4 - Základní algebraické metody (podalgebry, homomorfismy, přímé součiny, kongruence a faktorové algebry, normální podgrupy a ideály okruhů)

Question 1

Podalgebra

Answer 1

Podalgebra
• Množina hodnot podalgebry je podmnožinou hodnot nad-algebry.
• Všechny operace jsou na množině hodnot podalgebry uzavřené (tj. jejich výsledky spadají do stejné podmnožiny hodnot jako vstupy)
• Je-li v algebře definována vlastnost nějaké operace pomocí nějakého zákona (distributivní, asociativní, …) pak má tato operace v podalgebře tuto vlastnost také.
• Průnik podalgeber je také podalgebra

Podalgebra generovaná množinou S (značíme 〈S〉)
• průnik všech podalgeber, které obsahují množinu S
• S nazýváme systém generátorů
Cyklická grupa
• ∃x∈G:G=〈x〉
tj. existuje prvek, který generuje celou algebru.

Question 2

Rozklad na třídy ekvivalence

Answer 2

Rozklad na třídy ekvivalence
Množinu M rozdělíme na podmnožiny (třídy ekvivalence) tak, že:
• Jsou po dvou disjunktní (tj., žádné dvě množiny nemají společný prvek).
• Jejich sjednocení tvoří původní množinu (tj. žádný prvek se neztratí).
• Prvky každé podmnožiny jsou vzájemně ekvivalentní.

Rozklad na třídy ekvivalence
• rozklad množiny M je množina P⊆2^M, pro níž platí:
• ∅∉P,⋃P=M a množiny v P jsou po dvou rozdílné.

Třída ekvivalence prvku a (značíme [a]_π) = podmnožina ve které jsou prvky ekvivalentní s a
je definována jako [a]_π={b∈M|bπa}, kde π je relace ekvivalence na M.
• tj. podmnožina ve které jsou prvky ekvivalentní s a
• Jelikož π je relace ekvivalence, tak může být i kongruence (speciální případ relace ekvivalence)

Faktorová množina množiny M podle π (značíme M/π) = množina všech tříd ekvivalence
je definována jako M/π={[a]_π |a∈M}. (M/π je rozklad na třídy ekvivalence)
tj. množina všech tříd ekvivalence

Question 3

Ekvivalence prvku a faktorová množina

Answer 3

Třída ekvivalence prvku a (značíme [a]_π)
je definována jako [a]_π={b∈M|bπa}, kde π je relace ekvivalence na M.
• tj. podmnožina ve které jsou prvky ekvivalentní s a
• Jelikož π je relace ekvivalence, tak může být i kongruence (speciální případ relace ekvivalence)

Faktorová množina množiny M podle π (značíme M/π)
je definována jako M/π={[a]_π |a∈M}. (M/π je rozklad na třídy ekvivalence)
• tj. množina všech tříd ekvivalence

Question 4

Typy homomorfismů

Answer 4

Homomorfismus - Je zobrazení jedné algebry na jinou algebru stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu, Pokud přeznačení provedeme před nebo po provedení operace dostáváme stejné výsledky (např.: f(a+b)=f(a)+f(b))

• Izomorfismus - bijektivní zobrazení (jedna jednoznačnost)
• Endomorfismus - zobrazuje se na stejnou množinu prvků
• Automorfismus - izomorfismus + endomorfismus tj. zobrazení jeden na jeden do stejné množiny - jde tedy jen o přeházení prvků
• Epimorfismus - surjektivní (každý prvek cílové množiny má alespoň jeden vzor)
○ zobrazuje algebru na její faktorovou algebru
• Monomorfismus - injektivní (prosté) (různé prvky mají různé obrazy, jeden obraz maximálně jeden vzor)

Question 5

Kongruence

Answer 5

relace ekvivalence u které platí, že pokud jsou parametry operace ekvivalentní, jsou i výsledky ekvivalentní;

Kongruence je algebraický pojem označující ekvivalenci na algebře, která je slučitelná se všemi operacemi na této algebře
(tedy například, pokud jsou tři páry prvků ekvivalentní a výsledky nějaké operace na těchto párech jsou také ekvivalentní, pak existuje pro tyto páry kongruence).

g1 ≡ g2 ∧ h1 ≡ h2 ⇒ g1 ★ h1 ≡ g2 ★ h2

Příklad
Ekvivalence kladných a záporných čísel je kongruence pro násobení. Platí: součin dvou kladných čísel je vždy kladné, součin dvou záporných je kladné, součin kladného i záporného je záporný

Question 6

Idempotence

Answer 6

Operace je idempotentní, pokud jejím opakovaným použitím na nějaký vstup vznikne stejný výstup, jako vznikne jediným použitím dané operace

f(x)=f(f(x)) (např. A∪A∪A∪A=A)

Question 7

Faktorová grupa

Answer 7

Faktorgrupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence

surjektivní homomorfismus, který zobrazuje algebru na její faktorovou algebru

Poznámky:
faktorová algebra typických algeber je algebra stejného typu. Výjimkou je obor integrity u kterého to neplatí (0 dělá problémy, protože pro ni není definováno dělení).

Question 8

Přímé součiny algeber

Answer 8

Přímý součin
• lze provést pro n algeber téhož typu
• množina hodnot je kartézský součin množin hodnot jednotlivých algeber A = A_1×A_2×…×A_n (tj. hodnoty jsou n-tice, kde n-tý prvek je z množiny hodnot n-té algebry)
• operace přímého součinu jsou definovány nad n-ticemi hodnot tak, že výsledek operace je n-tice výsledků příslušných operací jednotlivých algeber nad příslušnými prvky n-tic (n-tý prvek výsledku se rovná výsledku provedení příslušné operace n-té algebry nad n-tými prvky vstupu)

Příklad
• U_1=(A_1,+),U_2=(A_2,∗)
• U_1×U_2=(A_1×A_2,∘) kde operace ∘ je definována jako (a_1,a_2 )∘(b_1,b_2 )=(a_1+b_1,a_2∗b_2)

Poznámky
Přímé součiny typických algeber (viz Algebraické struktury) jsou algebry stejného typu kromě oboru integrity, kde to neplatí, protože (0,1) * (1,0) = (0,0)

Question 9

Normální podgrupa

Answer 9

Normální podgrupa P grupy (G ,⋅) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí ∀g∈G g⋅P≡{g⋅p,p∈P}={p⋅g,p∈P} ≡P⋅g

V abstraktní algebře je normální podgrupa podgrupou, která je neměnná ve spojení se členy skupiny, které je součástí. Jinými slovy, podgrupa H grupy G je v G normální jen potud, pokud gH=Hg pro všechna g v G.

Question 10

Ideály okruhů

Answer 10

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.
Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného okruhu.

• V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
• V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
	○ 6−2∈Z%2, protože prostě 2 je sudé a pokud odečteme sudé číslo od jiného sudého čísla, tak vždy dostaneme sudé číslo. Hlavní ideál v teorii okruhů je takový ideál I v okruhu R, který lze generovat jediným prvkem a z okruhu R.