Spazi affini Flashcards
(11 cards)
Definizione spazio affine
Terna della forma (A,V,+) dove A è un insieme i cui elementi sono detti punti, V è uno spazio vettoriale i cui elementi sono vettori e + è la somma punto-vettore definita come
+ : A x V –> A
(P,v) –> P+v
Proprietà somma punto-vettore
1) Compatibilità: (P+v)+w=P+(v+w) per ogni P in A e per ogni v,w in V
2) Fedeltà: P+v=p <=> v=0
3) Transitività: per ogni P,Q esiste un unico v t.c. Q=P+v
Punti in posizione generale
Punti di A P0,P1,…,Pn t.c. i vettori Pn-P0,…,P1-P0 sono linearmente indipendenti
Sistema di riferimento di A
R(P0,V) dove P0 è un punto detto origine e V una base dello spazio vettoriale detta base delle traslazioni
Sistema di riferimento canonico
R((0…0); e1,e2,…,en)
Sottovarietà lineare/sottospazio affine
L passante per P in A con giacitura/sottospazio direttore VL (sottospazio di V) è il sottoinsieme di punti di A [P+w t.c w appartiene a VL]
Dimensione sottovarietà (+esempi)
Dim(L)=Dim(VL)
Insieme vuoto –> Dim -1 (come sottovarietà)
Punto P+0 –> Dim 0
Retta P+<v> --> Dim 1
Piano P+<v,w> --> Dim 2
Iperpiano P+W con Dim(W)=Dim(V)-1 --> Dim n-1</v>
Posizioni reciproche sottovarietà lineari
1) Incidenti: L ^ M != vuoto
2) Parallele: U c W oppure W c U
3) Sghembe: L ^ M = vuoto e U ^ W = 0
4) Complementari: sghembe e L v M = A
Definizione L v M e L ^ M
L ^ M è l’intersezione di L e M cioè il sottoinsieme di punti di A che appatengono sia a L sia a M:
Si può scrivere come L ^ M = R+ U ^ W dove R è un punto comune
L v M è la congiungente cioè il più piccolo sottospazio affine di A che contiene L e M:
Si può scrivere come L v M = P + <U,W,Q-P>
Formula di Grassman affine
Dim(L v M) + Dim(L ^ M) <= Dim(L) + Dim(M)
Dim(L v M) + Dim(L ^ M) = Dim(L) + Dim(M) <=> L e M sono sghembe o complementari
Combinazione baricentrica di punti
P’ = a1P1 + … + anPn tale che scelto un qualsiasi punto Q, Q = Q +a1(P1-Q) + … + An(Pn-Q) con a1+ … + an = 1
