Logica

Question 1

Spiegare le espressioni logica fomale, logica informale e linguaggio simbolico

Answer 1

Linguaggio simbolico: linguaggi artificiali interamente costituiti da simboli, il cui significato viene stabilito convenzionalmente.
Logica formale: inferenze deduttive operate nei linguaggi simbolici
Logica informale: inferenze deduttive operate nei linguaggi naturali

Question 2

Definire la differenza tra frase, enunciato e enunciati semplici e complessi in un linguaggio naturale

Answer 2

Frase: espressione linguistica dotata di significato
Enunciato: frase dichiarativa, cioè una frase per cui possiamo chiederci se sia vera o falsa
Enunciato semplice: non includono connettivi componenti
Enunciato complesso: includono connettivi come Non, E, Oppure
(attenzione! “Non” sarebbe un operatore, non un connettivo, ma per fare prima, Festa li chiama tutti connettivi)

Question 3

Cosa vuol dire interpretare un enunciato a in senso vero funzionale?

Answer 3

Significa che il valore di verità dell’enunciato a dipende solo dai valori di verità dei componenti di a.

Es: Interpretando in senso vero funzionale “a oppure b”, saremmo in grado di attribuire un valore di verità a questo enunciato solo a partire dal valore di verità delle componenti dell’enunciato (in questo caso a e b)

Question 4

Elenca i possibili valori di verità di negazioni, congiunzioni e disgiunzioni

Answer 4

Negazione: “Non a” è vera nel caso in cui a è falso ed è falsa nel caso in cui a è vero
Congiunzione: “a e b” è vera nel caso in cui entrambi i congiunti sono veri; altrimenti è falsa
Disgiunzione: “a oppure b” è vera nel caso in cui almeno uno dei disgiunti è vero; altrimenti è falsa.

Attenzione! In ambito logico e matematico, l’interpretazione standard di “oppure” è quella inclusiva, cosicché se si vuole formulare una disgiunzione intesa in senso esclusivo si ricorre a espressioni che non diano adito ad ambiguità come: “a oppure b, ma non entrambi”

Question 5

Cosa determina il principio di bivalenza?

Answer 5

I valori di verità sono due, cioè il vero e il falso, e in ogni mondo possibile di L qualunque enunciato di L ha uno e un solo valore di verità. Quindi qualunque enunciato di L deve essere vero o falso, ma non può essere entrambe le cose

NB con L intendiamo un determinato linguaggio simbolico.

Question 6

Cosa intendo se dico “L è semanticamente determinato?”

Answer 6

Intendo dire che per ogni enunciato a di L, si può determinare il valore di verità di a in ogni mondo possibile mi di L.

Per ricordare: semantico–> significato–> significato è collegato al concetto di valore di verità

Question 7

Spiegare il concetto di “ambito di possibilità” e di proposizione

Answer 7

L’ambito di possibilità dell’enunciato a è composto dall’insieme dei mondi possibili in cui a è vero

Determinare l’ambito di a permette, in un certo senso, di stabilire cosa dice a: possiamo quindi dire che l’ambito di a è la proposizione espressa da a.
Una proposizione è il contenuto di significato veicolato da un enunciato. Una proposizione in logica classica ha sempre uno di due valori di verità: vero o falso.

Esempio: 
Nel linguaggio simbolico L chiamato Lm gli enunciati possibili sono: 
-piove /non piove
-fa caldo /non fa caldo
Quindi esistono 4 mondi possibili 
m1-piove/fa caldo
m2-piove/non fa caldo
m3-non piove/non fa caldo
m4-non piove/fa caldo

Possiamo determinare il valore di verità degli enunciati nei vari mondi possibili (es: piove è vero in m1 e m2, falso in m3, m4), si può quindi determinare l’ambito (di possibilità) degli enunciati:
Piove–> si trova nei mondi possibili m1, m2
Non piove–> si trova nei mondi possibili m3, m4
Piove e non piove–> si trova nell’insieme vuoto
Piove o non piove–> si trova nell’insieme universale

N.B. Affermare che un certo enunciato a di L è vero è un modo conciso per dire che a è vero nel mondo reale, cioè nell’unico mondo possibile di L che effettivamente si realizza

Question 8

Elencare e spiegare le proprietà semantiche degli enunciati che abbiamo studiato

Answer 8

Le proprietà semantiche di un enunciato a di L sono proprietà definite nei termini della proposizione espressa da a. Proprietà semantiche di particolare importanza sono le seguenti:
a è una verità logica ≡ m(a) = U–> a è una verità logica se e solo se è vero in tutti i mondi possibili
a è una falsità logica ≡ m(a) = ∅–> a è una falsità logica se e solo se è falso in tutti i mondi possibili
a è contingente ≡ a non è né una verità logica né una falsità logica–> a è contingente se e solo se è vero in alcuni mondi possibili e falso in altri

Question 9

Come possiamo determinare il valore di verità delle varie proprietà semantiche?

Answer 9

Il valore di verità di una verità logica e di una falsità logica può venire accertato con mezzi puramente logici.

Per gli enunciati contingenti invece, (un enunciato a è contingente se e solo se è vero in alcuni mondi possibili e falso in altri) il valore di verità dipende dai “fatti del mondo”, cioè dalla circostanza che m* appartenga, oppure no, a m(a). Per questo motivo, gli enunciati contingenti vanno spesso sotto il nome di enunciati fattuali.

Question 10

Elencare e descrivere le 3 relazioni semantiche tra gli enunciati che abbiamo studiato

Answer 10

• implicazione logica–> “a implica logicamente b” nel caso in cui b è vero in tutti i mondi possibili in cui a è vero. Il termine implicazione logica si riferisce al legame che esiste tra una proposizione (antecedente) ed un’altra proposizione (conseguente) in modo da metterne in relazione i rispettivi valori di verità.
• equivalenza logica–> “a è logicamente equivalente a b” nel caso in cui non vi è alcun mondo possibile in cui uno degli enunciati a e b è vero e l’altro falso.
• incompatibilità logica–> “a e b sono logicamente incompatibili” nel caso in cui, non vi è alcun mondo possibile in cui sono entrambi veri

Question 11

Cos’è un linguaggio enunciativo?

Answer 11

Il linguaggio enunciativo è un tipo di linguaggio simbolico il cui vocabolario include solo le variabili enunciative a, b, … e dei simboli che stanno, rispettivamente, per i connettivi vero-funzionali “non”, “e” e “oppure”

Question 12

Definire i termini: assioma, definizione, principi e teorema

Answer 12

Assioma: hanno contenuto fattuale, nel senso che veicolano informazioni su certi fatti,
Definizione: hanno carattere convenzionale, nel senso che fissano il significato di certi termini
Principi: insieme degli assiomi e delle definizioni di una teoria T
Teorema: diremo che l’enunciato t è un teorema della teoria T nel caso in cui t è deducibile dalla teoria T

Question 13

Quale contributo apportò Kolmogorov alla teoria matematica delle probabilità?

Answer 13

Kolmogorov dimostrò negli anni 30 che tutti i teoremi del calcolo delle probabilità potevano essere dedotti da un ristretto numero di assiomi.
La teoria assiomatica di Kolmogorov non presuppone l’adozione di nessuna particolare interpretazione del concetto di probabilità. Si tratta, infatti, di una teoria astratta, formulata in termini insiemistici, che
risulta compatibile con tutte le interpretazioni del concetto di probabilità, quindi sia la probabilità statistica che la probabilità epistemica.

Question 14

Elencare i quattro assiomi di Kolmogorov

Answer 14

A1 Probabilità minima–> la probabilità di qualsiasi enunciato a è non negativa

A2 Probabilità di una verità logica–> qualsiasi verità logica ha una probabilità pari a 1

A3 Additività–> la probabilità della disgiunzione di una qualsiasi coppia ordinata (a, b) di enunciati incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

A4 Definizione della probabilità relativa–> la probabilità relativa di a dato b è uguale al rapporto tra la probabilità congiunta di a e b con la probabilità di b (con b diverso da zero)

Question 15

Qual è la differenza tra probabilità relativa e assoluta? E cosa si intende con “valore determinato”?

Answer 15

Probabilità relativa: anche note come probabilità condizionali, si riferisce ad esempio alla “probabilità di a data la condizione b”
Probabilità assoluta: è la probabilità di frequenza assoluta di un enunciato a (che non tiene da conto altri eventi come b)
Valore determinato: si parla di valore determinato quando le probabilità assolute di tutte le condizioni sono diverse da 0

Question 16

9 proprietà fondamentali delle probabilità assolute

Answer 16

Probabilità della negazione–> la probabilità di non a è uguale a 1 - la probabilità di a

Probabilità massima–> la probabilità di a è minore o uguale a 1

Probabilità di una falsità logica–> se a è una falsità logica, allora la probabilità di a è uguale a 0

Probabilità di enunciati equivalenti–> se a è logicamente equivalente a b, allora la probabilità di a è uguale alla probabilità di b

Probabilità di conseguenze logiche–> se a implica logicamente b, allora la probabilità di a è minore o uguale alla probabilità di b

Regola di moltiplicazione–> la probabilità congiunta di a e b è uguale alla probabilità di a moltiplicata per la probabilità di b dato a (oppure è uguale alla probabilità di b moltiplicata per la probabilità di a dato b)

Principio della probabilità totale–> la probabilità di a è uguale alla probabilità congiunta di a e b + la probabilità di a e non b

Valore massimo della probabilità delle congiunzioni–> la probabilità congiunta di a e b deve essere minore o uguale alle singole probabilità di a e b

Relazioni tra probabilità delle disgiunzioni e delle congiunzioni

• -> la probabilità di a o b = probabilità di a + probabilità di b - la probabilità congiunta di a e b
• ->la probabilità di a e b = probabilità di a + probabilità di b - la probabilità di a o b

Question 17

8 proprietà fondamentali delle probabilità relative

Answer 17

Probabilità relativa minima–> la probabilità di a dato b è maggiore o uguale a zero

Probabilità relativa di una verità logica–> Se a è una verità logica, allora la probabilità di a dato b = 1

Additività delle probabilità relative–>Se a e b sono incompatibili, allora la probabilità di a o b dato c è = probabilità di a dato c + la probabilità di b dato c

Probabilità relativa della negazione–> la probabilità di non a dato b è uguale a 1 - la probabilità di a dato b.

Probabilità relativa massima–> la probabilità di a dato b è minore o uguale a 1

Probabilità relativa di conseguenze logiche–> se a implica logicamente b allora la probabilità di b dato a è 1

Probabilità di un enunciato dato se stesso–> la probabilità di a dato a è 1

Probabilità relative di enunciati con probabilità iniziale estrema
Se la probabilità di a = 0, allora la probabilità di a dato b = 0;
Se la probabilità di a = 1, allora la probabilità di a dato b = 1.

Question 18

Esponi le due versioni del teorema di Bayes

Answer 18

le probabilità relative godono di un gruppo di interessanti proprietà descritte nel cosiddetto teorema di Bayes.
𝑝(𝑎|𝑏) = 𝑝(𝑎)*𝑝(𝑏|𝑎) / 𝑝(𝑏)

𝑝(𝑎|𝑏) = 𝑝(𝑏|𝑎)𝑝(𝑎) /𝑝(𝑎)𝑝(𝑏|𝑎) + 𝑝(non a)*𝑝(𝑏|non a)

Question 19

Di cosa si occupa l’epistemologia bayesiana?

Answer 19

L’epistemologia bayesiana trae il suo nome dal teorema di Bayes, che ne costituisce il fondamentale strumento concettuale. L’epistemologia bayesiana si occupa soprattutto della statica e della cinematica dell’opinione, cioè della formazione e del cambiamento delle opinioni.
Gli intenti dell’epistemologia bayesiana non sono descrittivi, bensì normativi. Infatti, gli epistemologi bayesiani non mirano tanto a descrivere il modo in cui gli uomini in carne e ossa formano le loro credenze e le cambiano in risposta alle informazioni via via acquisite, quanto a identificare i principi generali in base ai quali un soggetto idealmente razionale forma e cambia le proprie credenze.

L’epistemologia bayesiana ha valore prescrittivo, nel senso che le sue norme, elaborate pensando al tipo ideale del soggetto razionale, valgono anche come prescrizioni per gli esseri umani in carne e ossa. (anche se non siamo completamente razionali, non siamo neppure completamente irrazionali, e possiamo usare la nostra cognizione per applicare le regole dell’epistemologia bayesiana)

Question 20

Esponi i due concetti chiave dalla quale parte l’epistemologia bayesiana

Answer 20

(1) le credenze di un soggetto razionale possono avere diversi gradi di intensità, i quali possono venire espressi mediante appropriate probabilità;
(2) in risposta alle informazioni via via acquisite, un soggetto razionale cambia le proprie probabilità sulla base di appropriati principi cinematici.

