Geometria proiettiva

Question 1

Definizione prodotto scalare

Answer 1

Funzione ( . , . ): R^n x R^n –> R t.c. (v,w) = x1y1 + … + xnyn

Question 2

Definizione norma (+relazione prodotto scalare)

Answer 2

||v||=√(v,v)

Question 3

Proprietà prodotto scalare

Answer 3

1) Simmetria: (u,v)=(v,u)
2) Bilinearità: (u+λv,w) = (u,w) + λ(v,w) e (u, λv+w) = λ(u,v) + (u,w)
3) Non degenere: per ogni u in R^n (u,v)=0 => v=0
4) Definito positivo: (u,u)>=0 e (u,u)=0 <=> u =0

Question 4

Proprietà norma

Answer 4

1) ||λv||=|λ| ||v||
2) ||v||>=0
3) ||v||=0 per ogni v=0
4) ||u+v||^2=||u||^2+||v||^2+2(u,v)
5) ||u+v||^2 +||u-v||^2 = 2||u||^2 + 2||v||^2

Question 5

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Answer 5

|(u,v)|<=||u|| ||v||

Question 6

Definizione angolo tra u e v

Answer 6

a se cos(a)=(u,v)/||u||||v|| con u,v != 0

Question 7

Disuguaglianza triangolare

Answer 7

||u+v||<=||u||+||v||

Question 8

Vettori ortogonali (tra loro)

Answer 8

Se (u,v)=0

Question 9

Ortogonale di S

Answer 9

S^t = insieme dei vettori di v t.c. (u,v)=0 per ogni u in S c V

Question 10

Proprietà ortogonale

Answer 10

1) S^t è sottospazio di R^n
2) <S>^t=<S^t>
3) S c (S^t)^t</S>

Question 11

Proprietà ortogonale sottospazi di R^n

Answer 11

1) Dim(V^t) = n-dim(V)
2) V ^ V^t = [0]
3) (V^t)^t=V

Per 1) e 1) si ha che V e V^t sono complementari in R^n