =>
MB = MA + R x AB
centro delle forze parallele e baricentro
BALZA
formula del lavoro virtuale per atto di moto rigido
∏(virtuale) = Σ ϕi ∙ vi = Σ ϕi ∙ ( va + ω x APi ) =
Σ ϕi ∙ va + Σ ( ϕi ∙ ω x APi ) =
= R(v) ∙ va + Σ ( APi x ϕi ) ∙ ω
Σ ( APi x ϕi ) = Ma(v) = momento risultante delle reazioni vincolari rispetto al polo a
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∏(virtuale) = R(v) ∙ va + Ma(v) ∙ ω
teorema di stazionarietà del potenziale
per un sistema sottoposto a vincoli ideali e bilateri e a forze di tipo conservativo che ammettono potenziale
U = U(q), allora condizione necessaria e sufficiente di equilibrio è:
dU/dq = 0
dimostrazione
vincoli perfetti -> ∏(attive) = 0
forze conservative -> ∏(attive) = dU/dt = dU/dq dq/dt
dU/dq dq/dt = 0 ∀ dq/dt (per ogni q punto)
=> dU/dq = 0
1° equazione cardinale della dinamica
II legge di Newton: Fi = mi ai sommando tutti i punti: Σ Fi = Σ mi ai R(est) = Σ mi dvi/dt = Σ d/dt ( mi vi ) = d/dt ( Σ mi vi ) R(est) = d/dt Q = Qpunto R(est) = Qpunto ulteriore semplificazione: Q = M vg => dQ/dt = M ag R(est) = M ag ( il baricentro si muove come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa soggetta a una forza uguale alla risultante delle forze esterne )
momento quantità di moto per corpo rigido piano,
formula del trasporto del polo
misura la capacità del sistema di ruotare
K = APi x Q = APi x mi vi ( per un punto )
KA = Σ K = Σ APi x mi vi ( per un sistema esteso )
formula trasporto polo
KB = Σ BPi x mi vi = Σ ( BA + APi ) x mi vi =
= BA x Σ mivi + Σ APi x mi vi
KB = BA x Q + KA
KB = KA + Q x AB
2° equazione cardinale della dinamica per un sistema esteso particellare
II legge di Newton: Fi = mi ai
APi x Fi = APi x mi ai
sommando tutti i punti: Σ APi x mi ai
dKA/dt = KApunto = d/dt ( Σ APi x mi vi ) =
= Σ ( dAPi/dt x mi vi + APi x d/dt mi vi ) =
= Σ [ ( vi - va ) x mi vi + APi x mi dvi/dt ]
KApunto = - va x Σ mi vi + ΣAPi x mi ai
KApunto + va x Q = Σ APi x mi ai
MA (est) = KApunto + va x Q
momento delle forze esterne ( causa )
variazione del momento della quantità di moto
( conseguenza )
osservazioni:
- se A coincide con G allora MG = KGpunto
- se MG(est) = 0 allora KGpunto = 0 allora KG costante
- se ballerina diminuisce angolo delle braccia, aumenta quadraticamente la velocità angolare
2° equazione cardinale della dinamica per un corpo rigido piano
ω = θpunto ez
KA(r) = Iaz ω
KA = M AG x vA + Iaz ω
se A coincide con G => KG = 0 + Igz ω
II eq cardinale dinamica
Ma(est) = KApunto + vA x Q
se A coincide con G => MG (est) = KGpunto
KG = Iqz ω
MG (est) = d/dt ( Igz ω ) = Igz ωpunto
MG(est) = Igz θduepunti ez
( II equazione della dinamica per corpo rigido piano rispetto al baricentro )
teorema di Huygens - Steiner
per un corpo rigido piano, il momento di inerzia rispetto ad un qualsiasi polo A è uguale a:
Iaz = Igz + M |AG|^2
dimostrazione
Mog = Σ mi OPi
considero un sistema barincentrale: O coincide con G
Mog = Σ mi GPi = 0
Iaz = Σ mi |APi|^2 = Σ mi APi ∙ APi
APi = AG + GPi
Iaz = Σ mi ( AG + GPi ) ∙ ( AG + GPi ) =
= Σ mi ( AG ∙ AG + GPi ∙ AG + AG ∙ GPi + GPi ∙ GPi =
= ( Σ mi ) |AG|^2 + Σ mi |GPi|^2 + 2 ( Σ mi GPi ) ∙ AG
Iaz = M |AG|^2 + Igz
Teorema di Konig per energia cinetica
energia cinetica per corpo rigido:
sistema:
- T = Σ 1/2 mi vi ∙ vi
- vi = va + ω x APi
T = 1/2 Σ mi [ ( va + ω x APi ) ∙ ( va + ω x APi ) ] =
= 1/2 Σ mi [ va^2 + 2va ∙ ω x APi + ( ω x APi )^2 ] =
1/2 ( Σ mi ) |va|^2 + 1/2 Σ (ω x APi)^2 mi + va ∙ ωΣmiAPi
(ω x APi)^2 = ( θpunto )^2 APi^2
T = 1/2 M va^2 + va ∙ ω x M AG + 1/2(dθ/dt)^2 ΣmiAPi^2
T = 1/2 M va^2 +1/2 Iaz ( θpunto )^2 + va ∙ ω x M AG
se A = CIR => va = 0
TCIR = 1/2 Iaz ( θpunto )^2
se A = G
T =1/2 M vg ^2 + 1/2 Igz ( θpunto )^2