Question 21

Rispondi al fondamentale quesito nell’ambito della statica dell’opinione: Quali sono i principi generali che una persona razionale dovrebbe seguire
nella formazione delle proprie opinioni?

Answer 21

i gradi di credenza di un soggetto razionale dovrebbero soddisfare il principio di rappresentazione probabilistica dei gradi di credenza, ovvero: le opinioni di un soggetto razionale devono sempre venire identificate con le probabilità che egli attribuisce a determinati enunciati.

Question 22

Rispondi al fondamentale quesito nell’ambito della cinematica dell’opinione: quali siano i principi generali che un soggetto razionale dovrebbe seguire nel cambiamento delle proprie opinioni?

Answer 22

Gli epistemologi bayesiani credono che un soggetto dovrebbe cambiare le proprie opinioni in accordo con il cosiddetto principio di condizionalizzazione, ovvero: In risposta all’acquisizione di un’evidenza E, un soggetto razionale aggiorna la probabilità iniziale attribuita all’ipotesi H, sostituendola con la probabilità finale, ovvero l’ipotesi di H dato E.

Question 23

Perché dovremmo considerare plausibile il principio di condizionalizzazione?

Answer 23

Possiamo riformulare il principio di condizionalizzazione nei termini del teorema di Bayes:
𝑝(𝐻|𝐸) = 𝑝(𝐻) × 𝑝(𝐸|𝐻) × [1/𝑝(𝐸)]

Dove:
𝑝(𝐸|𝐻)–> indica la verosimiglianza di H rispetto a E, cioè rappresenta il grado di prevedibilità relativa di E alla luce della supposizione che H sia vera, in poche parole è una misura del successo predittivo di H nei riguardi di E.
1/p(E)–> è una misura del grado di imprevedibilità iniziale di E, misura di quanto sorprendente, o inaspettata, era l’evidenza E prima di essere acquisita dal soggetto

Gli epistemologi bayesiani hanno elaborato diverse argomentazioni volte a dimostrare che un soggetto dovrebbe seguire le prescrizioni del principio di condizionalizzazione cioè che egli dovrebbe attribuire all’ipotesi H una probabilità finale esattamente uguale al prodotto dei fattori p(H), p(E|H) e 1/p(E).
Questo perché sappiamo che la probabilità finale di H cresce al crescere di ciascuno dei tre fattori sopra menzionati.

Più precisamente, suggeriamo che un essere umano non totalmente irrazionale determina la probabilità finale di un’ipotesi in accordo con questi principi:
(I) la probabilità finale di un’ipotesi si accresce al crescere della sua probabilità iniziale;
(II) la probabilità finale di un’ipotesi si accresce al crescere del suo successo predittivo nei riguardi dell’evidenza;
(III) la probabilità finale di un’ipotesi si accresce al crescere dell’imprevedibilità iniziale dell’evidenza.

Question 24

Riporta un esempio che spieghi il seguente principio: “la probabilità finale di un’ipotesi si accresce al crescere della sua probabilità iniziale”

Answer 24

-Ipotesi:
T ≡ Il colpevole è Tizio
C ≡ Il colpevole è Caio

-Evidenza E:
sono state trovate impronte da scarpe taglia 43 sulla scena del crimine
negli appartamenti di entrambi gli indagati sono state trovate solo scarpe taglia 43. Ciò significa che le ipotesi T e C hanno lo stesso successo predittivo nei riguardi di E.

-Verosimiglianza:
Sempronio dovrà quindi attribuire uguale verosimiglianza a T e C sulla base di E,

-Probabilità iniziale:
MA Tizio ha riportato tre condanne per delitti di sangue, mentre Caio è incensurato. T una probabilità iniziale molto maggiore di quella attribuita a C

Data l’uguaglianza tra le verosimiglianze di T e C, le probabilità finali delle due ipotesi dipenderanno solo dalle loro probabilità iniziali: più precisamente, le probabilità finali di T e C si accresceranno al crescere delle loro probabilità iniziali. Quindi Sempronio attribuirà a T una probabilità finale di gran lunga maggiore di quella attribuita a C.

