Rappels De SUP Du Cours De LLG

Question 1

Quel raisonnement utiliser si on veut montrer quelque chose qui s’exprime comme une négation (par exemple qu’un nombre est irrationnel) ?

Answer 1

On raisonne par l’absurde

Question 2

Quel raisonnement utiliser si on veut montrer l’existence d’un objet qu’on ne peut pas expliciter, on sait juste qu’il existe ?

Answer 2

On raisonne par l’absurde

Question 3

Quel raisonnement utiliser pour déterminer l’ensemble des éléments qui vérifient une certaines propriété ?

Answer 3

On raisonne par analyse-synthèse

Question 4

Si on n’a pas directement la démarche à suivre pour montrer une propriété, que faire ?

Answer 4

• la comprendre : essayer pour des petites valeurs
• expliciter mathématiquement les hypothèses et la propriété qu’on veut montrer

Question 5

Comment montrer les propriétés du type «il existe un unique …» ?

Answer 5

On sépare existence et unicité :

• si c’est un truc théorique, formel, l’existence se montre par l’absurde
• si c’est un truc pratique, l’existence peut se montrer en explicitant l’élément (analyse-synthèse)
• pour l’unicité, on suppose qu’on a deux éléments qui vérifient la propriété et on montre qu’ils sont égaux

Question 6

Si z ≠ λ, développer en série entière 1/(z-λ)

Answer 6

Question 7

Développer en série entière 1/(a-exp(i.θ)), si a≠1, pour tout θ dans IR

Answer 7

Question 8

À quoi faut-il penser pour calculer une somme avec des coefficients binomiaux ?

Answer 8

À la formule de binôme de Newton, appliquée en certains points

Question 9

Comment exprimer la somme des pairs à partir de la somme de tous ?

Answer 9

Question 10

Soit (ai)i€[|1,n|], exprimer la somme des ai, le tout au carré

Answer 10

C’est comme la covariance de la somme : c’est parce que le produit aussi est bilinéaire (on fait le produit de la somme)

Question 11

Si on rencontre le polynôme X² + a.X + 1, a€IR, que peut-il être intéressant de poser ?

Answer 11

Question 12

Quelles sont les racines du polynôme translaté ?
Justif

Answer 12

Visuellement c’est évident

Question 13

Quelles sont les racines du polynôme «miroir» ?
Justif

Answer 13

Question 14

Comment montrer qu’un polynôme non nul de degré n admet au plus n racine comptées avec multiplicité ?

Answer 14

Sinon il serait divisible par tous les (X-λ)^mλ, avec λ les racines et mλ leurs multiplicités, et il serait de degré supérieur à n

Question 15

Donner la forme factorisée de Xⁿ - 1

Answer 15

Question 16

Donner les trois caractérisation de la multiplicité d’une racine

Answer 16

Question 17

Montrer l’équivalence entre les propriétés

Answer 17

Question 18

Comment lier la multiplicité d’une racine de P à sa multiplicité en tant que racine de P’ ?
Justif

Answer 18

Question 19

Montrer l’unicité des polynômes de Tchebychev

Answer 19

Question 20

Que peut-on dire de P de degré n si on lui a trouvé n racines ?

Answer 20

Question 21

Answer 21

Question 22

Answer 22

Question 23

Answer 23

Question 24

Answer 24

Question 25

Quel est le comportement d’un polynôme au voisinage d’une de ses racines ? Qu’en déduit-on ?

Answer 25

Question 26

Si on a un polynôme de degré supérieur à 2, on ne peut en général pas le factoriser, mais on peut déterminer son nombre de racines et les localiser, comment ?

Answer 26

On dérive et selon les cas on regarde les variations de la dérivée. Une fois qu’on a ces intervalles, on peut regarder si P est au-dessus ou en-dessous de 0 aux bornes de chacun et en déduire d’après le théorème de la bijection le nombre de racines et les intervalles auxquels elles appartiennent.

Question 27

Answer 27

Question 28

Answer 28

Question 29

Que peut-on dire de P’ si P est un polynôme réel scindé à racines simples ? Justif

Answer 29

Question 30

Montrer que si P est scindé à racines simples :

Answer 30

Question 31

Que peut-on dire de la dérivée d’un polynôme scindé ? Justif

Answer 31

Question 32

Answer 32

Question 33

Écrire l’ensemble des racines n-ième de l’unité

Answer 33

Question 34

Comment trouver les racines n-ième d’un nombre complexe ?

Answer 34

Ainsi : si on a une racine on les a toutes

Question 35

Comment résoudre z² = a + i.b ?

Answer 35

On pose z = a’ + i.b’, on développe tout et on a l’égalité des parties réelles et imaginaires.

