TD Maths : Grandeurs Et Mesures Flashcards
Comment savoir si deux figures ont le même périmètre sans les mesurer ?
Prendre un compas ou une bande de papier
Reporter sur une demi droite, à la suite, toutes les longueurs des côtes
Comment calculer le périmètre et l’aire d’un rectangle ?
Périmètre (ABCD) = 2(AB+AD)
Aire (ABCD) = AB x AD = x cm2
ABCD = 14cm de périmètre
EFGH = 16cm de périmètre
AB = 4cm
AD = 3cm
Donner les dimensions d’un rectangle EFGH de périmètre 16cm tel que :
L’aire de EFGH est plus grande que l’aire de ABCD.
Calculons le périmètre et l’aire du rectangle ABCD :
Périmètre(ABCD) = 2(𝐴𝐵 + 𝐴𝐷)
= 2 × 7
=14 cm
Aire(ABCD) = 𝐴𝐵 × 𝐴D
= 3 × 4
= 12 cm2
On considère le rectangle EFGH de dimensions EF = 4cm et EH = 4cm
(en gros on lui invente ces 2 dimension pour qu’avec la formule du périmètre, ça fasse 16)
Périmètre EFGH :
= 2 (EF+EH)
= 2 x (4+4)
= 16 cm
Aire (EFGH)
= EF x EH
= 4 x 4
= 16cm2
Dans ce cas de figure, l’aire de EFGH est plus grande que l’aire de ABCD
ABCD = 14cm de périmètre
EFGH = 16cm de périmètre
AB = 4cm
AD = 3cm
Donner les dimensions d’un rectangle EFGH de périmètre 16cm tel que :
L’aire de EFGH est plus petite que l’aire de ABCD. (On veut que l’aire soit plus petite, en jouant sur la taille des segments)
On considère le rectangle EFGH de dimensions EF = 7cm et EH = 1cm (en gros on lui invente 2 mesures pour qu’avec le calcul du périmètre, ça fasse bien 16)
Périmètre EFGH :
= 2(EF+EH)
= 2 (7+1)
= 16 cm
Aire EFGH
= EF x EH
= 7 x 1
= 7 cm2
L’aire de EFGH est plus petite que l’aire de ABCD
Périmètre du rectangle : 16 cm
x = la longueur de l’un de ses côtés
Montrer que l’aire A(x) de ce rectangle peut s’exprimer sous la forme :
A(x) = 8x-x ²
Le rectangle a un périmètre de 16cm
x étant la longueur d’un de ses côtés, on en déduit que son autre côté (y) vérifie : 2(x+y) = 16cm (*c’est le calcul de la mesure du périmètre d’un rectangle)
Donc : x + y = 16/2 = 8 (16/2 car c’est 2(x+y))
Soit y = 8 - x (on bascule le x du début de l’autre côté et il devient un -x)
On a donc montré que si x est la longueur de l’un des côtés d’un tel rectangle, son autre côté vaut 8-x
Son aire A(x) s’écrit alors :
A(x) = xy
= x(8-x) —> c’est 8-x car juste avant on a dit que (y) (son autre côté) s’écrivait 8-x et 8-x c’est y, et x c’est x, on multiplie les 2 c la formule de l’aire
= 8x - x ² —> on développe comme en classe de 3e
Quatre triangles rectangles ABF, BFC, FCD, FDE superposables
x = la longueur AB du segment [AB]
y = la longueur BF du segment [BF]
on suppose x>y
Comment justifier que l’aire de la figure est égale à celle de 2 rectangles de même dimensions ?
En utilisant la grandeur aire :
La figure étant composée de quatre triangles rectangles superposables, on peut associer ceux-ci deux à deux, de manière à obtenir 2 rectangles superposables de longueur x et y.