Question 25

Riporta un esempio che spieghi il seguente principio: “la probabilità finale di un’ipotesi si accresce al crescere del successo predittivo nei riguardi dell’evidenza”

Answer 25

ipotesi
T ≡ Il colpevole è Tizio
C ≡ Il colpevole è Caio

-Evidenza E:
sono state trovate impronte da scarpe taglia 43 sulla scena del crimine
nell’appartamento di Tizio sono state trovate solo scarpe taglia 43, mentre nell’appartamento di Caio sono state trovate venti paia di scarpe taglia 42 e venti di taglia 43

-Verosimiglianza:
Il successo predittivo dell’ipotesi T nei riguardi di E è molto maggiore di quello dell’ipotesi C. Sempronio dovrà quindi attribuire all’ipotesi T una verosimiglianza molto maggiore di quella attribuita a C

Data l’uguaglianza delle probabilità iniziali di T e C, le probabilità finali delle due ipotesi dipenderanno solo dalle loro verosimiglianze: più precisamente, le probabilità finali si accresceranno al crescere di tali verosimiglianze. Quindi, anche questa volta, Sempronio dovrà attribuire a T una probabilità finale di gran lunga maggiore di quella attribuita a C.

Question 26

Riporta un esempio che spieghi il seguente principio: “la probabilità finale di un’ipotesi si accresce al crescere dell’imprevedibilità iniziale dell’evidenza”

Answer 26

-Ipotesi:
T ≡ Il colpevole del primo omicidio è Tizio
C ≡ Il colpevole del secondo omicidio è Caio

-Evidenza E:
Nel primo omicidio, l’evidenza E1 è data dal ritrovamento di impronte lasciate da scarpe taglia 43; nel secondo omicidio, l’evidenza E2 è data dal ritrovamento di tracce di sangue sicuramente lasciate dal colpevole. In entrambi i casi l’evidenza è perfettamente compatibile con gli indagati

-Probabilità iniziale:
Sempronio sa che i due indagati sono incensurati: di conseguenza, attribuisce uguale probabilità iniziale alle ipotesi T e C

-Verosimiglianza:
La verosimiglianza di T sulla base di E1 dovrà quindi essere uguale a quella di C sulla base di E2

A dispetto della parità tra le probabilità iniziali e le verosimiglianze di T e C, Sempronio può operare una forte discriminazione tra le due ipotesi. Infatti, il 30% degli uomini indossa scarpe di taglia 43, mentre ci sono 10 milioni di tipi di DNA. Data l’uguaglianza delle probabilità iniziali e delle verosimiglianze di T e C, le probabilità finali delle due ipotesi dipenderà solo dai diversi gradi di imprevedibilità iniziale delle evidenze E1 ed E2: più precisamente, le probabilità finali si accresceranno al crescere di tali gradi di imprevedibilità. Ancora una volta, Sempronio dovrà quindi attribuire a C una probabilità finale di gran lunga maggiore di quella attribuita a T.

Question 27

Riporta l’esempio del medico Sempronio nell’applicazione del teorema di Bayes.

Answer 27

Sempronio deve determinare la probabilità finale dell’ipotesi che la paziente abbia un cancro al seno.

-Probabilità iniziale:
cancro= 0.01
non cancro= 0.99

-Verosimiglianze:
Probabilità relativa che il referto risulti correttamente positivo è 0.792
Probabilità relativa che il referto risulti correttamente negativo è 0.904
Probabilità relativa che il referto risulti erroneamente positivo è 0.096 (1 − 0,904 = 0,096)

-Evidenza E:
Il referto risulta positivo.

-Applicando il teorema di Bayes:
𝑝(𝑎|𝑏) = 𝑝(𝑏|𝑎)𝑝(𝑎) / 𝑝(𝑎)𝑝(𝑏|𝑎) + 𝑝(non a)𝑝(𝑏|non a)

𝑝(𝐶𝑎|𝑃𝑜𝑠) = 0,792 × 0,01 / 0,792 × 0,01 + 0,096 × 0,99 ≅ 0,077

Moltiplichiamo la probabilità che il referto risulti correttamente positivo con la probabilità iniziale che il nodulo fosse cancro;
diviso la probabilità che il referto risulti correttamente positivo moltiplicato alla probabilità iniziale che il nodulo fosse cancro,
+ la probabilità che il referto risulti erroneamente positivo moltiplicato alla probabilità iniziale che il nodulo non fosse cancro

sulla base all’esito positivo della mammografia, Sempronio dovrebbe attribuire all’ipotesi che la paziente abbia il cancro una probabilità finale leggermente inferiore a 0,08, cioè all’8%