Question 36

Factoriser le polynôme Xⁿ - z0ⁿ

Answer 36

D’après les racines n-ième de z0ⁿ, car z0 est lui-même solution

Question 37

Factoriser le polynôme X² + X + 1 en justifiant. Que peut-on dire de manière plus générale ?

Answer 37

Question 38

Justif

Answer 38

Question 39

Que peut-on dire des racines d’un polynôme pair ? Justif

Answer 39

Question 40

Que peut-on dire de particulier des racines d’un polynôme à coefficients réels ? Justif

Answer 40

Car alors ak = ak\ pour tout k et donc P =P\

Question 41

Factoriser ce polynôme

Answer 41

Question 42

Comment effectuer la décomposition en polynômes irréductibles d’un polynôme dans IR ?

Answer 42

Question 43

Que peut-on dire du nombre de racines réelles d’un polynôme réel en fonction de son degré ? Justif

Answer 43

Le nombre de racines réelles, comptées avec multiplicité, est de même parité que le degré du polynôme. En effet, le nombre de racines complexes est pair puisqu’elles sont conjuguées deux à deux, celles qui restent sont les racines réelles

Question 44

Que peut-on dire de particulier des racines d’un polynôme réel de degré impair ?

Answer 44

Il est admet au moins une, puisque le nombre de racine est de la même parité que le degré il ne peut pas en avoir 0

Question 45

Factoriser Xⁿ - 1 dans IR[X]

Answer 45

Question 46

Exprimer le déterminant de l’image d’une famille

Answer 46

Question 47

Qu’est-ce que la matrice de Van Der Monde ? Que représente-t-elle ? En déduire l’expression de son inverse, si elle est inversible.

Answer 47

Question 48

Qu’est-ce que le déterminant de Van der Monde ? Démontrer par récurrence

Answer 48

Question 49

Justifier l’existence et l’unicité des polynômes de Lagrange

Answer 49

Question 50

Qu’est-ce que le déterminant de Van der Monde ? Démontrer par récurrence

Answer 50

Question 51

Quel est le lien entre les polynômes de Lagrange et la base canonique de IKⁿ ?

Answer 51

(u(L1), …, u(Ln)) est la base canonique de IKⁿ et (u^-1(e1), …, u^-1(en)) est la base des polynômes de Lagrange de IK_n-1[X] Avec u qui à P dans IK_n-1[X] associe (P(a1), …, P(an))

Question 52

u le polynôme d’évaluation en n points (a1, …, an) déterminer l’unique polynôme P tel que u(P) = Y

Answer 52

Avec Li les polynômes de Lagrange des points d’évaluation de u

Question 53

Answer 53

Question 54

Quelles sont les coordonnées d’un polynôme P dans la base des polynômes de Lagrange ?

Answer 54

Question 55

Montrer

Answer 55

(C’est un exemple d’utilisation)

Question 56

Quel est le lien entre les polynômes de Lagrange et la division euclidienne ?

Answer 56

Par unicité du polynôme d’interpolation Autrement dit : le polynôme d’interpolation de P en les points (a1, …, an) est le reste de la division euclidienne de P par B = …

Question 57

Qu’est-ce que la base de Newton et quand l’utilise-t-on ?

Answer 57

On l’utilise pour trouver les points où un polynôme coincide avec une fonction

Question 58

Qu’est-ce que l’interpolation de Taylor ? Justif

Answer 58

Question 59

Expliciter un polynôme P dans la base des polynômes de Taylor

Answer 59

Question 60

Quel est le lien entre les polynômes de Taylor et la formule de Taylor-Lagrange ?

Answer 60

Les yk sont les f^(k)(a)

Question 61

Qu’est-ce que le principe des polynômes d’interpolation de Hermite ?

Answer 61

Question 63

Comment exprimer l’ensemble des solutions d’une équation u(x) = b en fonction d’une solution particulière x0 ? Justif

Answer 63

Question 64

Rappeler la formule de Grassman

Answer 64

Question 65

Montrer matriciellement que deux formes linéaires de même noyau sont proportionnelles

Answer 65

Question 66

À quelle condition de stabilité a-t-on Mat_B(u) triangulaire supérieure ?

Answer 66

Question 67

Quelle est le lien entre stabilité et matrice compagnon ?

Answer 67

Question 68

Que vaut det(λ.A) ?

Answer 68

λⁿ.det(A)

Question 69

Montrer que sup(A+B) = sup(A) + sup(B)

Answer 69

Question 70

Justif

Answer 70

Question 71

Comment montrer que |x| < a ?

Answer 71

On montre que x

Question 72

Justif

Answer 72

Question 73

Comment majorer un pour n≥p ?

Answer 73

Question 74

Qu’est-ce que l’inégalité de la moyenne ?

Answer 74

Question 75

Quelle inégalité sur n réels obtient-on par la concavité du ln ?

Answer 75