Erwartungswert, Varianz und Standardabweichungen von ZV Flashcards
(12 cards)
Motivation für Def. von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Maßahlen) für ZV
Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ZV (Analog zu “normalen” Variablen aus der Deskriptivstatistik:)
- Lagemaße zur Beschreibung einer typischen Realisation (→wichtigstes Lagemaß: Erwartungswert)
- Streuungsmaße zur Bescheibung des Ausmaßes der Unterschiedlichkeit der Realisationen (→wichtigtse Streuungsmaße: Varianz und ZV)
Widerholung Definition des Mittelwerts
→Übertragung auf diskrete und stetige ZV
Definition Erwartungswert einer diskreten Variable
Gleiche Formel wie die für den Mittelwert, aber:
- anstatt Messwertausprägungen Realisationen
- statt realtiven Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten
Definition Erwartungswert einer stetigen Variable
Gehen von der Formel für den Erwartungswert diskreter ZV aus, ersetzen aber:
- die Summe durch ein Integral
- die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Der Erwartungwert E(x) einer stetigen ZV X ist also:
Interpretation Erwartungswert, Varianz, Standardabweichunh
(Sowohl für diskrete, als auch für stetige ZV X:)
- E(X): Durchschnittliche Realisation von X, wenn das X zugrundeliegende Zufallsexperiment unter identischen Bedingungen unendlich oft widerholt wird.
- Var(X): Empirische Varianz der Realisationen von X, wenn das X zugrundeliegende Zufallsexperiment unter identischen Bedingungen unendlich oft widerholt wird.
- SD(X): Empirische Standardabweichung der Realisationen von X, wenn das X zugrundeliegende Zufallsexperiment unter identsichen Bedingungen undenlich oft widerholt wird.
→Also genau wie bei emp. Varianz und Standardabweichung nicht wirklich intuitiv.
Rechenregeln Erwartungswert
Widerholung Definition empirische Varianz (Deskriptivstatistik)
→Übertragung auf diskrete und stetige ZV
Definition Varianz einer diskreten ZV
Gleiche Formel wie für die empirische Varianz, aber:
- anstatt Messwerten Realisationen
- anstatt relativen Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten
- anstatt Mittelwert Erwartungswert
Definition Varianz einer stetigen ZV
Ausgangspunkt: Formel für Varianz diskreter ZV, ersetzen aber:
- Summe durch ein Integral
- Wahrscheinlichkeitsfunktion durch Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Definition Standardabweichung einer ZV
Die Standaedabweichung SD(X) ist sowohl für diskrete als auch für stetige ZV als die Wurzel d. Varianz definiert:
Rechenregeln Varianz und Standardabweichung
z-Standardisierung von Zufallsvariablen
Wir ziehen von der ZV X ihren Erwartungswert E(X) ab, und teilen diese Differenz dann durch die Standardabweichung SD(X) von X. Diese Transformation ergibt eine neue z-standardisierte ZV Z:
