intégrales impropres

Question 1

Convergences des intégrales impropres complexes

Answer 1

elles convèrgent si et seulment si l’intégrale de la partie entière et de la partie imaginaire convèrgent

Question 2

intégrale convergente

Answer 2

une intégrale sur ]a,b[ converge si et seulment si la limite de cette intégrale lorsque ses bornes tendent vers a et b

Question 3

intégrales de référence

Answer 3

[1,infini] 1/t^a cv <=> a > 1

[0,1] 1/t^a cv <=> a < 1

[0, infini] e^-at cv <=> a<0

[0,1] ln(t) cv et égale 1

Question 4

integration par partie impropre

Answer 4

rédiger avec des bornes

Question 5

caractérisation séquentielle

Answer 5

intégrale sur [a,b] converge si et seulment si pour toute (xn) de limite b intégrale sur [a,xn] existe pour tout n

Question 6

comparaisons d’intégrales impropres

Answer 6

si f<g></g>

<p>si int(f) dv alors int(g) dv</p>

<p>si int(g) cv alors int(f) cv</p>

</g>

Question 7

intégrales absolument convergentes

Answer 7

int(f) convege absolument <=> int(IfI) converge

f Cm par morceaux sur I est intégrable sur I <=> int(f) converge absolument sur I

Question 8

méthode Théorème de changement de Variable

Answer 8

Il faut un C¹ difféomorphisme et en préciser les ensembles de départs et d’arriver

Question 9

Théorème de convergence dominée

Answer 9

si : 1 : (fn) converge simplement sur I vers f continue par morceaux sur I

2 : il existe g continue par morceaux et intégrable sur I

3 : pour tout n IfnI <= g

alors : 1 : f intégrable sur I

2 : pour tout n fn intégrable sur I

3 : int(fn) est une suite convergente de limite int(f)

4 : lim(int(fn)) = int(lim(fn))

Question 10

Théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions

Answer 10

si : 1 : Σfn converge simplement sur I vers f

2 : il existe L intégrable sur I

3 : pour tout n I Σⁿfn I < L

alors : 1 : Σint(fn) série convergente

2 : Σfn est intégrable sur I

3 : Σint(fn) = int(Σfn)

Question 11

Théorème d’intégration terme à terme

Answer 11

si : Σfn converge simplement sur I vers une fonction continue par morceaux et Σint(IfnI) est convergente

alor : f=Σfn est intégrable sur I et int(f) = Σint(fn)

Question 12

Théorème de continuité sous le signe intégrale

(intégrale dépendant d’un paramètre)

Answer 12

si : 1 : pour tout x de I, f(x, .) : t -> f(x,t) Cm sur J

2 : pour tout t de J, f(. ,t) : x -> f(x,t) Cm sur I

3 :il existe L Cm de J telle que pour tout (x,t) de IxJ If(x,t)I<=L(t) et L intégrable sur J

alors : g : x -> int(J,f(x,t)dt) est définie continue sur I

Question 13

Théorème de dérivation sous le signe intégrale

Answer 13

si : 1 : df/dx définie sur IxJ

2 : pour tout x de I f(x, ;) de df(x,;)/dx Cm sur J et intégrable sur J

3 : pour tout t de J f(. ,t) de df(. ,t)/dt continues sur I

4 : il e”xiste L Cm sur J / Idf(x,t)/dxI < L(t)

5 : L intégrable sur J

alors : g : x -> int(f(x,t)dt) est C¹ sur I et

g’(x) = int(df(x,t)/dx)

Question 14

formule de Strirling

Answer 14

n! = (2πn)