Matrices

Question 1

¿Qué es una matriz?

Answer 1

Es un cuadro ordenado de elementos (reales, complejos, letras, funciones, etc.) distribuidos en filas y columnas.

Question 2

¿Cómo se indica el elemento que ocupa la fila i y la columna j?

Answer 2

Se lo denota como a{ij}

Question 3

¿Qué es el orden o dimensión de una matriz?

Answer 3

Es el número de filas “m” por el número de columnas “n”: se dice que la matriz es de orden “m x n”.

Question 4

¿Qué es una matriz fila?

Answer 4

Una matriz con una sola fila

Question 5

¿Qué es una matriz columna?

Answer 5

Una matriz con una sola columna

Question 6

¿Qué es una matriz cuadrada?

Answer 6

Una matriz con igual número de filas y columnas: “m = n”.

Question 7

¿Qué es una matriz rectangular?

Answer 7

Una matriz con diferente número de filas y columnas. Puede ser horizontal (n > m) o vertical (m > n).

Question 8

¿Qué es una matriz transpuesta?

Answer 8

Es una matriz que se obtiene intercambiando filas por columnas (A^T){ij} = A{ji}.

Question 9

¿Qué propiedades cumple la transposición?

Answer 9

1- (A^T)^T = A

2- (A + B)^T = A^T + B^T

3- (AB)^T = B^T A^T

Question 10

¿Qué es la traza de una matriz cuadrada?

Answer 10

Es la suma de los elementos de la diagonal principal.

Question 11

¿Qué es una matriz diagonal?

Answer 11

Matriz cuadrada con ceros fuera de la diagonal principal

Question 12

¿Qué es una matriz escalar?

Answer 12

Matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales

Question 13

¿Qué es la matriz identidad?

Answer 13

Matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Question 14

¿Qué es una matriz simétrica?

Answer 14

Matriz cuadrada donde A = A^T

Question 15

¿Qué es una matriz antisimétrica?

Answer 15

Matriz cuadrada donde A = -A^T, lo que implica que los elementos de la diagonal son 0.

Question 16

¿Qué propiedades tiene la suma o resta con su transpuesta?

Answer 16

• A + A^T es simétrica
• A - A^T es antisimétrica
• Toda matriz cuadrada puede escribirse como suma de una simétrica y una antisimétrica

Question 17

¿Qué es una matriz ortogonal?

Answer 17

Matriz cuadrada donde A^{-1} = A^T, lo que implica que A . A^T = I.

Question 18

¿Qué es una matriz triangular superior?

Answer 18

Matriz cuadrada con ceros debajo de la diagonal principal

Question 19

¿Qué es una matriz triangular inferior?

Answer 19

Matriz cuadrada con ceros encima de la diagonal principal

Question 20

¿Qué es una matriz escalonada?

Answer 20

Matriz en la que cada fila no nula comienza más a la derecha que la anterior y las filas nulas están al final.

Question 21

¿Cuándo dos matrices son iguales?

Answer 21

Cuando tienen el mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales.

Question 22

¿Qué condición deben cumplir dos matrices para poder sumarse?

Answer 22

Deben tener el mismo orden.

Question 23

¿Qué es la matriz nula?

Answer 23

Matriz cuyos elementos son todos ceros.

Question 24

¿Qué propiedades tiene la suma de matrices?

Answer 24

1. Clausura;
2. Conmutativa;
3. Asociativa;
4. Existencia de elemento neutro (matriz nula);
5. Existencia de opuesto.

Question 25

¿Qué propiedades tiene la multiplicación por escalar?

Answer 25

1. λA pertenece a R Clausura 4. (\λ1 λ2)A = λ(λ2 A); Asociativa 2. λ(A + B) = λA + λB; Distributiva 3. (λ1+ λ2)A = λ1 A + λ2 A; Distributiva 5. 1 . A = A. Elemento Neutro 6. (λA)^T = λ . A^T; Prop. Transpuesta

Question 26

¿Cuándo se puede multiplicar una matriz A mxp por una B pxq?

Answer 26

Cuando el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Question 27

¿El producto de matrices es conmutativo?

Answer 27

En general, no

Question 28

¿Qué propiedad se cumple en el producto de matrices?

Answer 28

No Conmutatividad Asociativa Distributiva Producto nulo sin factores nulos Elemento Absorbente Escalar en el producto Transpuesta del producto

Question 29

¿Qué sucede si A.B = 0 y A != 0 ; B != 0?

Answer 29

Que el producto puede ser la matriz nula aun si ambos factores no lo son.

Question 30

¿Qué es una matriz inversa?

Answer 30

Es una matriz A^{-1} tal que A . A^{-1} = A^{-1} . A = I

Question 31

¿Cuándo una matriz es invertible?

Answer 31

Si sus filas (o columnas) son linealmente independientes.

Question 32

¿Qué propiedades tiene la matriz inversa?

Answer 32

1. A . A^{-1} = A^{-1} . A = I (Identidad) 2. (A . B)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} (Producto) 3. (A^n) = A . A . n veces -> A^-n (Potencia Negativa) 4. (A^n)^{-1} = (A^{-1})^n (Potencia Positiva)} 5. (A^{-1})^{-1} = A (Doble Inversa) 6. (m. A)^{-1} = 1/m . A^{-1} (Escalar por matriz)

Question 33

¿Qué operaciones elementales se pueden hacer sobre las filas?

Answer 33

1. Multiplicar una fila por un escalar; 2. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar; 3. Intercambiar dos filas.

Question 34

¿Qué es una matriz reducida por filas?

Answer 34

Una matriz escalonada donde: * Cada fila no nula comienza con un 1 (pivote); * En la columna del pivote, los demás elementos son ceros; * Las filas nulas están al final.

Question 35

¿Qué es una matriz elemental?

Answer 35

Es una matriz obtenida al aplicar una sola operación elemental de fila a la identidad.

Question 36

¿Qué es una matriz equivalente por filas?

Answer 36

Una que puede obtenerse de otra mediante operaciones elementales. Ambas tienen la misma matriz reducida.

Question 37

¿Qué es el rango de una matriz?

Answer 37

Es la cantidad máxima de filas (o columnas) linealmente independientes.

Question 38

¿Cómo se determina el rango?

Answer 38

Llevando la matriz a forma escalonada y contando el número de filas no nulas.