On veut que l’aire du rectangle soit de 96cm2
On veut que x et y soient des nombres entiers
Trouver les valeurs possibles de x et y
xy = 48 (soit la moitié de 96cm2 car x et y ne font que la moitié dans ce cas précis uniquement) (l’aire d’un parallélogramme est xy)
Les solutions possibles sont les couples de nombres entiers qui divisent 48 :
x = 48 et y=1
x = 24 et y=2
x = 16 et y = 3
x = 12 et y = 4
x = 8 et y = 6
On a :
Un triangle ABC avec sa médiane [AM]
H = le point d’intersection de la droite (BC) et de la droite perpendiculaire à la droite (BC) en passant par A (en gros, (AH) est perpendiculaire à (BC)
BC = 5cm
AH = 3cm
Démontrer que les triangles ABM et AMC ont des aires égales ?
- une hauteur d’un triangle est une droite perpendiculaire à un côté du triangle et passe par le sommet opposé.
Donc, la hauteur est [AH] issue de A (qui est un des cotés du triangle) du triangle AMB. Elle est aussi la hauteur du triangle AMC. - Une médiane d’un triangle est une droite passant par le milieu d’un côté du triangle et par le sommet opposé.
Donc, AM est la médiane du triangle ABC et M est donc le milieu de BC
On calcule grâce au théorème de la médiane :
BM= MC= 1/2 x BC
= 1/2 x 5
= 2,5 cm
On peut maintenant calculer les 2 aires demandées :
Aire(AMB)=
= (base x la hauteur ) / 2
= (BM x AH) / 2
= (2,5 x 3) / 2
= 3,75 cm²
Aire (AMC) =
= (MC x AH) / 2
= (2,5 x 3) / 2
= 3,75 cm ²
Le triangle à une hauteur AH
M est la médiane qui coupe BC en 2.
Démontrer que 2 triangles (AMB) et (AMC) ont des aires égales.
[AH] est la hauteur issue de A du triangle AMB, d’où :
Aire(AMB) = (BM x AH) / 2
[AH] est la hauteur issue de A du triangle AMC, d’où :
Aire(AMC) = (CM x AH) / 2
Comme [AM] est une médiane du triangle ABC, alors M est le milieu de [BC] et on a : BM = CM
Donc, Aire (AMB) = Aire (AMC)
On considère un parallélogramme ABCD
A partir d’un point M, intérieur au para. on partage le parallélogramme en 4 triangles :
2 coloriés : AMB et DMC
2 non coloriés : AMD et BMC
Obj de l’ex : montrer que le partage se fait à aires égales quelque soit la position de M cad que :
Aire des 2 triangles coloriés = Aire des 2 triangle non coloriés
- Étude d’un cas particulier
ABCD est un para
AD = 10cm
AB = 5 cm
H’ le point de [AD] tel que AH’ = 6 cm
La perpendiculaire à (AD) passant par H’ coupe (BC) en H tel que HH’ = 3cm
On note M le milieu de HH’
b) calculer les aires des triangles MAD et MBC
Calculons l’aire de MAD.
Comme (MH’) est perpen à (AD), alors (MH’) est une hauteur du triangle MAD avec [AD] comme base.
De plus, M est le milieu de [HH’] donc :
MH’ = MH = 3/2 = 1,5 cm
Alors son aire vaut :
Aire (MAD) =
= (base x h) / 2
= (AD x MH’) / 2
= (10 x 1,5) / 2
= 7,5 cm ²
Calculons l’aire de MBC.
On sait que M, H et H’ sont alignés
On sait que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
D’après le Théo : si 2 droites sont parallèles, toutes perpendi à l’une est perpendi à l’autre.
