TD Maths : Grandeurs Et Mesures

Question 1

Comment savoir si deux figures ont le même périmètre sans les mesurer ?

Answer 1

Prendre un compas ou une bande de papier
Reporter sur une demi droite, à la suite, toutes les longueurs des côtes

Question 2

Comment calculer le périmètre et l’aire d’un rectangle ?

Answer 2

Périmètre (ABCD) = 2(AB+AD)
Aire (ABCD) = AB x AD = x cm2

Question 3

ABCD = 14cm de périmètre
EFGH = 16cm de périmètre
AB = 4cm
AD = 3cm
Donner les dimensions d’un rectangle EFGH de périmètre 16cm tel que :
L’aire de EFGH est plus grande que l’aire de ABCD.

Answer 3

Calculons le périmètre et l’aire du rectangle ABCD :
Périmètre(ABCD) = 2(𝐴𝐵 + 𝐴𝐷)
= 2 × 7
=14 cm

Aire(ABCD) = 𝐴𝐵 × 𝐴D
= 3 × 4
= 12 cm2

On considère le rectangle EFGH de dimensions EF = 4cm et EH = 4cm
(en gros on lui invente ces 2 dimension pour qu’avec la formule du périmètre, ça fasse 16)
Périmètre EFGH :
= 2 (EF+EH)
= 2 x (4+4)
= 16 cm

Aire (EFGH)
= EF x EH
= 4 x 4
= 16cm2

Dans ce cas de figure, l’aire de EFGH est plus grande que l’aire de ABCD

Question 4

ABCD = 14cm de périmètre
EFGH = 16cm de périmètre
AB = 4cm
AD = 3cm
Donner les dimensions d’un rectangle EFGH de périmètre 16cm tel que :
L’aire de EFGH est plus petite que l’aire de ABCD. (On veut que l’aire soit plus petite, en jouant sur la taille des segments)

Answer 4

On considère le rectangle EFGH de dimensions EF = 7cm et EH = 1cm (en gros on lui invente 2 mesures pour qu’avec le calcul du périmètre, ça fasse bien 16)
Périmètre EFGH :
= 2(EF+EH)
= 2 (7+1)
= 16 cm

Aire EFGH
= EF x EH
= 7 x 1
= 7 cm2
L’aire de EFGH est plus petite que l’aire de ABCD

Question 5

Périmètre du rectangle : 16 cm
x = la longueur de l’un de ses côtés
Montrer que l’aire A(x) de ce rectangle peut s’exprimer sous la forme :
A(x) = 8x-x ²

Answer 5

Le rectangle a un périmètre de 16cm

x étant la longueur d’un de ses côtés, on en déduit que son autre côté (y) vérifie : 2(x+y) = 16cm (*c’est le calcul de la mesure du périmètre d’un rectangle)

Donc : x + y = 16/2 = 8 (16/2 car c’est 2(x+y))
Soit y = 8 - x (on bascule le x du début de l’autre côté et il devient un -x)

On a donc montré que si x est la longueur de l’un des côtés d’un tel rectangle, son autre côté vaut 8-x

Son aire A(x) s’écrit alors :
A(x) = xy
= x(8-x) —> c’est 8-x car juste avant on a dit que (y) (son autre côté) s’écrivait 8-x et 8-x c’est y, et x c’est x, on multiplie les 2 c la formule de l’aire
= 8x - x ² —> on développe comme en classe de 3e

Question 6

Quatre triangles rectangles ABF, BFC, FCD, FDE superposables

x = la longueur AB du segment [AB]
y = la longueur BF du segment [BF]

on suppose x>y

Comment justifier que l’aire de la figure est égale à celle de 2 rectangles de même dimensions ?

Answer 6

En utilisant la grandeur aire :
La figure étant composée de quatre triangles rectangles superposables, on peut associer ceux-ci deux à deux, de manière à obtenir 2 rectangles superposables de longueur x et y.

Question 7

On veut que l’aire du rectangle soit de 96cm2
On veut que x et y soient des nombres entiers

Trouver les valeurs possibles de x et y

Answer 7

xy = 48 (soit la moitié de 96cm2 car x et y ne font que la moitié dans ce cas précis uniquement) (l’aire d’un parallélogramme est xy)

Les solutions possibles sont les couples de nombres entiers qui divisent 48 :
x = 48 et y=1
x = 24 et y=2
x = 16 et y = 3
x = 12 et y = 4
x = 8 et y = 6

Question 8

On a :
Un triangle ABC avec sa médiane [AM]

H = le point d’intersection de la droite (BC) et de la droite perpendiculaire à la droite (BC) en passant par A (en gros, (AH) est perpendiculaire à (BC)

BC = 5cm
AH = 3cm

Démontrer que les triangles ABM et AMC ont des aires égales ?

