Uso de geometría y topología para ciencia de datos Flashcards
Aplicaciones, Homotopía y homología (45 cards)
¿Cuándo se puede decir que dos vectores son ortogonales?
Si su producto interno da cero.
< u|v > = 0
¿Es cierto que todas las normas provienen de un producto interno?
No todas, es cierto que si se tiene un producto interno, ya esta definida una norma, pero hay normas que no provienen de un producto interno.
¿Cuál de las siguientes opciones no es una norma?
- ∥(x,y)∥ = < x|y> =x∙y=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n donde x=(x_1, x_2,…,x_n ), y=(y_(1, ) y_2, …,y_n)
- ∥f∥ = 〖< f|f >〗^(1/2) donde f:R→R | f es continua en [−1,1]
- ∥(x,y, z)∥ = √(x^2+y^2+z^2 )
- ∥x∥_∞ =máx{|x_1 |, |x_2 |, …, |x_n |}
∥(x,y)∥ = < x|y> =x∙y=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n donde x=(x_1, x_2,…,x_n ), y=(y_(1, ) y_2, …,y_n)
Porque es un producto interno, para ser norma este tiene que ser elevado a la 1/2.
No, el radio (E) siempre tiene que ser un número real
La bola abierta en los números reales (R) con la métrica euclideana son: ___
los intervalos abiertos
¿Cuáles son las bolas abiertas cuando X=R^2 con la métrica euclideana?
Las circunferencias con centro en x_0 y radio E.
¿Para qué sirven las bolas abiertas?
Su función es determinar cuándo un conjunto es abierto
Sea (X, d) un espacio métrico, donde A es un subconjunto de X
¿Cuándo se dice que x0 es un punto interior?
Cuando existe una bola con centro en x0 que se encuentre completamente contenida en A.
Sea (X, d) un espacio métrico y D un subconjunto de X
D es cerrado si __________
el complemento de D es abierto
Existen conjuntos que son abiertos y cerrados al mismo tiempo.
Sea X=R^2 y (x, y) en X arbitrario.
El conjunto {(x, y)} NO es abierto porque _____
no puedes meter una bola en un punto.
Sea X esp. métrico y A_i subconjuntos de X abiertos
Verdadero o falso: la unión arbitraria de abiertos es abierto
Verdadero
Sea X esp. métrico y A_i subconjuntos de X abiertos
Verdadero o falso: la intersección finita de abiertos es abierta
Verdadero
Con la métrica discreta
¿Cuál no es un conjunto homeomorfo a X={5,10}?
* Y={0,1}
* Z={5,10,15}
Z={5,10,15}
porque no tiene la misma cantidad de elementos que X.
Por lo tanto, no hay función inversa biyectiva.
Verdadero o falso: el círculo no es homeomorfo al cuadrado
Falso, existe una función continua con inversa continua.
¿Cuándo un espacio X se denomina disconexo?
Cuando se puede escribir X = u U v, donde u, v son abiertos y su unión es vacía
Es decir, cuando X esta formado por dos partes
¿Cuándo se denomina a un espacio X como conexo?
Cuando X no es disconexo
Que sea un solo pedazo
¿X = R \ {0} es conexo o disconexo y por qué?
R son los números reales
Disconexo, porque
R \ {0} = (-∞,0) U (0,∞)
(-∞,0) ∩ (0,∞) = ∅
¿Cuál de los siguientes espacios no es disconexo?
- X={0,1} con la métrica discreta
- X={(x,y) ∈ R^2 | x≠0}
- El conjunto de los números racionales
- R^4
R^4 es conexo
¿Qué es una cubierta abierta para un espacio métrico X?
Es una colección de abiertos {u_α} de X tales que la unión de todos los conjuntos sean igual a X.
¿Cuándo un espacio métrico es compacto?
Un esp. métrico es compacto si toda cubierta abierta contiene una subcubierta finita.
Se refiere a cubrir el esp. con una cantidad finita de bolas.
Los espacios compactos no se van al infinito.
El teorema de Heine-Borel dice:
Un subespacio métrico X de R^n (con la misma métrica) es compacto si y solo si _____
es cerrado y acotado.
Acotado: que puede ser encerrado en una bola B(0, r) para cierto radio r
¿El intervalo [0,1] contenido en R (reales) es compacto?
Sí,
[0,1]^c = (-∞,0) U (1,∞) es abierto → [0,1] es cerrado y la bola B(0, r) con r >1 encierra a [0,1] → [0,1] es acotado.
∴ [0,1] es compacto
¿R, R^2, R^3, …, R^n son compactos?
NO, porque no hay bola que los contenga → no estan acotados.
∴ No son compactos
¿Por qué M_2(R) No es compacto?
Como M_2(R) ≈ R^4, y R^4 no es compacto
∴ M_2(R) no es compacto.
