Maths : Les Fonctions Flashcards

You may prefer our related Brainscape-certified flashcards:
1
Q

Sous quelle forme s’écrit une fonction affine ?

A

F(x) = ax + b

a et b sont 2 nombres

Exemple : f(x) = 2x - 4/5

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Les fonctions affines particulières :
Qu’est-ce qu’une :
fonction linéaire ?
fonction constante ?

A

Une fonction linéaire :
Une fonction où b = 0
Càd une fonction où y’a pas marqué b puisqu’il est = à 0

Exemple :
g(x) = ax
g(x) = 3x
—> une droite qui passe par l’origine

Une fonction constante :
h(x) = b
Exemple : h(x) = 4

—> droite parallèle à l’axe des abscisses

Le résultat est tjr b (4) car il n’y a pas de coef directeur (a) qui fait varier b en fonction de x.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Comment trouver “a” dans f(x) = ax + b en lisant un graphique ?

A

On prend 2 points du graphique qui ont une différence de 1 en abscisse

On part du 1er point, on fait +1 puis on regarde de combien on monte en ordonnée
Le nb en ordonnée est “a”

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Comment trouver “b” dans f(x) = ax + b en lisant un graphique ?

A

On lit graphiquement par où passe la droite sur l’axe des ordonnée

Le nb où elle passe est b

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Donner la représentation graphique de f(x) = x - 1
Si x = 3

A

Si x = 3
f(x) = f(3) = 3 - 1 = 2

Donc si x vaut 3, f(x) = 2
Donc le point A (3;2) appartient à (d)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Un micro-entrepreneur se lance dans la fabrication artisanale de confitures de fruits et il s’intéresse à la rentabilité de son entreprise.
1. La courbe en page suivante est la représentation graphique 𝐶𝑅 de la fonction 𝑅 qui modélise la recette obtenue (en euros) en fonction du nombre de pots vendus.

a. Quelle est la nature de cette fonction ? Justifier. On voit que la courbe est droite et passe par l’origine

A

C’est une fonction linéaire pcq
- elle est droite
- elle passe par l’origine

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Un micro-entrepreneur se lance dans la fabrication artisanale de confitures de fruits et il s’intéresse à la rentabilité de son entreprise. 1. La courbe en page suivante est la représentation graphique 𝐶𝑅 de la fonction 𝑅 qui modélise la recette obtenue (en euros) en fonction du nombre de pots vendus.

b. En utilisant le graphique, estimer le prix auquel le micro-entrepreneur a décidé de vendre un pot de confiture

A

On lit le graph.
On voit que pour 600 pots vendus, la recette est de 3000€. Prix de vente = recette / pot vendu = 3000/600 = 5€

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

On considère que tous les pots fabriqués sont vendus.
Les coûts de fabrication sont estimés par le microentrepreneur à 3,25 € par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de 500 €.
On note 𝑥 le nombre de pots vendus et 𝐹(𝑥) le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de 𝑥.
a. Exprimer 𝐹(𝑥) en fonction de x

A

𝐹(𝑥) = 3,25𝑥 + 500

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q
  1. On considère que tous les pots fabriqués sont vendus. Les coûts de fabrication sont estimés par le microentrepreneur à 3,25 € par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de 500 €. On note 𝑥 le nombre de pots vendus et 𝐹(𝑥) le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de 𝑥.

b. Dans le repère donné ci-dessus et sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction 𝐹.
Comment on fait ?

A

On utilise f(x) = ax + b

on remplace x par une valeur en abscisse au hasard (ex : 1000)
on remplace a par la recette : 3,25
on remplace b par 500 car c’est la variable qui ne bouge jamais

on résoud l’équation :
f(1000) = 3,25 x 1000 + 500
f(1000) =3250 + 500 = 3750

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Exo les confitures. Par lecture graphique, estimer le nombre de pots vendus à partir duquel le micro-entrepreneur dégage un bénéfice.

A

Quand la seconde courbe est au dessus de la première (qu’elle la coupe)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

On considère que tous les pots fabriqués sont vendus. Les coûts de fabrication sont estimés par le microentrepreneur à 3,25 € par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de 500 €. On note 𝑥 le nombre de pots vendus et 𝐹(𝑥) le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de 𝑥.

d. Trouver le résultat exact par un calcul.

