Calcul Différentiel Flashcards by Gaspard de Saint Sernin

Comment note-t-on la dérivée partielle de f par rapport à la i-ième variable, évaluée en a ?

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Qu’appelle-t-on une fonction de classe C1 sur U

f est dite de classe C1 sur U si ses dérivées partielles d’ordre 1 existent et sont continues sur U.

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Qu’appelle-t-on la différentielle d’une fonction f en un point a ?

On peut la voir soit comme une matrice ligne (∂1f(a) — ∂pf(a)) (le gradient), soit comme une application :

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Qu’appelle-t-on la i-ème fonction partielle de f en un point a ?

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Qu’appelle-t-on la fonction partielle de f en un point a suivant un vecteur u ?

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Quel est le lien entre la continuité de f et la continuité de ses fonctions partielles ?

La continuité est une continuité quelle que soit la manière d’approche, donc y compris en s’approchant selon n’importe quelle ligne droite

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La continuité de toutes les fonctions partielles implique-t-elle la continuité de f ?
Justif

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Qu’appelle-t-on une dérivée partielle d’ordre 1 ?

On rappelle que Φi : h → f(a + h.ei)

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Exprimer ∂f/∂x, ∂f/∂y et ∂f/∂z en (x0, y0, z0)

f0 = f(x0, y0, z0)*

Ce sont des manières particulières d’approcher selon les droites d’une base donnée

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Quelle équation aux dérivées partielles vérifie (x,y) → Arcsin(y/x) ?
Justif

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L’existence des dérivées partielles implique-t-elle la continuité de la fonction ?
Justif

On fait en fait implicite l’expression de la dérivée comme d’une limite pour justifier qu’elles sont nulles

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Définir la dérivée suivant un vecteur

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Définir une fonction de classe C1 sur U un ouvert de IR^p

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Que dire de la combinaison linéaire et du quotient de fonction de classe C1 sur U un ouvert de IR^p ?

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Pourquoi toute fonction rationnelle de plusieurs variables est-elle de classe C1 sur son ensemble de définition?

Comme quotient de deux fonctions polynomiales, donc de classe C1, ne s’annulant pas

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Qu’est-ce que la propriété de classe C1 de composition par une fonction d’une variable réelle ?
Justif

φof est de classe C1 sur U, et ∀i, ∂i(φof) = (φ’of) × ∂if

Le premier on sait que : parce que a€U et U est ouvert donc il existe une boule autour de a qui est incluse dans U

On a montré que la composition de f par φ se retrouve dans les fonctions partielles de g, la propriété en découle immédiatement au vu de la définition des fonctions partielles

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Qu’appelle-t-on un développement limité d’ordre 1 en un point a d’une fonction de IR^p dans IR ?

DL : pour tout h dans un voisinage de a, f(a+h) = f(a) (partie constante) + dfa•h (partie linéaire) + o(||h||)

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On considère f : (x,y) → x².exp(x + 2y - 1) au point (1,0), déterminer le DL1 de f en a, sans calculer les dérivées partielles

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Qu’est-ce que donne l’existence du développement limité d’ordre 1 ?

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Retrouver le DL en passant par les dérivées partielles

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La continuité de f implique-t-elle l’existence du DL ?
Justif

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L’existence des dérivées partielles de f implique-t-elle l’existence du DL ?
Justif

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Montrer que cette fonction n’admet pas de DL en (0,0)

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Quel est le lien entre classe C1 et DL ?
Justif

L’existence du DL implique l’existence des dérivées partielles mais pas forcément leurs continuité !

Ainsi :

Classe C1 ⇒ Existence du DL1
La réciproque est fausse : le DL1 implique l’existence des fonctions partielles mais pas forcément leur continuité

C1 (existence ET continuité des dérivées partielles) est plus fort que DL1, qui est plus fort que la simple existence des dérivées partielles

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Qu’appelle-t-on la différentielle d’une fonction de classe C1 ? Que représente-t-elle ? Comment l’exprimer matriciellement ?

Comment noter le DL avec la différentielle ?

Qu’appelle-t-on la règle de la chaine pour les dérivées partielles ? Quel est son intérêt ?

On peut aussi l’écrire g’(t) = df_M(t)•(M’(t))

Qu’appelle-t-on la règle de la chaine pour les dérivées partielles ? Justif

Schématiser la composée f(x,y) d’une fonction f de IR² dans IR et de fonction x et y de IR² dans IR ?

