Terme, Variablen und Gleichungen

Question 1

Termbegriff

Answer 1

• Definitionsmöglichkeiten
• inhaltliche Definition: eine mathematisch sinvolle Rechenvorschrift, die Variablen enthält, nennt man Term
• formalistische Definition: Zahlen und Variablen sind Terme. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Termen sind wieder Terme

Question 2

Termwert

Answer 2

Den Wert, den der Term bei Belegung der Variablen mit bestimmten Variablenwerten annimmt

Question 3

Grundmenge

Answer 3

Die Menge der Variablenbelegungen, für die Termwerte berechnet werden können bzw. sollen

Question 4

Definitionsmenge

Answer 4

Braucht man diesen Begriff bei Termen? Noch nicht, macht bei Funktionen mehr Sinn

Question 5

Äquivalenz von Termen

Answer 5

zwei Terme heißen äquivalent, wenn sie für jede Belegung der Variablen aus der Grundmenge denselben Termwert liefern
(7x ist äquivalent zu 5x + 2x)

Question 6

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Answer 6

Eine Äquivalenzumformung von Termen ist eine Umformung,
die Terme immer in äquivalente Terme überführt.
Dazu gehören:
* Zusammenfassen gleichartiger Terme in Summen und Produkten
* Ausklammern und Ausmultiplizieren
* Binomische Formeln
* Potenzgesetze
* Additionstheorem für Sinus und Kosinus

Question 7

Beschreibe die Bedeutung von Termen

Answer 7

• Terme als Rechenvorschrift (Termumformungen: wertgleiche Rechenvorschriften)
• Terme als Baupläne:
• Terme charakterisieren bestimmte mathematische e Objekte.
  z.B. „x ist eine gerade Zahl“: „Es gibt eine ganze Zahl k, so dass x = 2k.“
  Oder: „x ist von der Form x = 2k, wobei k eine ganze Zahl ist.“
• Terme beschreiben Strukturierungen von Situationen
• Termumformungen können neue Einsichten liefern z.B.: Sind x, y gerade, dann sind sie von der Form x = 2k und y = 2l (!), wobei k und l ganze Zahlen sind.
  Es gilt: x + y = 2k + 2l = 2 (k + l) und k + l ist eine ganze Zahl.
  Also ist x + y auch eine gerade Zahl.

Question 8

Gleichungsbegriff

Answer 8

• Ausdrücke des Typs T1 = T2, wobei T1 und T2 Terme sind, nennt man Gleichungen.
  -Analog für Gleichungssysteme.
• Zu einer Gleichung wird i.d.R. eine Grundmenge angegeben.
• Eine Variablenbelegung aus der Grundmenge, für die beide Terme einer Gleichung denselben Wert annehmen, heißt Lösung der Gleichung.
• Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge der Gleichung.
• Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben

Question 9

Bedeutungen von Gleichungen- allgemeingültige Gleichungen

Answer 9

• Axiome (z.B. von Zahlbereichen), z.B. Assoziativgesetze, Kommutativgesetze, Distributivgesetz
• Weitere Beziehungen zwischen Rechenoperationen
  z.B. u+ v = w ⇔ u = w – v für alle (z.B. rationalen) Zahlen u, v, w
• Gesetzmäßigkeiten aus Modellen von Anwendungswissenschaften
• allgemeingültige Zusammenhänge
• z.B. 3x + 7xy − x + 3xy = 2x + 10xy
• Termumformungen, z.B. 5x – 3x = 2x
  -Beispiel „Formeln“:
  (= + 1)2 = =2 + 2=1 + 12

Question 10

Bedeutungen von Gleichungen - Charakterisierende Gleichungen

Answer 10

• Gleichungen charakterisieren Zahlen
  -U= 2 pi r, wobei U der Umfang eines Kreises mit Radius r ist
  -Funtkionen führen zu Gleichungen –> Nullstellen, Schnittpunkte von Funtkionsgraphen
• Gleichungen beschreiben Eigenschaften
  -z.B. Symmetrie f(-x) = -f(x)
  -z.B. von Zahlen (z.B. einer ganzen Zahl p)
  p = 2k für eine ganze Zahl k.

Question 11

Äquivalenzumformungen von Gleichungen

Answer 11

Definition:
Eine Operation zur Umformung von Gleichungen heißt Äquivalenzumformung,
wenn sie die Lösungsmenge jeder Gleichung, auf die sie angewendet werden kann, unverändert lässt.
Beispiele:
* Addition und Subtraktion von gleichen Termen auf beiden Seiten einer Gleichung.
* Multiplikationen mit und Divisionen durch dieselben Zahlen ungleich Null auf beiden Seiten
einer Gleichung.
* Multiplikation mit einer Variablen (z.B. x) ist genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Fall x=0 durch die Grundmenge ausgeschlossen ist.
* Quadrieren beider Seiten ist keine Äquivalenzumformung

Question 12

Äquivalenzumformungen - Hintergrund

Answer 12

• Neben Äquivalenzumformungen werden Unterschieden:
• Umformungsregeln, bei denen ggf. neue Lösungen hinzukommen, aber keine verloren gehen:
  -Multiplikation beider Seiten mit Variablen
  Multiplikation beider Seiten mit 0
  -Anwendung nicht-injektiver Funktionen
• Umformungsregeln, bei denen ggf. Lösungen verloren gehen, aber keine neuen hinzukommen
  -Division (Vorsicht mit dem Begriff kürzen) der Variablen auf beiden Seiten
  -Anwendung von “Fast-Umkehrfunktionen” (Wurzelziehen, Arcussinus)
  In beiden Fällen ist es i.d.R. wichtig zu wissen, welche Lösungen hinzukommen bzw. verloren gehen.

