Probabilidad

Question 1

¿Qué es un conjunto?

Answer 1

Es una colección de objetos y se detona con mayúsculas (A,B,C..)
Un conjunto vacío se detona con ∅

Question 2

¿Cómo se dice que x es elemento del conjunto A?

Answer 2

x∈A

Question 3

¿Cómo se escribe un conjunto corto?

Answer 3

x= {1,2,3} Entre llaves y con comas

Question 4

Ejemplos de conjuntos con más contenido

Answer 4

{x∈R: x>=0}
{n² : n∈N}

Question 5

¿Qué es el complemento relativo?

Answer 5

El complemento de un conjunto A relativo es el conjunto de todo el espacio muestral que no esta en A. A complemento = { x ∈ E : x ∉ A }

Question 6

Cómo se define la unión de dos conjuntos

Answer 6

Conjunto de todos los elementos que están presentes en el conjunto A y el conjunto B o ambos elementos de A y B juntos

A ∪ B = {x: x ∈ A v x ∈ B}., donde v significa (ó) y es una disyunción

Question 7

Cómo se define la intersección de dos conjuntos

Answer 7

Es el conjunto de elementos que son comunes a cada conjunto.

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}., donde ∧ significa ( y ), es decir el elemento debe estar en A y B

Question 8

¿Cómo se le denomina a un conjunto sin intersección?

Answer 8

Cuando la intersección es vacía se llaman Disjuntos A ∩ B =∅

Question 9

¿Cómo se expresa la diferencia de dos conjuntos?

Answer 9

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A-B formado por los elementos de A que no son elementos de B.

A \ B = { x ∈ E: x ∈ A ∧ x ∉ B }

Question 10

Si A = El conjunto de los números naturales impares = {1,3,5,7,9,11,13,..}
y B = El conjunto de los múltiplos de 3 = {3,6,9,12,15,…}

¿Cuál es la diferencia A \ B ?

Answer 10

A-B = el conjunto de los impares que no son múltiplos de 3 = {1,5,7,11,13,17,19,23,…}

Question 11

Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él

Ley del doble complemento

Answer 11

(A’)’ = A

Question 12

Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él

Ley de idempotencia

Answer 12

Para la disyunción (OR):
A∨A=A

Para la conjunción (AND):
A∧A=A

Question 13

Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él

Ley conmutativa

Answer 13

Conmutatividad de la disyunción (OR):
A∨B=B∨A

Conmutatividad de la conjunción (AND):
A∧B=B∧A

Question 14

Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él

Ley asociativa

Answer 14

Asociatividad de la disyunción (OR):
(A∨B)∨C=A∨(B∨C)

Asociatividad de la conjunción (AND):
(A∧B)∧C=A∧(B∧C)

Question 15

El vacio y el conjunto E neutros en unión e intersección (SOLO EN ESOS )

Answer 15

Av∅ = A

A∧E=A

Question 16

Conjunto E, Dominante en Unión e intersección (sOLO EN ESOS)

Answer 16

A∧∅ = A

AvE=E

Question 17

Ley del complemento

Answer 17

AvA’ = E
A∧A’ = ∅

Question 18

Ley distributiva

Answer 18

Distribución del OR sobre el AND:
A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)

Distribución del AND sobre el OR:
A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)

Question 19

Ley de la absorción

Answer 19

Absorción del OR:
A∨(A∧B)=A
Si A ya está presente en la expresión, el término adicional
A∧B no afecta el resultado.

Absorción del AND:
A∧(A∨B)=A

Question 20

Ley de Morgan

Answer 20

¬(A∨B)=¬A∧¬B

¬(A∧B)=¬A∨¬B

Question 21

Definición de experimento aleatorio

Answer 21

Es cualquier experimento donde es imposible predecir el resultado.

Question 22

Espacio muestral

Answer 22

Conjunto de posibles resultados de un experimento Ω

Question 23

Evento

Answer 23

Probabilidad es calculada en subconjuntos del espacio.

El conjunto de todos los eventos es 2^Ω

Question 24

Encuentra el espacio muestral y el evento de lanzar una moneda al aire

Answer 24

Ω={A,S}
2^Ω={{∅},{A,S},{A}, {S}}

Question 25

Funcion de probabilida, la probabilidad es de un evento (A)

Answer 25

P(A)= ∣A∣ / ∣Ω∣

Question 26

Cual es el valor de P(Ω)

Answer 26

1

Question 27

Si E =2^Ω

Answer 27

P(E^c)=1-P(E)

Question 28

Si E, F pertenecen a 2^Ω

Answer 28

P(EvF)= P(E)+P(F)

Question 29

Cómo es la multiplicación de dos eventos (A,B)

Answer 29

∣AxB∣= ∣A∣ ∣B∣

Question 30

Cual es el calculo de una permutación nPr (n son las variables de mi espacio muestral)

Answer 30

P(n,r)= n! / (n−r)!

Question 31

Si Ω={1,2,3,4} enliste la permutación r=2

Answer 31

4P12= 4! / (4−2)! =4! / 2! = 4×3×2! / 2! =12

Question 32

¿Qué es una ordenación ?

Answer 32

Un número de arreglos de tamaño r que se puede formar de un conjunto de n objetos. -Si hay repeticion -Si importa el orden de los elementos n O r

Question 33

¿Qué es una permutación?