Dans quel cas (et comment) peut-on dériver g ? Justif

Qu’est-ce que la caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe U de IR^p à valeurs dans IR ? Justif

En gros si les dérivées partielles sont toutes nulles, f prend la même valeur sur chaque segment qui relie deux points de U (comme U est convexe c’est possible), donc en tout point de U

Exprimer les dérivées partielles de g par rapport à ρ et à θ en fonction de celles de f par rapport à x et y et inversement

Les dérivées partielles de g s’évaluent en (ρ, θ) et celles de f en (ρ.cos(θ), ρ.sin(θ))

Qu’appelle-t-on le gradient en a d’une fonction f de classe C1 d’un ouvert de IR^p dans IR ?

C’est juste la représentation vectorielle de la différentielle

Quelle est l’interprétation de la différentielle en termes de gradient ? Comment réécrit-on alors le DL1 en fonction du gradient ?

C’est l’unique vecteur vérifiant cela

Quel sens donner au gradient ?

Qu’appelle-t-on la courbe d’équation f(x,y) = 0 ?

Qu’appelle-t-on le paramétrage d’une courbe ? En quoi est-ce différent d’une courbe ?

Qu’appelle-t-on un point régulier d’une courbe ? Qu’est-ce que ça signifie ?

Qu’appelle-t-on un paramétrage local d’une courbe au voisinage d’un point ? Que peut-on dire de son existence en un point régulier ?

En gros on paramètre bien une portion entière de la courbe mais que sur une boule δ autour de A

Justifier qu’il y a un paramétrage local en tout point du cercle unité. Donner : - un paramétrage global - un paramétrage local en (0,1) - un paramétrage local en (1,0) - un paramétrage local en (0,-1)

Que peut-on dire de la courbe d’une fonction de deux variables au voisinage d’un point régulier ?

Définir et expliquer la définition de la tangente en un point d’une courbe

t → M(t)*

Qu’appelle-t-on la normale à une courbe en un point A ?

Qu’appelle-t-on la ligne de niveau d’une fonction f de IR² dans IR de classe C1 ?

Quel est le lien entre le gradient et les lignes de niveaux ?

Qu’appelle-t-on la surface d’équation f(x,y,z) = 0 ?

Qu’appelle-t-on un point régulier sur la surface f(x,y,z) = 0 ? Qu’appelle-t-on une surface régulière ?

Qu’appelle-t-on un arc tracé sur une surface ? Que peut-on dire de la tangente en un point d’un tel arc ? Justif

Qu’appelle-t-on un plan tangent en un point régulier d’une surface ?

Définir les dérivées partielles d’ordre 2

∂_i,j²f(a)*

Définir une fonction de classe C2 sur un ouvert de IR^p

Qu’est-ce que le théorème de Schwarz

Définir un maximum global, un minimum global et un extremum global

Définir un maximum local, un minimum local et un extremum local

Définir un point critique

Quel est le lien entre extremum et point critique ? À quoi faut-il faire attention ?

Attention ! L’étude des points critiques permet donc de déceler les candidats extremum **uniquement sur un ouvert et là où la fonction est de classe C1**. Si on cherche les extremums sur un ensemble fermé ou sur un ensemble ou la fonction n’est pas de classe C1 partout, **il ne faut pas oublier de chercher "à la main" les extremums sur le bord et sur les points où la fonction n’est pas de classe C1 !**

Si on a un point critique, a-t-on forcément un extremum ? Justif

De tels points s’appellent des « points col » ou « points selles »

Qu’appelle-t-on la règle de la chaine pour les dérivées partielles ? Justif

Définir la matrice Hessienne

Définir le DL2

Le dernier terme donne la somme des 1/2 × ∂_i,jf(a) × h_i², on retrouve le DL2 si p = 1

Comment déterminer les maximums et minimum d’une fonction à p variables de classe C2 sur un ouvert de IR^p ? Dans quel cas ?

- chercher les points critiques (annulations de la différentielle) Pour chaque point critique a : - écrire le DL2 f(a+h) - f(a) - regarder le signe des valeurs propres de Hf(a) - si Hf est strictement positive, f(a+h) - f(a) > 0, cad f(a) est un minimum local - si Hf est strictement négative, c’est l’inverse - sinon on ne peut pas conclure

Comment déterminer les maximums et minimum d’une fonction à p variables de classe C2 ? Dans quel cas

- chercher les points critiques (annulations de la différentielle) - pour chaque point critique, regarder « à la main » le signe de f(x0) - f(x0 + h)

Comment déterminer le signe des valeurs propres d’une matrice de taille 2 ? Dans quel cas ?