Question 13

Variablenbegriff

Answer 13

• Nutzung als symbolischer Ersatz für variierende oder unbekannte Objekte
  -Bedeutung muss aus dem Referenzkontext klar sein
  -Welche Art von Objekten wird in welchem Sinn ersetzt?

Question 14

Grundvorstellungen zu Variablen

Answer 14

• Variablen als Unbekannte
• Variablen als Veränderliche
• Variable als Unbestimmte

Question 15

Variable als Unbekannte

Answer 15

• bezogen auf Aussagen, Gleichungen
• typische Problemstellung: Charakterisierung eines Objekts durch Eigenschaften
• Variablen als Platzhaler für eine Zahl, deren Wert noch nicht bekannt ist, aber prinzipiell bestimmt werden kann
• Welche Lösungen hat die Gleichung….?Hat sie überhaupt Lösungen….?

Question 16

Variable als Veränderliche

Answer 16

• bezogen auf Funktionen, Terme, Aussagen, Gleichungen
• Problemstellung: Veränderung einer Aussage/eines Werts in Abhängigkeit vom bezeichneten Objekt
• Variable ist eine Zahl/Größe, die veränderlich ist (sie kann verschiedene Werte aus einem festgelegten Bereich annehmen)
• Wie verändert sich…, wenn mann….
• z.B. Erhöhung von x um 1 bei y= 5x + 7

Question 17

Variable als Unbestimmte

Answer 17

• bezogen auf Aussagen und Gleichungen
• typische Problemstellung: Aussage bezieht sich (simultan) auf alle Objekte.
• Variable ist eine allgemeine Zahl, deren Wert nicht bekannt/gegeben ist (und ggf. vorerst nicht von Interesse ist)
• Gilt für alle Zahlen a und b, dass a + b = b + a
• Sind die beiden Terme/Gleichungen äquivalent?

Question 18

Variablen - Aspekte nach Verwendung bzw. typischen Handlungen

Answer 18

• Gegenstandsaspekt
  -Variable als Gegenstand, mit dem man umgeht (vgl. Black Box), mit der etwas beschrieben wird
  -insb. Variablen als Platzhalter für eine feste, konkrete (ggf. noch unbekannte) Zahl
• Einsetzungsaspekt:
  -Variablen als Platzhalter/Leerstelle, in die man etwas einsetzt
  -insb. verschiedene mögliche Werte aus einer Grundmenge
• Kalkülaspekt
  -Variable als Größe, mit der man rechnet wie mit Zahlen
  -Symbole, mit denen nach bestimmten Regeln operiert wird

Question 19

Beziehe die Aspekte auf die einzelnen Grundvorstellungen von Variablen

Answer 19

• Variable als unbestimmte Zahl:
  -EA: Für die Unbestimmte können Zahlen eingesetzt werden
  -KA: Ein Ausdruck mit unbestimmten Zahlen kann umgestellt werden
  -GA: EIn Sachverhalt wird mithilfe von unbestimmten Zahlen beschrieben (Flächeninhalt in der Geometrie)
• Variable als unbekannte Zahl:
  -EA: Für die unbekannte Zahl werden Zahlen eingesetzt, bis - etwa bei einer Gleichung- eine wahre Aussage entsteht
  -KA: Ein Ausdruck mit einer Unbekannten kann regelgeleitet umgeformt werden, um die Unbekannte zu bestimmen
  -GA: Ein Sachverhalt wird mithilfe einer Unbekannten beschrieben (Gleichung)
• Variable als Veränderliche
  -EA: Werte können eingesetzt werden, etwa um systematisch Änderungen in den Blick zu nehmen
  -KA: Zu einem x-Wert kann der zugehörige y-Wert ermittelt werden und umgekehrt
  -GA: Situationen, in denen zwei Größen in Beziehung stehen, können beschrieben werden (Funktionen)

Question 20

Variablen- typische Probleme

Answer 20

• Variable als Objekt I
• Das Symbol wird als Platzhalter für ein Objekt oder das Objekt selbst behandelt.
  -Beispiel: Es gibt 8 mal so viele Chinesen wie Engländer: C = 8 · E
• Variable als Objekt II
• z.B. 3a + 2b „ist so etwas wie“ „3 Äpfel und 2 Birnen“.
• Oberflächliche, „meist didaktisch gut gemeinte“ Interpretation ohne Bedeutungsgehalt.
• Tragweite begrenzt und Gefahr von Fehlvorstellungen.
• Inkonsistente Verwendung beim Einsetzen
• z.B. Gilt 3 · x = x + 1 für natürliche Zahlen x? Ja: 3 · 2 = 5 + 1.
• Interpretation unter der falschen/einer eingeschränkten Grundvorstellung.
• Ist 2 · x = x^2 Ja, weil 2 · 2 = 2^2 (x = 2) – Vorstellung „Unbekannte“ statt „Unbestimmte“
• V als Zeichen für Volumen rein unter der Vorstellung „Unbestimmte“.
• Fehlende inhaltliche Vorstellungen
  Dann meist Manipulation von Symbolen nach Regeln, ohne Zugriff auf eine Interpretation.
  -Einsetzen von Zahlen zur Prüfung von Aussagen.
  -Verbindung zu den inhaltlichen Zusammenhängen (z.B. Distributivität und Ausklammern)