Answer 33

Un número de arreglo tamaño r , se puede formar de un conjunto de n objetos -No hay repeticiones y también importa el orden nPr

Question 34

¿Cual es el calculo de una ordenación ?

Answer 34

nOr = n^r

Question 35

¿Qué es una combinación?

Answer 35

Todas las combinaciones -Cuentan una vez cualquier ordenamiento -No importa el orden de los elementos C(n,r)= n! / r!(n−r)! Donde: 𝑛 n es el número total de elementos. 𝑟 r es el número de elementos que se seleccionan. ! ! representa el factorial de un número.

Question 36

¿Cuál es la formula de la probabilidad condicional? P(A|B)

Answer 36

P(A∣B)=P(A∩B) / P(B) Donde P(A∩B) es la probabilidad de que ambos eventos ocurran. P(B) es la probabilidad del evento P(B)>0).

Question 37

¿Qué es una variable aleatoria continua?

Answer 37

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales. A diferencia de las discretas, que solo pueden tomar valores específicos, las continuas tienen infinitos valores posibles dentro de un rango determinado.

Question 38

Ejemplos de variables aleatorias continuas

Answer 38

Altura de una persona (Distribución Normal) Temperatura diaria (Distribución Normal) Peso de un paquete (Distribución Uniforme)

Question 39

Función de Densidad de Probabilidad (FDP)

Answer 39

La función de densidad de probabilidad (f(x)) describe la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor dentro de un rango específico. La propiedad más importante de la FDP es que el área bajo la curva es 1. (En el video hay una explicación rápida y la fórmula) https://youtu.be/Q6ZbpyU1OYw?si=xIf-FQ36Eex_N9B5

Question 40

Función de Distribución Acumulativa (CDF)

Answer 40

La función de distribución acumulativa (F(x)) da la probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a un valor específico x. Matemáticamente, es la integral de la PDF desde −∞ hasta x. (En el video hay una explicación rápida y la fórmula) [Video](https://youtu.be/tXZ_pFKnUuw?si=wwSmvQsCFGR9EFE_)

Question 41

Determina la función de distribución acumulada 0 si x<= -1 t^2 / 3 si -1<=x<=2 1 si x >=2

Answer 41

debemos de calcular la integral de - infinito a x pero dado el rango es de -1 a x de t^2 ---- La integral de t^2 = t^3 / 9 dt antes de sustituir si sustituimos nos queda x^3 /9 + 1/9

Question 42

Esperanza Matemática (Valor Esperado) N o E(x)

Answer 42

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de todos los posibles valores que puede tomar la variable, según su probabilidad. Sinonimo de media E(X)=∫ ∞ −∞ x⋅f(x)dx

Question 43

Sea x el número de autos utilizados en un dia x dada por x= 0 1 2 3 4 f(x) = 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 | DETERMINA N o E(x)

Answer 43

0(0.2)+1(0.1).....+4(0.1) = 2

Question 44

Varianza

Answer 44

La varianza mide la dispersión de los valores respecto a la media de la variable. Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores y la media. V(X)=∫ ∞ −∞ (x-E(x))^2 ⋅f(x)dx

Question 45

Sea x el número de autos utilizados en un dia x dada por x= 0 1 2 3 4 f(x) = 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

Answer 45

La esperanza de N o E(x) anteriormenteb la resolvimos y fue 2 σ^2= (0-2)^2*0.2 + (1-2)^2*0.1+...+(4-2)^2(0.1)= 1.6

Question 46

Distribución Uniforme X∼U U(a,b) La distribución uniforme se caracteriza por una probabilidad constante en todo el intervalo [a,b].

Answer 46

F(X) = 1 / b-a si x E [a,b] 0 en otro caso

Question 47

Si X∼U(0,2), la Distribución uniforme sería:

Answer 47

1/ (2-0) = 1/2 para 0<=x<=2 Y la probabilidad si necesitamos sacarla ---de que x este entre 0.5 y 1.5 es integramos y sería 1/2 * (1.5−0.5) = 0.5

Question 48

Distribución Normal N(μ,σ ^2 )

Answer 48

https://www.gstatic.com/education/formulas2/553212783/es/normal_distribution.svg donde μ= media σ ^2= varianza

Question 49

Si x es una v.a Con μ= 3 σ ^2= 9 determina la distribución normaal en el rango 2

Answer 49

Determinamos la formula de distribución normal, será una integral de 2 a 5. sustituimos en formula (1/3raiz(2pi) ) * e^-((1/2)(x-3)/3)^2 dx

Question 50

Distribución exponencial

Answer 50

Distribución de probabilidad continua que modela el tiempo entre sucesos en un proceso en el que los sucesos ocurren de forma continua e independiente a una tasa media constante f(x)=λe (elevado a)−λx ,x≥0 donde lambda 1/E(x) https://youtu.be/hraxysjxwlA?si=vSnFzVu7qOar25Qs

Question 51

Distribución de Poisson

Answer 51

Distribución de probabilidad que indica la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo de tiempo o espacio. * La probabilidad de ocurrencia es independiente. * Dos eventos no ocurren al mismo tiempo.