Answer 8

• une hauteur d’un triangle est une droite perpendiculaire à un côté du triangle et passe par le sommet opposé.
  Donc, la hauteur est [AH] issue de A (qui est un des cotés du triangle) du triangle AMB. Elle est aussi la hauteur du triangle AMC.
• Une médiane d’un triangle est une droite passant par le milieu d’un côté du triangle et par le sommet opposé.
  Donc, AM est la médiane du triangle ABC et M est donc le milieu de BC

On calcule grâce au théorème de la médiane :
BM= MC= 1/2 x BC
= 1/2 x 5
= 2,5 cm

On peut maintenant calculer les 2 aires demandées :

Aire(AMB)=
= (base x la hauteur ) / 2
= (BM x AH) / 2
= (2,5 x 3) / 2
= 3,75 cm²

Aire (AMC) =
= (MC x AH) / 2
= (2,5 x 3) / 2
= 3,75 cm ²

Question 9

Le triangle à une hauteur AH
M est la médiane qui coupe BC en 2.

Démontrer que 2 triangles (AMB) et (AMC) ont des aires égales.

Answer 9

[AH] est la hauteur issue de A du triangle AMB, d’où :
Aire(AMB) = (BM x AH) / 2

[AH] est la hauteur issue de A du triangle AMC, d’où :
Aire(AMC) = (CM x AH) / 2

Comme [AM] est une médiane du triangle ABC, alors M est le milieu de [BC] et on a : BM = CM

Donc, Aire (AMB) = Aire (AMC)

Question 10

On considère un parallélogramme ABCD
A partir d’un point M, intérieur au para. on partage le parallélogramme en 4 triangles :
2 coloriés : AMB et DMC
2 non coloriés : AMD et BMC
Obj de l’ex : montrer que le partage se fait à aires égales quelque soit la position de M cad que :
Aire des 2 triangles coloriés = Aire des 2 triangle non coloriés

1. Étude d’un cas particulier
   ABCD est un para
   AD = 10cm
   AB = 5 cm
   H’ le point de [AD] tel que AH’ = 6 cm
   La perpendiculaire à (AD) passant par H’ coupe (BC) en H tel que HH’ = 3cm
   On note M le milieu de HH’

b) calculer les aires des triangles MAD et MBC

Answer 10

Calculons l’aire de MAD.

Comme (MH’) est perpen à (AD), alors (MH’) est une hauteur du triangle MAD avec [AD] comme base.

De plus, M est le milieu de [HH’] donc :
MH’ = MH = 3/2 = 1,5 cm

Alors son aire vaut :
Aire (MAD) =
= (base x h) / 2
= (AD x MH’) / 2
= (10 x 1,5) / 2
= 7,5 cm ²

Calculons l’aire de MBC.

On sait que M, H et H’ sont alignés
On sait que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
D’après le Théo : si 2 droites sont parallèles, toutes perpendi à l’une est perpendi à l’autre.
Donc (MH) est perpendi à (BC)

Alors Aire (MBC) =
= (B x h) / 2
= (10 x 1,5) / 2
= 7,5 cm ²

Question 11

On considère un parallélogramme ABCD
A partir d’un point M, intérieur au para. on partage le parallélogramme en 4 triangles :
2 coloriés : AMB et DMC
2 non coloriés : AMD et BMC
Obj de l’ex : montrer que le partage se fait à aires égales quelque soit la position de M cad que :
Aire des 2 triangles coloriés = Aire des 2 triangle non coloriés

1. Étude d’un cas particulier
   ABCD est un para
   AD = 10cm
   AB = 5 cm
   H’ le point de [AD] tel que AH’ = 6 cm
   La perpendiculaire à (AD) passant par H’ coupe (BC) en H tel que HH’ = 3cm
   On note M le milieu de HH’

Grâce à la réponse de la question b) nous savons que :
Aire (MAD) = 7,5 cm ²
Aire (MBC) = 7,5 cm ²

c) Calculer l’aire du parallélogramme ABCD et conclure sur le partage du parallélogramme selon les aires coloriées et non coloriées

Answer 11

Le parallélo ABCD a pour base [AD] et sa hauteur relative est [HH’]

Son aire est égale à :
Aire (MAD) :
= h x L
= AD x HH’
= 10 x 3
= 30 cm ²

La somme des aires coloriées vaut : Aire (MAD) + Aire (MBC) = 7,5 + 7,5 = 15cm ²
C’est la moitié du parallélogramme. On en déduit que la somme des aires non coloriées vaut aussi 15 cm ²

L’aire du para est partagée en 2 aires égales : les aires coloriées et non coloriées

Question 12

On considère un parallélogramme ABCD dont les mesures sont inconnues.
On ne sait pas si le point M a l’intérieur de ce parallélogramme est au milieu de [HH’] parallèle à [AD] et [BC].

