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Mathe Didaktik SoSe > Größen und Größenbereiche > Flashcards

Größen und Größenbereiche Flashcards

1
Q

Was ist eine Größe?

A

Größen beschreiben quantifizierbare Eigenschaften von Objekten unserer Anschauung

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2
Q

Was ist ein Größenbereich?

A

Ein Größenbereich fasst alle Objekte zusammen, die die entsprechende Eigenschaft in einer beliebigen Ausprägung tragen: Flächeninhalt, Längen, Anzahlen, Geldwerte

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3
Q

Aus was besteht ein Größenbereich?

A
  • Einer Menge R von Repräsentanten des Größenbereichs (alle Objekte, bei denen ich eine Eigenschaft betrachten kann z.B. eine Länge)
  • Einer Äquivalenzrelation ~, die Repräsentanten mit gleicher Ausprägung der Eigenschaften beschreibt (z.B. bei Strecken: gleich lang)
  • die Menge aller Äquivalenzklassen R/~ ist die Menge aller Größen (Warum? Um in Teilmengen zu zerlegen) –> eine Äquivalenzklasse umfasst einen Teil der Menge, die dieselbe Äquivalenzrelation erfüllen
  • einer strengen Ordnungsrelation „<“ auf R/~
  • eine kommutative und assoziative Verknüpfung auf „+“ auf R/~ (also +: R/~ x R/~ → R/~)
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4
Q

Was kann man ausgehend von einem Größenbereich definieren?

A
  • Ausgehend davon kann man i.d.R. eine Skalarmultiplikation ℕ x R/~ → R/~ definieren und dann unter bestimmten Bedingungen auf ℚ+ und ggf. ℝ+ erweitern
    -> Man muss eine Skalarmultiplikation auf der Menge definieren können (z.B. 5 mal diese Länge)
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5
Q

Wie werden Größen gewonnen?

A

Durch Abstraktion von realen Objekten zu Äquivalenzklassen

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6
Q

Was gehört zu einem Größenbereich dazu?

A
  • Menge der Repräsentanten: Welchen Objekten wird diese Eigenschaft zugeschrieben?
  • Äquivalenzrelation: Welche Repräsentanten haben diesselbe Eigenschaft?
  • Ordnungsrealtion: Wie vergleicht man Repräsentanten?
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7
Q

Was versteht man unter Messen?

A

Darunter versteht man das vollständige, überschneidungsfreie und lückenlose Auslegen eines Repräsentanten mit einer Maßeinheit
(dabei sind die gewählten Maßeinheiten willkürlich, z.B.:
* Daumenbreite, Klafter, Elle, Fuß, Schritt
* Regensburger Elle)

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8
Q

Beschreibe den Verlauf von Repräsentant zu Maßangabe

A
  • Baum: irgendein Objekt
  • Alle Repräsentanten, die genau so lang sind bilden eine Äquivalenzklasse (die Größe)
  • Höhe des Baums (Abstand zwischen A und B): Repräsentant des Größenbereichs “Längen”
  • Ein Meter als Maßeinheit
  • Maßangabe (Maßzahl & Maßeinheit): z.b. 6 Meter
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9
Q

A = 6m
Benenne die einzelnen Bezeichnungen

A

A: Größensymbol
6: Maßzahl
m: Maßeinheit
6m: Maßangabe

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10
Q

Was ist ein Größensymbol?

A

Symbole bzw. Formelzeichen zur Beschreibung von Größen

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11
Q

Was ist eine Maßzahl?

A

Anzahl, wie viele Maßeinheiten zum Auslegen des zu messenden Objekts benötigt werden

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12
Q

Was ist eine Maßeinheit?

A

Angabe, welche Größe der beim Messen (=zum Auslegen) verwendete Repräsentant hat

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13
Q

Wann sind zwei Größen kommensurabel?

A

Zwei Repräsentanten a und b einer Größe heißen kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer dritten Größe c sind
Anders ausgedrückt: Das Verhältnis der Maßzahlen beim Messen mit der Einheit c ist eine rationale
Zahl

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14
Q

Nenne ein Beispiel für eine nicht-kommensurable Länge

A

Seitenlänge und Diagonale in einem Quadrat sind nicht kommensurabel, da für ein Quadrat mit
der Seitenlänge a und der Diagonale d gilt: d = Wurzel aus 2 ∙ a das Verhältnis d/a ist also keine rationale Zahl

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15
Q

Was ist eine Messgröße?

A

Messgrößen sind solche, bei denen die Repräsentanten (wenigstens prinzipiell) mit den Maßeinheiten “ausgelegt” werden können

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16
Q

Was sind abgeleitete Größen?

A

Abgeleitete Größen sind solche, die als Kenngrößen (z.B. Proportionalitätsfaktoren) von bestimmten Klassen funktionaler Zusammenhänge zwischen anderen Größen definiert werden
* In vielen Fällen ist der Zusammenhang „verstrichene Zeit - zurückgelegte Strecke“ bei Bewegungsvorgängen (näherungsweise) proportional.
* Der zugehörige Proportionalitätsfaktor definiert die abgeleitete Größe, Geschwindigkeit.

17
Q

Was wird von den Bildungsstandards hinsichtlich der Leitidee Größen und Messen umfasst?

