5 - Obory integrity a dělitelnost (okruhy polynomů, pravidla dělitelnosti, Gaussovy a Eukleidovy okruhy)

Question 1

Obor integrity

Answer 1

Obor integrity je komutativní okruh R s jednotkovým prvkem, pro který navíc platí axiom
• ∀a∈R, a≠0 ∀b∈R,b≠0 a⋅b≠0 (Oborem integrity je tedy každý komutativní okruh s jednotkovým prvkem, ve kterém nejsou netriviální dělitelé nuly.)
Trošku jiný pohled na obor integity je, že se skládá z komutativní (Abelovské) grupy a monoidu: (M, ⊕, ⊗)
• (M, ⊕) je komutativní (Abelovská) grupa
• (M, ⊗) je monoid
a ⊗ b ≠ „0“

Question 2

Okruhy polynomů

Answer 2

Okruh polynomů je takový okruh, který je tvořen množinou polynomů s koeficienty z nějakého jiného okruhu. Jedná se o důležitý algebraický koncept a lze se s ním setkat například při konstrukci rozkladových těles nebo v Hilbertově větě o bázi.

Zachovává vztahy

Prostě 4a³ + 8,2a² − 5 je polynom neurčité a nad R.

Question 3

Dělitelnost

Answer 3

Prvek a je dělitelný dělitelem b (značíme b|a) právě tehdy pokud platí: ∃c∈I:a=bc

Question 4

Pravidla dělitelnosti

Answer 4

Prvek a je dělitelný b (značíme b|a) pokud existuje nějaké c kdy a = b ⊗ c.
• a|„0“ („0“ lze dělit čímkoliv)
• „1“|a (cokoli je dělitelné „1“)
• a|a (cokoli je dělitelné samo sebou)
• a|b ∧ b|c ⇒ a|c (dělitel mého dělitele je i můj dělitel)
• a|b ⇒ a|bc (můj dělitel je i dělitel mého násobku)
• a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c) (součet je dělitelný společným dělitelem sčítanců)
• c ≠ „0“, a|b ⇒ ac|bc (vynásobením dělence i dělitele stejným nenulovým číslem se dělitelnost nemění)
• a|b ∧ c|d ⇒ ac|bd (vynásobením dělenců mezi sebou a dělitelů mezi sebou se dělitelnost nemění)
• a|b ⇒ aⁿ|bⁿ (umocnění dělence i dělitele stejným číslem dělitelnost nemění)

• Dělitel „1“ se označuje jako jednotka. Množinu všech jednotek oboru integrity I značíme E(I).
• Asociované prvky se liší jen vynásobením některou jednotkou. Asociované prvky jsou navzájem svými děliteli.
• Triviální dělitelé prvku a jsou všechny jednotky a všechny prvky asociované s prvkem a.
• Vlastní dělitelé jsou všichni netriviální dělitelé.
• Ireducibilní prvek má pouze triviální dělitele („1“ a sám sebe, např. prvočísla)
	○ Ireducibilní = "nerozložitelný". Platí to i pro polynomy, které nelze rozložit (ireducibilní polynomy).
• Pokud plati: a|(b ⊗ c) ⇒ a|b ∨ a|c pak je a prvočinitel.

Question 5

Prvočinitel

Answer 5

Název prvočinitel vznikl z názvů prvočíslo a činitel. Prvočinitel je prvočíslo, které dělí nějaké číslo. Každé složené číslo jde napsat jako součin prvočinitelů.

Question 6

Gaussovy okruhy

Answer 6

Každý prvek tohoto okruhu je buďto 0, 1, prvočinitel nebo ho lze rozložit na prvočinitele

Gaussův obor integrity neboli obor integrity s jednoznačným rozkladem je v algebře, volně řečeno, takový okruh, ve kterém platí analogie Základní věty aritmetiky, totiž že každý jeho prvek (až na určité výjimky) je možno v jistém smyslu jednoznačně vyjádřit jako součin prvočinitelů.
(Základní vlastností Gaussových okruhů je jednoznačnost rozkladu na prvočinitele, tj. každý prvek, který není „0“ nebo „1“, je prvočinitelem, nebo ho lze jednoznačně rozložit na součin prvočinitelů.)

Question 7

Největší společný dělitel (NSD) a Nejmenší společný násobek(NSN)

Answer 7

NSD: vezmu všechna prvočísla, která se vyskytují v obou prvočíselných rozkladech (pokud žádné takové není, je největší společný dělitel 1) a u každého použiji minimální mocninu, ve které se vyskytuje. Získávám tím prvočíselný rozklad největšího společného dělitele. (136 = 2³×17 a 204 =2²×3×17 -> 2²×17 = 68)

NSN: vezmu všechna prvočísla, která se vyskytují v rozkladu prvního nebo druhého čísla a u každého z nich použiji maximální mocninu, ve které se vyskytuje. Získávám tím prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku

	1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
	2. 15 = 3 × 5
	3. 20 = 2 × 2 × 5
	4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
	5. n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Question 8

Normované prvky a svaz dělitelů

Answer 8

NP: množinu I rozdelíme na triedy podľa relácie asociácie (~) a z každej triedy vybereme jedného zástupcu
príklad: celé čísla: triedy sú {0}, {+-1}, … {+-n} a ako normované prvky vyberieme len kladné (použijeme absolútnu hodnotu)

normované prvočinitele: zástupcovia tried, ktoré obsahujú prvočinitele

SD: je svaz nad množinou I/~ (faktorová množina asociovaných prvků) kde je relace uspořádání definována jako [a]~≤[b]~⇔a|b

Question 9

Eukleidovy okruhy

Answer 9

Okruhy na kterých je definováno dělení se zbytkem. Každý Eukleidův okruh je Gaussův okruh.

Dělení se zbytkem:
	• ∀ a ∈ I \ „0“ (dělitel)
	• ∀ b ∈ I (dělenec)
	• ∃ q ∈ I (výsledek)
	• ∃ r ∈ I (zbytek)
	• b = aq + r
r < a