1) Démontrer que le partage du parallélogramme en aires coloriées / non coloriées se fait à parts égales.

Answer 12

(MH) est une hauteur du triangle MBC
(MH’) est une hauteur du triangle MAD
Aire non coloriée =
= Aire (MBC) + Aire (MAD)
= (BC x MH) / 2 + (AD x MH’) / 2

Or, dans un parallélo, les côtés opposés ont la même longueur donc BC = AD.
Aire non coloriée =
= (AD x MH) / 2 + (AD x MH’) / 2
= (AD x (MH+MH’)) / 2

Les trois points de M, H et H’ étant alignés, on a MH + MH’ = HH’
D’où : Aire non coloriée =
= (AD x HH´) / 2
= (Aire ABCD) / 2

L’aire non coloriée est donc égale à la moitié de l’aire du para ABCD.
Donc l’aire coloriée aussi.
Le partage se fait à aires égales quelque soit la position de M

Question 13

Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
Décrire la procédure non numérique permettant à un élève de réussir la tache suivante :
- ranger les surfaces selon la taille de leur aire

Answer 13

• Procéder par superposition effective : enlever progressivement une partie de la figure en partant de la plus grande aire.
• B apparait comme la plus grande aire car elle contient toutes les surfaces….

Question 14

Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
Décrire la procédure non numérique permettant à un élève de réussir la tache suivante :
- Comparer les périmètres des différentes surfaces en les classant

Answer 14

Toutes les figures ont quatre quarts de cercle de même rayon. Elles ont donc toutes le même périmètre.

Question 15

Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
Décrire la procédure non numérique permettant à un élève de réussir la tache suivante :
Marius répond que le rangement est le même. Quel théo en acte mobilise-t-il ?
*Sachant qu’ils vient de classer les figures selon leurs aires.

Answer 15

“la surface ayant la plus grande aire a le plus grand périmètre”
–> ce théo en acte n’est vrai que pour un carré et un disque.

Question 16

Didactique : Ex sur les “cercles mangés”

L’enseignant propose à Marius de chercher (ensemble) un moyen de comparer aire et périmètre de 2 figures (B et C). Justifier le choix de l’enseignant.

Answer 16

aire :
- Visuellement, l’aire de B > C

périmètre :
- il est égal car B et C sont formés de 4 quarts de cercle de même rayon
- donc péri identique : 4 fois la mesure du quart de cercle.

Question 17

Didactique : Ex sur les “cercles mangés”

1) Quel est l’objectif de l’enseignant quand il dit : Dessiner une figure ayant la même aire que la figure B (qui est un cercle) mais de péri différent.

2) Reproduire la figure

Answer 17

1)
- Montrer que le théo en acte “si 2 surfaces ont la même aire, elles ont le même péri” est faux

• Illustrer cela

2)
Faire une figure avec 4 quarts de cercle en les mettant n’importe comment. On voit que cette surface a 4 quarts de cercle et 2 rayons =/ cercle B qui a 4 quarts de cercle uniquement

Question 18

Didactique : Ex sur les “cercles mangés”

Quel est l’obj de cette séquence ?

Answer 18

• construire les 2 grandeurs : aire et périmètre
• travailler la représentation qu’ont les élèves de ces 2 notions
• disocier les 2 notions : pas de liens simples entre elles : 2 figures de même aire peuvent avoir des péri différent et inversement.

Question 19

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves : Calcule le péri de la fig 1.

Imane fait (3+4+5) x 4 = 42cm
Comment procède Imane ?

Answer 19

Elle fait le calcul du périmètre qu”elle multiplie par le nombre de triangle. Elle a compris le calcul du péri.

Mais elle pense que le péri de la figure 1 = péri des 4 triangles

Question 20

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves : Calcule le péri de la fig 1.

Imane fait (3+4+5) x 4 = 42cm

Quelle règle implicite elle utilise ?

Answer 20

théo en acte : le péri d’une figure composée de figures élémentaires = la somme des péri des figures élémentaires

Question 21

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves : Calcule le péri de la fig 1.

Imane fait (3+4+5) x 4 = 42cm

Quelle peut être l’origine de son erreur ?

Answer 21

Elle applique le théo dédié au calcul des aires et qui est juste “l’aire d’une figure composée de figures élémentaires est égal à la somme des aires des figures élémentaires”
Sauf que ce théo n’est pas applicable au calcul du péri.

Question 22

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves :
a) Calcule le péri de la fig 1.
c) Calcule le péri de la fig 2

a) Dorian fait (3,2 + 4,8) x 2 = 16
c) 3,2 + 4 + 4 + 3,2+ 4 + 4 = 22,4

Décrire sa procédure

Answer 22

a) Dorian multiplie par 2 le demi péri du rectangle.
–> il connait et mobilise la formule donnant le péri d’un rectangle

c) Il additionne les mesures des longueurs des cotés de la Fig 2 car il ajoute 6 valeurs. Il mobilise la def du péri d’un polygone (somme des longueurs des cotés)

Question 23

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves :
a) Calcule le péri de la fig 1.
c) Calcule le péri de la fig 2

a) Dorian fait (3,2 + 4,8) x 2 = 16
c) 3,2 + 4 + 4 + 3,2+ 4 + 4 = 22,4

Pourquoi n’obtient-il pas les résultats escomptés ?

Answer 23

Il ne tient pas compte des mesures indiquées
Il mesure avec sa règle graduée les dimensions sur la photocopie

Question 24

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves :
d) calcule l’aire de figure 2

d) A et V ont le met dans le trou entre B et D, on obtiendra la même figure que la précédente alors c la même aire.

Décire la procédure utilisée pour répondre à la question d et les connaissances sur laquelle elle repose

Answer 24

• Considère que l’aire ne change pas si on découpe puis recolle les morceaux d’une figure différemment (sans chevauchement ou superposition)
• connaissance de la propriété d’additivité des aires
• connaissance de l’invariabilité de l’aire par déplacement/recollement

Question 25

Didactique : exo sur les 4 petits triangles de coté 3, 4 et 5cm et d’aire identique et les 2 Figures.
Figure 1 : un rectangle composé des 4 petits triangles
Figure 2 : figure biscornue composée de 4 petits triangle

Question aux élèves :
d) Mesurer l’aire de fig 2

Réponse de Léna :
d) Je ne sais pas.

Comment interpréter la non réponse de Léna au d ?

Answer 25

• Elle n’identifie pas la figure 2 à un polygone classique (carré, rectangle, triangle) dont elle connaitrait la formule de l’aire
• conception de l’aire comme “nb qui se calcule”

Question 26

Didactique : exo avec les quadrillages

visuellement :
1 figure qui ressemble a une voiture
6 carreaux de hauteur
8 carreaux de largeur
Y’a un trou en forme de losange à l’intérieur

2 carreaux = 1cm
4 carreaux = 1 carré de 1cm²

Quelles sont les 4 difficultés dans cet exo ?

Answer 26

• Les carreaux du quadrillage ne correspondent pas à l’unité de longueur (1cm = 2 carreaux), et pas à l’unité d’aire (car 1cm² = 4 carreaux)
• On ne peut pas couvrir les cotés de la figure avec un segment entier. La mesure du contour de la figure (du péri) nécessite d’utiliser les nombres décimaux (1 coté fait 2,5cm et un autre fait 0,5cm pour le péri)
• L’aire de la figure ne se mesure pas avec un nombre entier mais un nombre décimal.
• La figure est complexe : trou à l’intérieur, cotés obliques, bcp de carreaux et de demi-carreaux…

Question 27

Didactique : Exo 3, quadrillage avec une figure oblique à l’intérieur.

4 carreaux = 1cm²

Anaïs répond 37 cm² et explique qu’elle a compté tous les carreaux.

Décrire sa procédure.
Quelles sont les notions maîtrisées / non maîtrisées ?

Answer 27

• Anais compte tous les carreaux de la surface coloriée et les demis carreaux et les additionne.

Erreurs commises
- Un carreau ne vaut pas 1cm² (c’est 4 carreaux)
- Un demi-carreau ne vaut pas un carreau

Notions maîtrisées, non maîtrisées :
- calcul de l’aire maitrisée
- pb d’identification de l’unité
- pb de gestion des aires inférieures à 1 unité.

