Vorlesung 2

Question 1

1. Wie können Sie die Orientierung eines Körpers im Raum beschreiben?

Answer 1

→ Die Orientierung eines Körpers im Raum kann mit Rotationsmatrizen, Euler-Winkeln (z. B. Z-Y-Z oder X-Y-Z), oder Roll-Pitch-Yaw-Winkeln beschrieben werden. Dabei wird der Körper um verschiedene Achsen gedreht, um die endgültige Orientierung zu erreichen (siehe Folien [29–37]).

Question 2

2. Was ist ein Frame im Kontext der Roboterkinematik?

Answer 2

→ Ein Frame ist ein Koordinatensystem, das die Position und Orientierung eines Objekts (z. B. Endeffektor eines Roboters) im Raum beschreibt – relativ zu einem anderen Referenz-Frame ([4]).

Question 3

3. Nennen Sie einige wichtige Standardframes der Robotik

Answer 3

Base frame {B}

Tool frame {T}

Station frame {S}

Goal frame {G}

(Wrist frame {W})
(Siehe Folie [5]).

Question 4

4. Wie invertieren Sie eine Rotationsmatrix?

Answer 4

Da Rotationsmatrizen orthogonal sind, ist ihre Inverse gleich der Transponierten:
       R⁻¹ = Rᵗ
(Siehe Folie [8]).

Question 5

5. Was ist eine Homogene Transformationsmatrix und wie ist sie aufgebaut?

Answer 5

→
Eine homogene Transformationsmatrix ist eine 4×4-Matrix, die sowohl Translation als auch Rotation beschreibt:T=[
R
0 ///
p
1 ] matris
Dabei ist R eine 3×3-Rotationsmatrix und p ein 3×1-Translationsvektor. (Siehe [11–13]).

Question 6

6. Leiten Sie die drei Basis-Rotationsmatrizen um die Koordinatenachsen x, y und z her.

Answer 6

folie deki matrisler →
Rx(θ):

[
1
0
0
0
cos
⁡
𝜃
−
sin
⁡
𝜃
0
sin
⁡
𝜃
cos
⁡
𝜃
]
​

1
0
0
​

0
cosθ
sinθ
​

0
−sinθ
cosθ
​

​

Ry(θ):

[
cos
⁡
𝜃
0
sin
⁡
𝜃
0
1
0
−
sin
⁡
𝜃
0
cos
⁡
𝜃
]
​

cosθ
0
−sinθ
​

0
1
0
​

sinθ
0
cosθ
​

​

Rz(θ):

[
cos
⁡
𝜃
−
sin
⁡
𝜃
0
sin
⁡
𝜃
cos
⁡
𝜃
0
0
0
1
]
​

cosθ
sinθ
0
​

−sinθ
cosθ
0
​

0
0
1
​

​

(Siehe Folien [14–28]).

Question 7

7. Sie wollen ein Koordinatensystem um seine lokalen Achsen rotieren. Von welcher Seite multiplizieren Sie die jeweilige Rotationsmatrix mit dem Ausgangssystem?

Answer 7

Von der rechten Seite, da die Achsen sich bei jeder Rotation mitdrehen (Folie [35–36]).

Question 8

8. Sie wollen ein Koordinatensystem um die raumfesten Achsen des Weltkoordinatensystems rotieren. Von welcher Seite multiplizieren Sie die Rotationsmatrix mit dem Ausgangssystem?

Answer 8

→ Von der linken Seite, weil die Achsen fix bleiben (Folie [30–32]).

Question 9

9. Wie leiten Sie aus der Definition einer 3-Winkel-Orientierungsbeschreibung die zugehörige Orientierungsmatrix her?

Answer 9

→ Durch sukzessive Multiplikation von Einzel-Rotationen:
Beispiel: X-Y-Z = Rz(γ) · Ry(β) · Rx(α)
Die Winkel beschreiben die Rotation um fixe Achsen, was die resultierende Matrix ergibt (Folie [33–37]).

Question 10

10. Was sind Vor- und Nachteile der verschiedenen Methoden zur Orientierungsbeschreibung?

Answer 10

→
Vorteile:

Euler-Winkel: Intuitive Interpretation (Roll, Pitch, Yaw)

Rotationsmatrizen: Mathematisch stabil, direkt verwendbar in Rechnungen

Homogene Matrizen: Kombination von Translation & Rotation

Nachteile:

Euler-Winkel: Mehrdeutigkeit, Gimbal Lock

Rotationsmatrizen: 9 Elemente für 3 Informationen

Homogene Matrizen: Rechenintensiver
(Siehe [42–43]).