Analyse sup Flashcards
décomposition pair impair
p(x) = (f(x)+f(-x))/2
i(x) = (f(x)-f(-x))/2
f-1’(x)
1/f’(f-1(x))
Formules de Liebnitz
(fg)(n) = Σ(nk)f(k)g(n-k)
Théorème de Rolle
si : a
alors : il existe c dans ]a,b[ tel que f’(c) = 0
Acroissements Fini
si : f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
alors : il existe c dans ]a,b[ tel que
(f(b) - f(a))/(b-a) = f’(c)
Taylor Lagrange
si : f est Cn([a,b]) et Dn+1(]a,b[)
alors : il existe c dans ]a,b[tel que pour tout x dans ]a,b[
f(x) = Σ(x-a)k f(k)(a)/k! + (x-a)n+1 x f(n+1)(c)/(n+1)!
Suite de Reiman
Un = (b-a)/n x Σf(a+i (b-a)/(n+1) )
et lim Un = int(a->b, f)
Calcule d’intégral cos sin
linéarisation
IPP et récurence
changement de varaible u = sin(t)
Calcule d’intégrale fractions rationelles
décomposition en éléments simples
factorisation du dénominateur
Règle de Bioche
quotients de fonctions trigonométriques
si t -> -t donne dt =dt alors u = cos(t)
si t -> π -t donne dt=dt alors u = sin(t)
si t-> t + π donne dt=dt alors u =tan(t)
Calculme d’intégral de racines de polynomes
(1+ u2)1/2 -> u = tan(x) ou u = sh(x)
(1-u2)1/2 -> u = cos(x)
(u2-1)1/2 -> u = sh(x)
stricte positivité de l’intégrale
si : f est superieur ou égale a 0, continue, et f est non nulle
alors : int(f) strictement superieur à 0
Taylor reste intégrale
si : f est Cn+1([a,b])
alors : pour tout x dans [a,b] on a
f(b) = Σ(x-a)k f(k)(a)/k! + int(a->x, (x-t)nf(n+1)(t) dt )
Convexité
pour tout x,y et t dans [0,1] et f(tx + (1-t)y) =< tf(x) + (1-t)f(y)
x < y < z (f(y)-f(x))/(y-x) =< (f(z) - f(x))/(z-x) =< (f(z) - f(y))/(z-y)
inégalité de Jansen Σai = 1
et f(Σaixi) =< Σaif(xi)
Etude d’une suite récurente
etude des valeurs permises pour Uo
points fixes = limites ssi f est continue