Question 28

On considère le triangle ABC rectangle en A de dimensions 3 cm AB, 4 cm pour AC et 5 cm pour CB.
On nomme H le pied de la perpendiculaire à la droite (BC) passant par A. À l’aide d’un double calcul d’aire, déterminer la longueur du segment [AH]

Answer 28

2 façons diff pour calculer l’aire du triangle ABC :

méthode 1 :
Aire(ABC) = 𝐴𝐵×𝐴𝐶 ) / 2 où [AB] est la base et [AC] la hauteur relative à cette base.
Aire(ABC) = 3×4 2 ) /2 = 6 𝑐𝑚²
Soit : (5xAH) / 2 = 6

méthode 2 :
Aire(ABC) = 𝐵𝐶×𝐴𝐻 2 où [BC] est la base et [AH] la hauteur relative à cette base.
Aire (ABC) = 𝐵𝐶×𝐴𝐻) / 2 = 6 𝑐𝑚²

Général :
Donc 5 × 𝐴𝐻 = 12
et donc 𝐴𝐻 = 12/5 = 2,4 cm²

Question 29

Le segment [AB] mesure 10 cm. On le partage en n segments d’égale longueur, n étant un entier naturel non nul.

Ensuite, on construit n demi-disques de diamètres ces n segments comme indiqué dans les exemples ci-dessous.

On s’intéresse au périmètre et à l’aire des figures formées de ces n demi-disques, délimitées par le diamètre [AB] et les n demi-cercles.

1) Dans le cas où n = 2 (càd qu’il y a 2 petits demi-cercle) vérifier que le périmètre de la partie hachurée (= 2 petits demi cercles sur un segment AB qui représente le diamètre) est égal à 5𝜋 + 10 cm et que son aire est égale à 6,25π cm².

Answer 29

Dans le cas où n = 2

• Le pourtour de la partie hachurée est constitué du segment [AB]
  + 2 demi-cercles de diamètre 5 cm (péri d’un cercle=5cm)

La formule du périmètre d’un cercle de diamètre D est πD.
Donc le périmètre = 5π + 10 cm. (car la figure (les 2 cercles) est composé d’un segment de 10cm).

Le diamètre = 5 cm, donc le rayon = 2,5 cm
La formule de l’aire d’un disque de rayon R est πR².
Donc, l’aire de la partie hachurée vaut : π×2,5² = 6,25π cm².

Question 30

Le segment [AB] mesure 10 cm. On le partage en n segments d’égale longueur, n étant un entier naturel non nul.

Ensuite, on construit n demi-disques de diamètres ces n segments comme indiqué dans les exemples ci-dessous.

On s’intéresse au périmètre et à l’aire des figures formées de ces n demi-disques, délimitées par le diamètre [AB] et les n demi-cercles.

2) Déterminer les valeurs exactes du périmètre puis de l’aire de la partie hachurée dans le cas où n = 4 (c’est à dire qu’il y a 4 petits demi-cercles hachurés)

Answer 30

Dans le cas où n = 4
Le pourtour de la partie hachurée est constitué du segment [AB] + de 4 demi-cercles de diamètre 2,5 cm.
Donc le périmètre de chaque petits demi-cercle est 2,5cm.

La formule du périmètre d’un cercle de rayon 2,5 cm = 2piR
Donc le périmètre = 2×π×2,5 + 10, soit 5π + 10 cm (ne pas oublier les 10cm de AB)

Son aire est celle de 2 disques de diamètre 2,5 cm, soit de rayon 1,25 cm.
La formule de l’aire est : 2 pi R²
Aire = 2×π×1,25² (on ne rajoute pas les 10cm c que pour le calcul du péri)
= 3,125π cm²

Question 31

Le segment [AB] mesure 10 cm. On le partage en n segments d’égale longueur, n étant un entier naturel non nul.

Ensuite, on construit n demi-disques de diamètres ces n segments comme indiqué dans les exemples ci-dessous.

On s’intéresse au périmètre et à l’aire des figures formées de ces n demi-disques, délimitées par le diamètre [AB] et les n demi-cercles.

3) Montrer que le périmètre de la surface hachurée (les 2 ou 4 petits cercles) est le même quel que soit la valeur de n.

Answer 31

Le pourtour de la partie hachurée est constitué du segment [AB] et de n demi-cercles de diamètre 10 𝑛 cm.

Chaque demi-cercle a un périmètre de :
Péri = 1/2 × 𝜋 × 10 / n cm
= 𝜋 × 5 𝑛 cm

Le périmètre de la surface hachurée est donc égal à :
Péri = 10 + 𝑛 x 5/n cm
= 10 + 5 𝜋 cm
On constate que le périmètre ne dépend pas de n.

Question 32

Le segment [AB] mesure 10 cm. On le partage en n segments d’égale longueur, n étant un entier naturel non nul.

Ensuite, on construit n demi-disques de diamètres ces n segments comme indiqué dans les exemples ci-dessous.

On s’intéresse au périmètre et à l’aire des figures formées de ces n demi-disques, délimitées par le diamètre [AB] et les n demi-cercles.

3b. Montrer que l’aire de la surface hachurée est égale à 25π / 2n cm².

