Sistemas de Ecuaciones Lineales Flashcards
Unidad 4 (18 cards)
¿Que es un Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)?
Es un conjunto de ecuaciones que se puede escribir como A · X = B, con A una matriz de coeficientes, X un vector de incógnitas y B un vector de términos independientes.
¿Como se clasifican los SEL segun sus soluciones?
- SCD (Solucion unica: ( r(MP) = r(MA) = n )).
- SCI (Infinitas soluciones: ( r(MP) = r(MA) < n )).
- SI (Sin solucion: ( r(MP) \neq r(MA) )).
¿Que establece el Teorema de Rouche-Frobenius?
“Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales admita solución, que el
rango de la matriz principal y el de la matriz ampliada sean iguales”
¿Que es un sistema homogeneo?
SEL donde todos los terminos independientes son cero (( Ax = 0 )). Siempre tiene al menos la solucion trivial (( x_i = 0 )).
¿Que es un sistema no homogeneo?
SEL donde al menos un termino independiente es distinto de cero (( Ax = B )). Puede ser SCD, SCI o SI.
¿Por que todo sistema homogeneo tiene solucion?
Porque x1 = x2 = … = xn = 0 (solucion trivial) siempre satisface Ax = 0
¿Cuando un sistema homogeneo tiene infinitas soluciones?
Cuando ( r(MP) < n ) (n = numero de incognitas). Ademas de la trivial, existen soluciones no triviales.
¿Que es la matriz ampliada (MA))?
Matriz que combina la matriz principal (( MP )) con la columna de terminos independientes (( B )): ( MA = [MP|B] ).
¿Que es el rango de una matriz?
Numero maximo de filas/columnas linealmente independientes. Se calcula reduciendo la matriz a forma escalonada.
¿Que es un SEL cuadrado?
Sistema donde el numero de ecuaciones es igual al de incognitas (( m = n )). Ejemplo: 3 ecuaciones y 3 incognitas.
¿Cuales son los pasos del Metodo de Gauss?
- Escribir la matriz ampliada.
- Reducir a forma escalonada.
- Clasificar el sistema (SCD/SCI/SI).
- Despejar incognitas o parametrizar.
¿Cual es la diferencia entre Gauss y Gauss-Jordan?
- Gauss: Reduce la matriz a forma escalonada.
- Gauss-Jordan: Reduce a forma escalonada reducida (unos en diagonal y ceros arriba/abajo).
¿Cuando se aplica el Metodo de Cramer?
Solo para SEL cuadrados con ( \det(A) \neq 0 ). Solucion: ( x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} ), donde ( A_i ) es ( A ) con la columna ( i ) reemplazada por ( B ).
¿Que condicion debe cumplir A para usar matrices inversas?
Debe ser cuadrada y ( \det(A) \neq 0 ). La solucion es ( X = A^{-1} \cdot B ).
¿Como se expresa la solucion general de un SCI?
En terminos de parametros libres. Ejemplo: ( (x_1, x_2) = (3 + 2t, t) ), donde ( t ) es un parametro real.
¿Como se parametriza un SCI?
- Identificar variables libres.
- Despejar variables principales en funcion de las libres.
Ejemplo: ( x_1 = 5 - 3t ), ( x_2 = t ).
¿Que indica que un sistema sea incompatible (SI)?
Que no existe solucion porque ( r(MP) \neq r(MA) ). Ejemplo: ( 0x_1 + 0x_2 = 5 ) es una contradiccion.
¿Que pasa si det(A) = 0 en Cramer?
El sistema puede ser SCI (si ( r(MP) = r(MA) )) o SI (si ( r(MP) \neq r(MA) )). No aplica Cramer.