Donc (MH) est perpendi à (BC)
Alors Aire (MBC) =
= (B x h) / 2
= (10 x 1,5) / 2
= 7,5 cm ²
On considère un parallélogramme ABCD
A partir d’un point M, intérieur au para. on partage le parallélogramme en 4 triangles :
2 coloriés : AMB et DMC
2 non coloriés : AMD et BMC
Obj de l’ex : montrer que le partage se fait à aires égales quelque soit la position de M cad que :
Aire des 2 triangles coloriés = Aire des 2 triangle non coloriés
- Étude d’un cas particulier
ABCD est un para
AD = 10cm
AB = 5 cm
H’ le point de [AD] tel que AH’ = 6 cm
La perpendiculaire à (AD) passant par H’ coupe (BC) en H tel que HH’ = 3cm
On note M le milieu de HH’
Grâce à la réponse de la question b) nous savons que :
Aire (MAD) = 7,5 cm ²
Aire (MBC) = 7,5 cm ²
c) Calculer l’aire du parallélogramme ABCD et conclure sur le partage du parallélogramme selon les aires coloriées et non coloriées
Le parallélo ABCD a pour base [AD] et sa hauteur relative est [HH’]
Son aire est égale à :
Aire (MAD) :
= h x L
= AD x HH’
= 10 x 3
= 30 cm ²
La somme des aires coloriées vaut : Aire (MAD) + Aire (MBC) = 7,5 + 7,5 = 15cm ²
C’est la moitié du parallélogramme. On en déduit que la somme des aires non coloriées vaut aussi 15 cm ²
L’aire du para est partagée en 2 aires égales : les aires coloriées et non coloriées
On considère un parallélogramme ABCD dont les mesures sont inconnues.
On ne sait pas si le point M a l’intérieur de ce parallélogramme est au milieu de [HH’] parallèle à [AD] et [BC].
1) Démontrer que le partage du parallélogramme en aires coloriées / non coloriées se fait à parts égales.
(MH) est une hauteur du triangle MBC
(MH’) est une hauteur du triangle MAD
Aire non coloriée =
= Aire (MBC) + Aire (MAD)
= (BC x MH) / 2 + (AD x MH’) / 2
Or, dans un parallélo, les côtés opposés ont la même longueur donc BC = AD.
Aire non coloriée =
= (AD x MH) / 2 + (AD x MH’) / 2
= (AD x (MH+MH’)) / 2
Les trois points de M, H et H’ étant alignés, on a MH + MH’ = HH’
D’où : Aire non coloriée =
= (AD x HH´) / 2
= (Aire ABCD) / 2
L’aire non coloriée est donc égale à la moitié de l’aire du para ABCD.
Donc l’aire coloriée aussi.
Le partage se fait à aires égales quelque soit la position de M
Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
Décrire la procédure non numérique permettant à un élève de réussir la tache suivante :
- ranger les surfaces selon la taille de leur aire
- Procéder par superposition effective : enlever progressivement une partie de la figure en partant de la plus grande aire.
- B apparait comme la plus grande aire car elle contient toutes les surfaces….
Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
Décrire la procédure non numérique permettant à un élève de réussir la tache suivante :
- Comparer les périmètres des différentes surfaces en les classant
Toutes les figures ont quatre quarts de cercle de même rayon. Elles ont donc toutes le même périmètre.
Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
Décrire la procédure non numérique permettant à un élève de réussir la tache suivante :
Marius répond que le rangement est le même. Quel théo en acte mobilise-t-il ?
*Sachant qu’ils vient de classer les figures selon leurs aires.
“la surface ayant la plus grande aire a le plus grand périmètre”
–> ce théo en acte n’est vrai que pour un carré et un disque.
Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
L’enseignant propose à Marius de chercher (ensemble) un moyen de comparer aire et périmètre de 2 figures (B et C). Justifier le choix de l’enseignant.
aire :
- Visuellement, l’aire de B > C
périmètre :
- il est égal car B et C sont formés de 4 quarts de cercle de même rayon
- donc péri identique : 4 fois la mesure du quart de cercle.
Didactique : Ex sur les “cercles mangés”
1) Quel est l’objectif de l’enseignant quand il dit : Dessiner une figure ayant la même aire que la figure B (qui est un cercle) mais de péri différent.
2) Reproduire la figure
1)
- Montrer que le théo en acte “si 2 surfaces ont la même aire, elles ont le même péri” est faux
- Illustrer cela
2)
Faire une figure avec 4 quarts de cercle en les mettant n’importe comment. On voit que cette surface a 4 quarts de cercle et 2 rayons =/ cercle B qui a 4 quarts de cercle uniquement