Answer 32

L’aire de la surface hachurée est celle de n demi-disques de diamètre 10 / n cm, donc de rayon 5 / 𝑛 cm.

Chaque demi-disque a une aire de :
1/2 × 𝜋 × ( 5/𝑛 )²
= 1 2 × 𝜋 × 25 𝑛²

L’aire de la surface hachurée est donc =
= 𝑛 × 1/2 × 𝜋 × 25 / 𝑛²
= 25𝜋 / 2𝑛 cm²

Question 33

Le segment [AB] mesure 10 cm. On le partage en n segments d’égale longueur, n étant un entier naturel non nul.

Ensuite, on construit n demi-disques de diamètres ces n segments comme indiqué dans les exemples ci-dessous.

On s’intéresse au périmètre et à l’aire des figures formées de ces n demi-disques, délimitées par le diamètre [AB] et les n demi-cercles.

4) Déterminer la plus petite valeur de n pour que l’aire de la surface hachurée soit inférieure à 0,1 cm². Combien mesure le périmètre pour cette valeur de n ?

Answer 33

Dire que l’aire de la surface hachurée est inférieure à 0,1 cm² revient à dire que : 25𝜋 2𝑛 < 0,1 (résultat du 3b)

Or, pour deux nombres positifs donnés, leurs inverses sont rangés en sens contraire de ces deux nombres.

D’où : 2𝑛/25𝜋 > 1/0,1

2𝑛/25𝜋 > 10 ce qui équivaut à :
2𝑛 > 10 × 25𝜋
2𝑛 > 250𝜋
et finalement 𝑛 > 125𝜋
Or 125𝜋 ≈ 392,699

La plus petite valeur de n qui convient est donc 393. Pour cette valeur de n comme pour toutes les autres, le périmètre mesure :
10 + 5𝜋 cm

Question 34

Exercice 4 : Le grand rectangle ci-dessous a un périmètre égal à 34 cm.
On partage ce rectangle en neuf rectangles plus petits en traçant des lignes parallèles aux bords.
Le périmètre de certains de ces petits rectangles est indiqué sur la figure ci-dessous. Le dessin ne respecte pas (volontairement) les proportions exactes des rectangles.

1) Trouver une relation entre le périmètre du grand rectangle, les périmètres des rectangles marqués sur la figure et le périmètre du rectangle colorié. En déduire le périmètre du rectangle colorié.

Answer 34

Si l’on considère la réunion des frontières des quatre rectangles dont on connaît les périmètres, on obtient une ligne qui peut se décomposer en une ligne ayant la forme d’une croix (trait épais), et une ligne qui constitue la frontière du rectangle colorié (trait épais pointillé).

On note P le périmètre du rectangle colorié.
On a donc :
14 + 9 + 7 + 10
= longueur de la ligne en forme de croix + P.

Or, la ligne en forme de croix a même longueur que le périmètre du grand rectangle, soit, selon l’énoncé, 34 cm.

Il en résulte que : 14 + 9 + 7 + 10 = 34 + P
soit 40 = 34 + P, et finalement P = 6 cm. Le périmètre du rectangle colorié est donc de 6 cm.

Question 35

Didactique : L’enseignante a expliqué aux élèves : « Le petit chaperon rouge veut rejoindre la maison de sa grand-mère. Elle peut choisir entre trois chemins mais lequel est le plus court ? »

1) Quelle est la tâche mathématique assignée aux élèves ?

Answer 35

• comparer des longueurs de lignes brisées.

Comme on ne peut pas superposer les lignes qui sont tracées au sol, la comparaison est nécessairement indirecte

Question 36

Didactique : L’enseignante a expliqué aux élèves : « Le petit chaperon rouge veut rejoindre la maison de sa grand-mère. Elle peut choisir entre trois chemins mais lequel est le plus court ? »

2) citer la compétence travaillée dans cette activité.

Answer 36

« Classer ou ranger des objets selon un critère de longueur »

Question 37

Après avoir raconté l’histoire du Petit chaperon rouge à ses élèves, l’enseignante a tracé trois chemins à la craie sur le sol de la cour de récréation. Ces chemins sont représentés dans la figure ci-dessous.

• Le chemin 1 est représenté par une ligne brisée constituée de trois segments de même longueur.
• Le chemin 2 est représenté par une ligne brisée constituée de quatre segments de même longueur.
• Le chemin 3 est représenté par une ligne brisée constituée de deux segments de même longueur.

Groupe A : Certains pensent que c’est le chemin 1 car « c’est le plus court, ça se voit ! ».

Groupe B : D’autres préfèrent le chemin 2 car « les morceaux sont petits alors que dans les autres, les morceaux sont grands… ».

