SUBESPACIO

Question 1

Condición de subespacio

Answer 1

Un conjunto S ⊂ ℝn es un subespacio de Rn si:
1. 0 ∈ 𝑆
2. 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆
3. 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑐𝑢 ∈ S

Question 2

Subespacios Triviales

Answer 2

Los subespacios de ℝ𝑛, 𝑆 = {𝟎 ∈ ℝ𝑛} y 𝑇 = ℝ𝑛
se denominan 𝑺𝒖𝒃𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐𝒔 𝑻𝒓𝒊𝒗𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔.

Question 3

Subespacios Propios

Answer 3

Cualquier otro subespacio de ℝ𝑛, distinto de {𝟎 ∈ ℝ𝑛} y distinto de ℝ𝒏 se denomina 𝑺𝒖𝒃𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒐.

Question 4

Propiadad de fil y col

Answer 4

Si 𝐴 es una matriz de tamaño 𝑝 × 𝑛, el Espacio Columna de la matriz 𝑨 (𝑐𝑜𝑙(𝐴)) es un subespacio de ℝ𝒑, y, el Espacio Fila de la matriz 𝑨 (𝑓𝑖𝑙(𝐴)) es un subespacio de ℝ𝒏
.

Question 5

Espacio Nulo

Answer 5

Sea A una matriz pxn, el Espacio Nulo de A es el conjunto solución del sistema homogéneo q tiene a la matriz A de coeficientes
v ∈ Rn / A.v=0

Question 6

Propiedad de espacio nulo

Answer 6

Si 𝐴 es una matriz de tamaño 𝑝 × 𝑛, 𝑛𝑢𝑙(𝐴) es un subespacio de ℝ𝑛

Question 7

Base de un subespacio

Answer 7

Sea un conjunto S , un conjunto de vectores {𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑘} es una Base de S, si:
1. gen (𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑘) = S
2. {𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑘} es LI

Question 8

Dimensión

Answer 8

Sea S un subespacio de Rn, se define la Dimensión de S (dim(S)) como:
Si S = {𝟎} entonces la Dimensión de S es cero.
Si S ≠ {𝟎} entonces si Dimensión de S es el cardinal de una cualquiera de sus bases.

Question 9

Propiedad de dimension y fil col

Answer 9

Si 𝐴 es una matriz cualquiera, 𝑑𝑖𝑚(𝑐𝑜𝑙(𝐴)) = 𝑑𝑖𝑚(𝑓𝑖𝑙(𝐴))

Question 10

Def de rabgo

Answer 10

Si 𝐴 es una matriz cualquiera, el Rango de A es el número, denotado como 𝑟(𝐴), definido por 𝑟(𝐴) = 𝑑𝑖𝑚(𝑐𝑜𝑙(𝐴)) = 𝑑𝑖𝑚(𝑓𝑖𝑙(𝐴)).

Question 11

Nulidad

Answer 11

Si 𝐴 es una matriz cualquiera, la Nulidad de A es el número 𝑑𝑖𝑚(𝑛𝑢𝑙(𝐴)).
Es decir 𝑛𝑢𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑(𝐴) = 𝑑𝑖𝑚(𝑛𝑢𝑙(𝐴))