3 - Algebraické struktury (grupy, okruhy, obory integrity a tělesa, svazy a Boolovy algebry, univerzální algebry)

Question 1

Algebraické struktury

Answer 1

Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná množina je vzhledem k těmto operacím uzavřená, tzn. že výsledkem operace nad prvky této množiny je vždy také prvek této množiny.

Příklady algebraických struktur
• (N; +) - množina přirozených čísel s operací sčítání.
• (N; .) - množina přirozených čísel s operací násobení.
• (N; +, .) - množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.
• Booleovy algebry, grupy, okruhy, tělesa, vektorové prostory a svazy jsou algebraické struktury.
Ještě nějaké protipříklady - tj. následující struktury nejsou algebraické:
• (N; -) - množina přirozených čísel není vzhledem k operaci odčítání uzavřená. Např. 2 ∈ N, 3 ∈ N, ale 2-3 ∉ N.
• (N; :) - množina přirozených čísel není vzhledem k operaci dělení uzavřená. Např. 5 ∈ N, 3 ∈ N, ale 5:3 ∉ N.

Question 2

Typy operací

Answer 2

Asociativní
Nezáleží na tom, jestli použijeme závorky a v jakém pořadí budeme daný výraz počítat. Příklady asociativních binárních operací je sčítání (+) a násobení (*) reálných čísel.
• (x∘y)∘z=x∘(y∘z)

Komutativní

U komutativních operací nezáleží na pořadí operandů. Příklady takových operací je zase + a *. Konkatenace řetězců není komutativní. Stejně tak odčítání.
• x∘y=y∘x

Distributivní (* distributivní nad +)
Distributivita je vlastnost binární operace, vůči jiné binární operaci. Tedy distributivní operaci můžeme distribuovat přes jinou operaci (např. roznásobení čísel).
• x(y + z) = xy + xz
• (y + z)x = yx + zx

Operace s dělením

Pokud A není prázdná a operace ∘ je asociativní tak plati:
• ∘ je operace s dělěním
• existuje neutrální prvek a každý prvek x∈A je invertibilní, tzn.

Operace s krácením
	• a∘x_1=a∘x_2⇒x_1=x_2
	• x_1∘a=x_2∘a⇒x_1=x_2
	Rovnice a∘x=b a y∘a=b mají v operaci s krácením maximálně jedno řešení. Pokud je operace i asociativní tak mají právě jedno řešení.
	Pro konečnou množinu A platí: ∘ je operace s dělením ⇔ ∘ je operace s krácením
Absorpční zákony
(viz Svazy dole)
	• a∩(a∪b)=a
	• a∪(a∩b)=a

Question 3

Univerzální algebra

Answer 3

U≔(A,(ω_i )(i∈I)) (množina hodnot, operace, operace, …)
A je množina hodnot, I je množina indexů, ωi je ni-nární operace na A pro i∈I
Typ algebry
U≔(A,(n_i )(i∈I))
Popisuje typy operací v algebře. Např.: (2, 2, 1) je algebra s dvěma binárními a jednou unární operací

Question 4

Grupy

Answer 4

Grupy jsou algebry s jednou binární operací (a případně několika unárními operacemi)

Grupa formalizuje koncept symetrie.

Grupoid je algebra (A, ·) typu (2), operace mus ́ı by ́t uzavˇrena na nosn ́e mnoˇzinˇe.
Pologrupa je grupoid s asociativn ́ı operac ́ı ·.
Monoid je pologrupa s neutr ́aln ́ım prvkem e . . . (A, ·, e).
Grupa je monoid se vˇsemi prvky invertibiln ́ımi . . . (A, ·, e,−1 ).
Komutativn ́ı (abelovsk ́a) grupa je grupa jej ́ıˇz operace · je komutativn ́ı.

Question 5

Okruhy, obory integrity, tělesa, pole

Answer 5

Okruhy atd. jsou algebry s dvěma binárními operacemi + a * (a případně několika unárními operacemi)
• Operace + tvoří abelovskou grupu (splňuje axiomy Abelovské grupy)
• nulový prvek = 0 = neutrální prvek pro operaci +
• jednotkový prvek = 1 = neutrální prvek pro operaci *
• Operace * je distributivní nad + (* splňuje axiomy pologrupy)

Question 6

Svazy a Booleovy algebry

Answer 6

Definice č. 1: Svaz je uspořádaná množina, která je doplněna o vlastnost, že pro každé dva prvky z daného svazu musí existovat supremum a infimum, které také náleží danému svazu.
Definice č. 2: Algebry s dvěma binárními operacemi ∩ a ∪ (a případně několika unárními operacemi)
• Obě operace mají stejné vlastnosti - binární operace, označují supremum a infimum dvouprvkové množiny.
• nulový prvek = 0 = neutrální prvek pro operaci ∪
• jednotkový prvek = 1 = neutrální prvek pro operaci ∩
• Komplementární prvky: a∩a^′=0 a a∪a^′=1
Jednotkový prvek a nulový prvek jsou komplementární: 0^′=1, 1^′=0

Question 7

Booleova algebra

Answer 7

booleova algebra - Dvouprvková algebra je algebra nad množinou A = {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem, tj. 0 a 1 jsou vzájemně komplementární a protože platí 0 < 1, průsek (infimum) je menší z operandů, spojení (supremum) je větší z operandů

Question 8

Relace uspořádání a svazy

Answer 8

Lineárně uspořádaná množina (řetězec)
částečně uspořádaná množina pro kterou platí srovnatelnost (u každých dvou prvků lze rozhodnout, který “je větší”)

Nejmenší/největší prvek množiny
všechny ostatní prvky množiny jsou větší/menší než nejmenší/největší prvek množiny
• existuje vždy nejvýše jeden nejmenší/největší prvek

Maximální/minimální prvek množiny
žádný prvek není větší/menší než maximální/minimální prvek
• může jich být více

Dolní/horní závora množiny M⊂N
prvek z nad-množiny N, který je menší/větší než všechny ostatní prvky podmnožiny M
• nejmenší/největší prvek je dolní/horní závora
• interval (0,1) má dolní závoru například čísla -2, 0, -88

Infimum inf(M)
	největší dolní závora
		○  Infimum je zaváděno jako alternativa k pojmu nejmenší prvek
	• (0,1), <0,1>, (0,1> - tyto všechny intervaly mají infimum rovno číslu 0.

Supremum sup(M)
	nejmenší horní závora
		○ omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají největší prvek, ale mají supremum
	• (0,1), <0,1>, (0,1> - tyto všechny intervaly mají supremum rovno číslu 1.