Groupe C : D’autres élèves encore choisissent le chemin 3 car « il y a moins de morceaux que dans les deux autres chemins ! ».

3) Pour chaque groupe d’élèves A, B et C, décrire la procédure utilisée pour répondre à la question de l’enseignante.

Answer 37

Groupe A : Ce groupe procède uniquement par perception visuelle. Cette procédure n’est pas incorrecte, mais très approximative et peut difficilement aboutir ici, car les longueurs des trois chemins sont très proches.

Groupe B : compare uniquement l’une des longueurs des segments d’un chemin avec l’une d’un autre chemin. Ils ne tiennent pas compte du nombre de ces morceaux, c’est une procédure incorrecte.

Groupe C : compare le nombre de segments d’un chemin avec le nombre de segments d’un autre chemin. lls ne tiennent pas compte de la longueur de chacun de ces morceaux, c’est une procédure incorrecte.

Question 38

Après avoir raconté l’histoire du Petit chaperon rouge à ses élèves, l’enseignante a tracé trois chemins à la craie sur le sol de la cour de récréation. Ces chemins sont représentés dans la figure ci-dessous.

• Le chemin 1 est représenté par une ligne brisée constituée de trois segments de même longueur.
• Le chemin 2 est représenté par une ligne brisée constituée de quatre segments de même longueur.
• Le chemin 3 est représenté par une ligne brisée constituée de deux segments de même longueur.

4) Proposer une aide matérielle que l’enseignante pourrait fournir à ses élèves de Grande Section de maternelle pour qu’ils puissent valider ou invalider leur réponse. Argumenter la proposition

Answer 38

à l’aide d’un objet intermédiaire :

• une corde assez longue pour suivre le pourtour de chaque ligne brisée puis comparer les longueurs obtenues pour déterminer la plus longue. On reste ici sur le concept de grandeur, avec comparaison indirecte

Question 39

Didactique CE2 : Pour aller de A à B, on a dessiné 3 chemins. Trois enfants regardent la figure et cherchent le chemin le plus court. Ils ne sont pas d’accord. Carine dit : « Le plus court, c’est de passer par en haut. » Jessica dit : « Moi, je pense que le chemin le plus court, c’est celui du bas ! » Éric ajoute : « Vous avez tort toutes les deux. C’est le chemin du milieu le plus court ! » Qui a raison ?

5) Citer deux compétences de fin de cycle 2 évaluées dans cet exercice

Answer 39

1ère compétence : « Comparer des longueurs, […], en introduisant la comparaison à un objet intermédiaire ou par mesurage ».

On peut effectivement procéder ici des deux manières : soit en utilisant une bande de papier pour reporter les longueurs des différents segments à partir d’un point donné sur une demi-droite (comparaison à un objet intermédiaire), soit par mesurage à l’aide d’une règle graduée en cm de chacun des segments qui constituent les chemins.

2e compétence : « Mesurer des segments pour calculer la longueur d’une ligne brisée (ou le périmètre d’un polygone) ».

Ceci peut être mis en œuvre en liaison avec la compétence ci-dessus : la règle graduée en centimètres constitue ici un outil pertinent de mesure ici.

Question 40

Didactique CE2 : Pour aller de A à B, on a dessiné 3 chemins. Trois enfants regardent la figure et cherchent le chemin le plus court. Ils ne sont pas d’accord. Carine dit : « Le plus court, c’est de passer par en haut. » Jessica dit : « Moi, je pense que le chemin le plus court, c’est celui du bas ! » Éric ajoute : « Vous avez tort toutes les deux. C’est le chemin du milieu le plus court ! »
Qui a raison ?
C’est ………………
Pourquoi …………………………..

On a retranscrit ci-dessous les réponses données, lors de cette évaluation nationale, par quatre élèves.

Jeanne : « c’est Jessica car en bas il y a deux lignes et c’est plus court »

Marion : « c’est Carine, les deux autres font 18 alors que celui du haut fait 15 »

Tristan : « c’est Éric parce que les triangles c’est plus petit qu’un grand triangle ou qu’un grand carré »

Cathy : « c’est Carine, parce que le trait mesure 5 cm, le deuxième 5 cm, le troisième 5 cm donc il mesure 15 et les autres Jessica 16 et Éric 16 »

Pour chacun de ces élèves, décrire la procédure qui semble être utilisée puis analyser les erreurs éventuelles.