A

La recette est supérieure aux coûts de fabrication se traduit par l’inéquation : 𝑅(𝑥) > 𝐹(𝑥)
R(x) est la 2e courbe qui représente ses recettes selon le nb de pots vendus et en ajoutant sa charge fixe.
et F(x) la première courbe qui représente ses benef selon le nb de pots vendus

Soit 5𝑥 > 3,25𝑥 + 500
5𝑥 − 3,25𝑥 > 500
1,75𝑥 > 500
𝑥 > 500/1,75
𝑥 > 285,71

C’est donc à partir de 286 pots vendus que le micro-entrepreneur dégagera un bénéfice

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

La figure ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, représente sept carrés dont les mesures des côtés, en centimètre, sont des nombres entiers consécutifs.
Les quatre plus petits carrés sont gris et les trois autres sont blancs.

On cherche s’il est possible de trouver des longueurs pour les côtés des carrés telles que la somme des aires des quatre carrés gris soit égale à celle des trois carrés blancs.

On envisage une résolution graphique. On choisit comme variable x la longueur en cm du côté du plus grand carré blanc. On admet que la somme des aires des carrés gris est : 4𝑥² − 36𝑥 + 86

Démontrer que l’expression algébrique/algébriquement de la somme des aires des carrés blancs est : 3𝑥² − 6𝑥 + 5.

A

Étant donné que les longueurs des côtés des trois carrés blancs sont, de droite à gauche, x, (x – 1) et (x – 2) (car les cotés des carrés sont des nb consécutifs donc qu’ils ont une différence de moins 1 et qu’on part du carré de droite qui est le plus grand pour aller vers le plus petit)

Utiliser les id remarquables :
(a+b)² = a² + 2 x a x b + b²
(a-b)² = a² - 2 x a x b + b² (on utilise celle-là ici)
(a+b) x (a-b) = a² - b²

les aires de ces trois carrés blancs valent 𝑥², (𝑥 − 1)² et (𝑥 − 2)².

La somme des aires des carrés blancs est :
𝑥² + (𝑥 − 1)² + (𝑥 − 2)²
= x² + 𝑥² − 2𝑥 + 1 + 𝑥² − 4𝑥 + 4
= 3𝑥² − 6𝑥 + 5.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Quelles sont les id remarquables :

A

Utiliser les id remarquables :

(a+b)² = a² + 2 x a x b + b²
(a-b)² = a² - 2 x a x b + b²
(a+b) x (a-b) = a² - b²

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Comment déterminer graphiquement, si la situation des sept carrés semble avoir des solutions.

A

On cherche graphiquement des points d’intersection entre les 2 courbes.
On en remarque un à (3 ; 0) et un à (27 ; 2000)

les 2 solutions sont nos 2 x càd 3 et 27.

Donc le plus grand des carrés à ses cotés de longueur 3 ou 27cm.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Soit x la valeur en °C d’une température, et y la valeur en °F de la même température.

On admet qu’il existe entre y et x une relation de la forme :
y = a x + b.

On sait que pour x = 0, y = 32
On sait que pour x = 10, y = 50

Déterminer a et b.

A

Pour x = 0, on a y = 32
d’où : a x 0 + b = 32
donc b = 32

Pour x = 10, on a y = 50
d’où
a x 10 + 32 = 50
1,8 x 10 + 32 = 50

Donc y = a x + b
donc y = 1,8 x + 32

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Quelle propriété caractéristique des fonctions affines permettait de prévoir que la relation entre °C et °F est une fonction affine ?

A

Il y a tjr le même écart d’entre les valeurs en F et en C
La gradation est régulière en F et en C

17
Q

Deux échelles de repérage de la température sont principalement utilisées : l’échelle Celsius et l’échelle Fahrenheit. La température de la glace fondante correspond à 0 degré Celsius (°C) et à 32 degrés Fahrenheit (°F). La température d’ébullition de l’eau correspond à 100°C et à 212° F. Les deux échelles sont régulières.

Le thermomètre indique 25°C. a. Calculer la valeur correspondante en °F

A

pour x = 25
y = ax + b

on sait que :
a=1,8
x = 25
b = 32

y = 1,8 x 25 + 32 = 77 F

18
Q

On considère le carré ABCD ci-dessous de 10 cm de côté qui a été partagé comme indiqué sur le schéma en quatre triangles ADM, AML, ALB et MCL.