A

Messen, Einheiten auswählen/umwählen, Flächeininhalte, Sachsituationen, Abschätzen von Größen, Winkelgrößen

18
Q

Welche Art von Größe liegt hier vor?
1. Zeitpunkte
2. Geldwerte
3. Preis pro Stück
4. Volumen

A
  1. Messgrößen muss man addieren können, macht bei Zeitpunkten keinen Sinn –> keine Größe, auch keine Messgröße
  2. Sonderfall, ist keine typische Größe, die man misst –> es gibt verschiedene Umrechnungen, nicht konstant (vgl: Längen und Flächeninhalte ändern sich nicht); es gibt keine beliebig kleine Unterteilung der Geldwerte
  3. Sonderfall, weil es sich aus der Größe des Geldwertes ableitet
  4. Messgröße, kann durch Auslegen bestimmt werden –> z.b. mit 1 Kubikzentimeter Würfel
19
Q

Wie bearbeiten Schüler Größenbereiche?

A

Größen sind abstrakt.
Schüler sollen neben Messen, Umrechnen und Formeln anwenden auch einen Einblick in die Bedeutung von Maßzahlen/einheiten bekommen, tragfähige Vorstellungen zu typischen Repräsentanten und die Fähigkeit, Größenangaben schätzen zu können haben.
* EInblick in Äquivalenzklassenprinzip von Größen erfahren
* Prinzip des Messens für einzelne Größenbereiche erfassen
* Größenvorstellungen zu Maßeinheiten (Piaget: Wasser umfüllen)

20
Q

Wie lautet die didaktische Stufenfolge zur Behandlung von Größen?

A
  1. Erfahrungen und Sach- und Spielsituationen machen
  2. Direkter Vergleich von Repräsentanten
  3. indirekter Vergleich
    -> indirekter Vergleich mit Vergleichsobejkten
    -> indirekter Vergleich mit selbstgewählten Maßeinheiten
  4. Indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten
  5. Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten
  6. Aufbau von Größenvorstellungen
  7. Rechnen mit Größen (Rechnen in Kontexten, Erarbeitungen von Beziehungen zur Bestimmung von Größen -> Flächeninhalts/Volumenformel)
21
Q

direkter Vergleich mit Repräsentanten

A
  • Relation zwischen zwei Objekten, evtl. mit Hilfsmittel, u.a. Sortieren, Ordnen, (Anti-)Symmetrie,
    Transitivität
  • Strategien des Größenvergleichs „ohne Messen“
  • z.B. hinreichend ähnliche Rechtecke (oder andere Figuren) als Repräsentanten, die man nicht sofort durch Augenmaß vergleichen kann –> Vergleich durch Übereinanderlegen: da wo mehr übersteht, ist auch die Fläche größer
  • Unterschied: keine dritte Figur/kein Vergleichsobjekt nötig
22
Q

indirekter Vergleich mit Vergleichsobjekten

A
  • Nutzung eines weiteren Objekts als Vermittler
  • z.B. Vergleich von Volumina durch Eintauchen in ein Wasserbad
  • bei Flächen: Hilfsmittel: N-Ecke
  • man nimmt paarweise (heißt in beiden zu vergleichenden Figuren, kommen die N-Ecke vor) unterschiedliche N-Ecke
  • man schaut bei welcher Figur man früher mit auslegen fertig ist -> Fläche kleiner
  • Funktioniert auch mit echten Objekten: 3 Cola-Flaschen, 5 Capri-Sonnen etc. Hauptsache es sind mehrere Vergleichsobjekte
23
Q

indirekter Vergleich mit selbstgewählten Maßeinheiten

A
  • Auslegen mit nur einer einzigen Maßeinheit (Auslegen mit Geodreiecken, Klopapier, Dreiecken etc.) -> man kommt mit den selbstgewählten Maßeinheiten nicht immer zum Ziel, weil sie nicht jedem zur Verfügung stehen und teils nicht allgemein genug sind
24
Q

indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten

A
  • standardisierte Maßeinheiten: Quadratzentimeter/meter etc. –> eigentlich dasselbe wie Stufe des Messens mit selbstgewählten Vergleichsobejekten, aber hier mit allgemeinerem Objekt
  • Nutzung von Messgeräten
25
Q

Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten

A
  • Motivierung und Einführung feinerer/gröberer Maßeinheiten
  • Ggf. alternative Maßeinheiten (Hektar, Ar; nicht-metrische Einheiten)
  • Umrechnung von Größenangaben
26
Q

Aufbau von Größenvorstellungen

A
  • Ankerpunktwissen
  • Typische Repräsentanten für Größenangaben/Maßeinheiten
27
Q

Rechnen mit Größen

A
  • Addieren, Subtrahieren, Verfielfachen etc.
  • Diskussion der Multiplikation von Größen
28
Q

Wie prüft man, ob Terme äquivalent sind?

A
  • Oberen Term durch Äquivalenzumformungen (Ausmultiplizieren, Verinfachen) umformen
  • wenn beide Terme identisch sind, dann sind die Terme äquivalent
29
Q

Unterrichtsplanung bei Rechteck: Seiten bestückt mit n-Punkten
–> wie kommt man auf die Punkte

A

Unterrichtsplanung:
1. konkrete Anzahl für n –> erstmal Zählen
2. Höhere Zahlen für n, allmähliche Verallgemeinerung
Alternativ:
1. falsche Formel an die Tafel schreiben –> Diskussion, warum sie falsch ist
2. Auf den richtigen Wert des Terms schließen lassen –> Äquivalenz verschiedener Terme nachweisen
(Schüler sollen kognitiv aktiviert werden, schlecht wäre es, sich nur eine Lösung anzuschauen)

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