Answer 40

Jeanne :
- Comparaison uniquement du nombre de segments d’une ligne brisée.
- ne tient pas compte de la longueur de chacun de ces segments
–> Procédure incorrecte

Marion :
- Comparaison des longueurs d’après les mesures effectives des lignes brisées (avec la règle graduée)
- Erreur dans le calcul de la longueur
- Absence de l’unité (le cm)
–> Procédure correcte

Tristan :
- Comparaison d’aire
–> procédure incorrecte pour mesurer des lignes brisées

Cathy :
- Comparaison des longueurs d’après les mesures effectives des lignes brisées (avec règle graduée)
–> procédure correcte

Question 41

Didactique CE2 : Situation 2
Consigne : La bande noire a été mesurée à l’aide d’un double décimètre cassé.
(sur la photo, la bande noire part de 9cm et va jusqu’à 15cm)

L’élève A a répondu que la bande mesure 15 cm.
L’élève B a répondu que la bande mesure 7 cm.

. Formuler des hypothèses permettant d’expliquer les erreurs des élèves A et B.

Answer 41

La réponse correcte est : 15 – 9 = 6 cm.

élève A, il a uniquement pris en compte l’extrémité droite de la bande noire pour donner la réponse de 15 cm. En effet, la manière la plus classique d’utiliser une règle est de caler l’extrémité gauche de l’objet à mesurer sur le 0 de la règle et de lire la graduation à l’extrémité droite de celui-ci, ce qui donne la longueur de l’objet.
Ici, l’élève a procédé de cette manière, soit il n’a pas vu qu’à gauche, ce n’était pas calé sur le 0, soit il n’a pas su l’interpréter.

élève B, il a compté les graduations présentes sur la règle, en considérant les deux extrémités de la bande noire. On a en effet les nombres « 9, 10, 11, 12, 14, 13, 15 » qui apparaissent, ce qui fait 7 valeurs
Or, il y a seulement 6 intervalles de 1 cm entre ces 7 nombres.

Question 42

Didactique CE2 : Situation 2
Consigne : La bande noire a été mesurée à l’aide d’un double décimètre cassé.
(sur la photo, la bande noire part de 9cm et va jusqu’à 15cm)

L’élève A a répondu que la bande mesure 15 cm.
L’élève B a répondu que la bande mesure 7 cm.

Pour remédier à ces difficultés, une enseignante décide d’utiliser les instruments ci-dessous (en papier cartonné) pour mesurer les longueurs de segments tracés sur une feuille. Expliciter leur intérêt dans les premiers apprentissages sur les mesures de longueurs, en montrant comment les procédures de mesurage peuvent évoluer avec ces instruments.

Instrument A : une sorte de manche en 2D avec le trou de 1cm

Instrument B : Une bande avec écrit 1cm 1cm 1cm…

Instrument C : Une règle avec écrit 1cm, 1cm…

—> la difficulté est de comprendre la graduation 0, on part de 0 alors que depuis le cycle 1 le dénombrement débute par 1.

Answer 42

L’instrument A :
Mesurer la longueur d’un segment en reportant autant de fois que nécessaire l’étalon.
Pb de report de l’étalon quand le segment devient plus grand.

Instrument B :
Première approche de la règle
- le report d’une unité conventionnelle (ici le cm) permet de présenter un grand nombre de fois cette unité, mise « bout à bout »
- évite les imprécisions dû au repport de l’unité étalon.

Instrument C :
- Permet d’installer la notion de graduation
- permet de faire comprendre aux élèves l’intérêt de ces graduations (pour éviter de devoir recompter à chaque nouvelle mesure le nombre d’étalons de 1 cm)
- les étalons de 1 cm sont encore marqués, pour bien faire le lien avec l’instrument B et pour éviter la confusion entre graduations et intervalles.

Question 43

On rappelle que tout triangle possède la propriété de l’inégalité triangulaire « la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est supérieure ou égale à la longueur du troisième côté ». En considérant le triangle ABK, prouver que AB ≤ 6.

On sait déja que AK = 4 et BK = 2

Answer 43

En utilisant l’unité de longueur donnée et d’après l’inégalité triangulaire, on peut écrire :
- pour le triangle AKB :
AB ≤ AK + BK,
soit AB ≤ 4 + 2
donc AB ≤ 6

Question 44

En déduire que le périmètre du triangle ABC est inférieur ou égal à 18.

On sait déja que : AB ≤ 6 (d’après l’exo précédent)

Answer 44

• pour le triangle BJC :
  BC ≤ BJ + JC
  soit BC ≤ 3 + 3
  donc BC ≤ 6
• pour le triangle CIA : CA ≤ CI + IA
  soit CA ≤ 1 + 5
  donc CA ≤ 6

Le périmètre du triangle ABC est égal à : AB + BC + CA.
On obtient donc AB + BC + CA ≤ 6 + 6 + 6
D’où AB + BC + CA ≤ 18