Algèbre Sup

Question 0

(G,*) groupe

Answer 0

1 : * est associative : a*(b*c) = (a*b)*c 2 : il existe un unique élément neutre e tel que e*a = a*e = a 3 : il existe un unique symétrique a’ pour tout element a de G tel que a*a’ = a’*a = e

Question 1

Ensemble

Answer 1

A une loi

Question 2

(G,*) groupe abélien

Answer 2

* est commutatif (a*b) = (b*a)

Question 3

Caractérisation d’un sous groupe

Answer 3

H sous groupe de F ssi H inclue dans F H <>vide H stable par la loi du groupe H stable par symetrie Toute intersection de sous groupes est un sous groupe

Question 4

Morphismes de groupes

Answer 4

f appli de (G,*) dans (F,^) morphismes de groupe ssi f(a*b) = f(a)^f(b)

Question 5

F injective

Answer 5

Ker(f) = element neutre

Question 6

(A,+,x) anneau

Answer 6

1 : (A,+) commutatif 2 : x associative et distributive par rapport a + 3 : les elements neutres des deux lois sont différents Intègre si axb= 0 => a= 0 ou b= 0

Question 7

Groupe unité d’un anneau

Answer 7

Ensemble des éléments inversibles par la multiplication

Question 8

(K,+,x) corps

Answer 8

(K,+,x) anneau (K privé de son élément neutre, x) groupe

Question 9

Espace vectoriel

Answer 9

(E,+) groupe commutatif et . Loi externe tel que a.(x+y) = a.x+a.y (a+b).x = a.x + b.y 1.x = x (axb).x = a.(b.x)

Question 10

Isomorphisme Endomorphisme Automorphisme

Answer 10

Appli linéaire de E dans F Appli linéaire de E dans E Appli linéaire bijective de E dans dans E

Question 11

Carractérisation d’un sous espace vectoriel

Answer 11

F inclu dans E ssev de E ssi F non nul F stable par scalaire F stable par addition Intersection de ssev est un ssev

Question 12

Dim (ExF)

Answer 12

= dim(E) + dim(F)

Question 13

Dim(E+F) (grossman)

Answer 13

= dim(E) + dim(F) -dim(E inter F)

Question 14

dim(F^n)

Answer 14

= n x dim(F)

Question 15

Théorème du rang

Answer 15

si : f est linéaire de E dans F, 2 evdim finies alors : dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E)

Question 16

Théorème de la base incomplète

Answer 16

En dimension finie toute famille libre d’un ev peut être complétée par une autre famille telle que la réunion de ces deux familles soit une base de l’ev

Question 17

Méthode de Gauss pour le rang d’une famille

Answer 17

Rg de l’application est le nombre de pivots non nuls

Question 18

Division Euclidienne

Answer 18

Pour tout polynomes A,B il existe un unique couple de polynomes Q,R tel que A=BQ+R avec deg(R)<deg></deg>

Question 19

Formule de Taylor pour les Polynomes

Answer 19

P(x) = Σ₀ⁿ(x-a)^k x Dk(P)(a) / k!)

Question 20

Théorème de D’alembert Gauss

Answer 20

Tout polynome de degré n admet exactement n racines dans C[X]

Question 21

Determinant d’une matrice carré

Answer 21

=Σ_σ E(s) π a(σ(j),j)

Question 22

Matrice inverse

Answer 22

A^(-1) = tA*/det(A) Avec A* = ((-1)^(i+j) x det(A(i,j)))

système A.B=I

Gausse Jordan

Question 23

Résolution des systèmes de Cramer

Answer 23

Xj = det(C1, … , B , … , Cn) / det(C1 , … , Cj , … , Cn)

Question 24

Produit scalaire

Answer 24

Forme bilinéaire symetrique definie positive

Question 25

Ev pré hilbertien Euclidien

Answer 25

Pré Hilbertien = dim finie muni d’un produit scalaire Euclidie = pré hilbertien réel

Question 26

Formules de Polarité

Answer 26

<u.v> = (||u+v ||^2 - ||u ||^2 - ||v ||^2)/2<span>= (||u + v ||^2 - || u - v||^2)/4</span></u.v>

Question 27

Théorème de Pythagore

Answer 27

Si (ui) famille orthognale de vecteurs alors ||Σ(ui)||^2 = Σ(||ui||^2)

Question 28

Bases orthonormées en ev euclidien

Answer 28

tout espace vectoriel euclidien admet des bases orthonormées

Question 29

Distance à un sous espace vectoriel

Answer 29

d(u,F) = Inf (d(v,u), v dans F ) = II u - p_F(u) II

uniquement dans un espace vectoriel euclidien

Question 30

Endomorphisme orthogonal

Answer 30

definition : conserve la norme et le produit scalaire

matriciellement ^tA.A = A^tA = I

Question 31

Matrice de rotation dans le plan

Answer 31

cos (a) - sin(a)

sin(a) cos(a)

Question 32

Matrice de symétrie par rapport à une droite dans le plan

Answer 32

cos(a) sin(a)

sin(a) -cos(a)

Question 33

Etude d’une rotation dans l’espace

Answer 33

1 : verification que A orthogonale ^tA.A = I ou conservation de la norme et du produit scalaire

2 : verification que c’est une rotation det(A) = 1

3 : tr(f) = 2cos(a) + 1

4 : det(u,f(u),n) est de même signe que sin(a)

expression générale d’une rotation dans l’espace

r(u) = <u.x>.x + cos(a)((u^x)^x) + sin(a)(u^x)</u.x>

Question 34

Matrices de passages

Answer 34

A matrice de f dans E

B matrice de f dans E’

P matrice de passage de E vers F

B = P^-1AP

pour une forme bilinéaire

B = ^tPAP

Question 35

similitudes

Answer 35

f similitude<=> pour tout a,b de E IIf(a)-f(b)II = k IIa-bII

les similitudes se décomposent en une rotation et une homothétie

Question 36

A matrice inversible

Answer 36

<=> f automorphisme <=> rg(f) = rg(A) =dim E

<=> polynome annulateur minimale de U a une valuation non nulle

<=> det(A) = det(f) <> 0

Question 37

calcul de Aⁿ

Answer 37

Binôme de Newton si ca commute

division euclidienne de Xⁿ par un polynome annulateur de A

Question 38

Transposée

Answer 38

^to^t=I

^t(AB) = ^tA^tB

Question 39

trace

Answer 39

tr(AB) = tr(BA)

tr(^tA) = tr(A)

Question 40

décomposition de matrices en matrices symétriques et en matrices antisymétriques

Answer 40

symétrique ^tA=A

antisymétrique ^tA=-A

A = (^tA+A)/2 + (A-^tA)/2

symétrique antisymétrique