L est un point du segment [BC] et M est le point du segment [CD] tel que DM = BL. On note x la longueur, en centimètre, du segment [BL]

a. Déterminer, en fonction de x, l’aire des triangles blancs ADM et ABL, exprimée en centimètre carré.

A

ADM et ABL sont des triangles rectangles.

La formule de l’aire d’un triangle rectangle est l’aire d’un demi-rectangle de longueur L et de largeur l.

D’où : 𝐴ire (𝐴𝐷𝑀)
= 1/2 × 𝑥 × 10 = 5𝑥.

De la même manière : 𝐴ire (𝐴𝐵𝐿) =
1/2 × 𝑥 × 10 = 5𝑥.

19
Q

On considère le carré ABCD ci-dessous de 10 cm de côté qui a été partagé comme indiqué sur le schéma en quatre triangles ADM, AML, ALB et MCL. L est un point du segment [BC] et M est le point du segment [CD] tel que DM = BL. On note x la longueur, en centimètre, du segment [BL].

b. En déduire que l’aire du quadrilatère AMCL, exprimée en centimètre carré, en fonction de x, est égale à 100 − 10𝑥.

A

Pour calculer l’aire de AMCL, on procède en soustrayant à l’aire du carré ABCD l’aire des deux triangles rectangles ADM et ABL.

𝐴(𝐴𝑀𝐶𝐿) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − (𝐴(𝐴𝐷𝑀) + 𝐴(𝐴𝐵𝐿))
= 10² − (5𝑥 + 5𝑥) = 100 − 10x

20
Q

On considère le carré ABCD ci-dessous de 10 cm de côté qui a été partagé comme indiqué sur le schéma en quatre triangles ADM, AML, ALB et MCL. L est un point du segment [BC] et M est le point du segment [CD] tel que DM = BL. On note x la longueur, en centimètre, du segment [BL].

Exprimer l’aire, en centimètre carré, de la partie hachurée MCL, en fonction de x

A

Comme les points D, M, C sont alignés,
on a MC = CD – DM
= 10 – x.
De même CL = 10 – x.

Le triangle MCL est donc rectangle isocèle et son aire vaut, en cm² : 1/2 × (10 − 𝑥)².

21
Q

b. Montrer que l’aire du triangle grisé AML, exprimée en centimètre carré, est égale à 50 − (𝑥² / 2)

A

On procède par soustractions d’aire :
𝐴(𝐴𝑀𝐿) = 𝐴(𝐴𝐵𝐶𝐷) − 𝐴(𝐴𝐷𝑀) − 𝐴(𝐴𝐵𝐿) − 𝐴(𝑀𝐶𝐿)
= 10 ² − (5𝑥 + 5𝑥 + (10 − 𝑥)²)
= 100 − 10-𝑥 /2) × (102 − 2𝑥 × 10 + 𝑥² )
= 100 − 10𝑥 − 1 2 × (100 − 20𝑥 + 𝑥² )
= 100 − 10𝑥 − 50 + 10𝑥 − 1/2 𝑥²
= 50 − 1/2 𝑥²

22
Q

Déterminer la position de M pour que le périmètre du rectangle DEMN soit égal à la moitié du périmètre du rectangle ABCD

On sait que :
péri ABCD = 34 cm
péri DENM = 34 - 4x

A

Péri DENM
= péri ABCD / 2
= 2x(10+7) = 17

Équation :
4x = 17
x = 17/4
x = 4,25

Le point M doit se situer à 4,25cm de A.

23
Q

On nomme 𝑓 la fonction qui à 𝑥 associe l’aire (en cm²) du rectangle AMNP.
Démontrer que 𝑓(𝑥) = 10𝑥 − 𝑥²

On sait que :
AM = 10 - x
AP = x

A

L’aire d’un rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur :
𝐴𝑖𝑟𝑒𝐴𝑀𝑁𝑃 = 𝐴𝑀 × 𝐴𝑃
𝐴𝑖𝑟𝑒𝐴𝑀𝑁𝑃 = (10 − 𝑥) 𝑥
𝐴𝑖𝑟𝑒𝐴𝑀𝑁𝑃 = 10𝑥 − 𝑥 2
𝐴𝑖𝑟𝑒𝐴𝑀𝑁𝑃 = 𝑓(𝑥)