**1. Si le déterminant est strictement négatif :** on a un point col **2. Si le déterminant est positif :** - det = λ1.λ2, donc les valeurs propres sont de même signe - elles sont donc du signe de la trace car tr = λ1 + λ2

Que donne en notations mathématiques de limites le fait que « la continuité de f selon x et selon y n’implique pas forcément la continuité de f selon (x,y) » ?

Définir la dérivée directionnelle

Quel est le lien entre la différentielle et la dérivée directionnelle ? Expliquer intuitivement

- la dérivée directionnelle donne la pente (qui caractérise donc une sorte de tangente, une droite) dans une certaine direction, qu’on peut regarder en chaque point - la différentielle, en un point, donne l’approximation linéaire (donc selon une droite, une sorte de tangente aussi) de la variation de f pour chaque petit déplacement (donc qu’on peut regarder pour chaque vecteur, donc chaque direction), Ce que dit le théorème est donc que : regarder l’évolution de f selon une direction v# puis l’observer au point a OU regarder l’évolution de f au point selon chaque direction puis regarder selon la direction v#, ça revient au même. La différentielle regroupe, pour chaque point, l’ensemble des dérivées directionnelles.

Que vaut la différentielle de la combinaison linéaire, du produit et du quotient de fonctions de classe C1 ?

Comment écrire matriciellement cette dérivée ?

Comment s’exprime le gradient dans une base orthonormale ?

Comment se réécrit la règle de la chaine avec le gradient ? Quelle interprétation en faire ?

Qu’appelle-t-on la matrice Hessienne de f en a ?

Qu’est-ce que la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 ?

Définir un maximum et un minimum global pour une fonction de IR^p dans IR, un maximum et un minimum local pour une fonction de IR^p dans IR

Qu’appelle-t-on la condition nécessaire du premier ordre ?

Qu’appelle-t-on un point critique ? Un point col ?

Comment une fonction peut-elle admettre un extremum en un point qui n’est pas critique ? Donner un exemple

Illustrer un point col et illustrer un maximum non critique

Qu’appelle-t-on la condition nécessaire du second ordre ?

Qu’appelle-t-on la condition suffisante du second ordre ?

À quoi faut-il faire attention avec la condition nécessaire du second ordre ?

Il ne faut pas penser que c’est une équivalence ! Il faut bien qu’elle soit **définie positive** pour pouvoir appliquer la condition suffisante du 2e ordre

Qu’est-ce que le cas particulier de la condition suffisante du second ordre dans le cas n=2 ?

(C’est juste le truc qu’on fait avec le déterminant et la trace de la Hessienne : r.t - s² est son déterminant et r + t est sa trace

Donner un exemple de fonction de point col, justif

Rappeler les différentes implications entre existence des dérivées partielles, classe C1 et existence du DL1

La classe C1 (existence et continuité des dérivées partielles) est plus forte que l’existence du DL1, qui est plus fort que la simple existence des dérivées partielles

À quelle condition peut-on définir la différentielle en a d’une fonction définie d’un ouvert de IR^p dans IR ?

Si et seulement si elle admet un DL1 en a

Si on a une fonction définie « par morceaux », par exemple avec une valeur particulière en (x,y) = (0,0), comment calculer sa dérivée par rapport à y en ce point ?

- On ne peut pas calculer ∂f/∂x(0,y) puis faire tendre y vers 0, il faut pour cela que f soit C1 (ou au moins que y → ∂f/∂x(0,y) soit continue) - La seule méthode générale est de repasser par un taux d’accroissement

À quelle condition le théorème de Schwarz est-il valide ?

Seulement si la fonction est de classe C2 !!

Comment procéder pour montrer qu’une fonction de plusieurs variables (sur les endroits simples où on n’a pas de problème etc) est de classe C1 ?

Comme les fonctions d’une variable : on montre qu’elle est la combinaison linéaire, le produit, la composée etc de fonctions de classe C1

Si on a une fonction f qui prend en entrée des variables x et y, et qu’on nous dit de faire le changement de variable φ(x,y) = (X,Y), avec X(x,y) = … et Y(x,y) = … quelle fonction poser ?

Par exemple si f : (x,y) → 2.x + 3.y et qu’on veut faire le changement φ(x,y) = (2.x , 2.y), on pose f~ : (X,Y) → X + 3/2 × Y. Ainsi, f = f~oφ