Séries Entières Flashcards
(95 cards)
1
Q
Qu’appelle-t-on série entière ?
A
2
Q
Qu’est-ce que le lemme d’Abel ?
A
CVN sur Df(0,r)*
3
Q
Que veut dire le lemme d’Abel ?
A
4
Q
Qu’appelle-t-on rayon de convergence d’une série entière ?
A
5
Q
Quelle information donne le rayon de convergence d’une série entière ?
A
6
Q
Calculer le rayon de convergence
A
7
Q
Qu’est-ce que la méthode des équivalents pour calculer le rayon de définition ?
Justif
A
On a montré que D(0, Rb) ⊂ D(0, Ra), donc que Rb ≤ Ra
8
Q
Quelles sont les trois méthodes pour calculer le rayon de convergence ?
A
- Définition
- Équivalents / domination
- D’Alembert
9
Q
Démontrer la première partie du lemme d’Abel
A
10
Q
Quelles sont les trois manières d’exprimer le rayon de convergence d’une série ?
A
11
Q
Donner le critère de D’Alembert pour les séries numérique, à quoi faut-il faire attention ?
Justif
A
D’après le critère de d’Alembert pour les séries numériques
12
Q
Dans quel cas utilise-t-on D’Alembert ?
A
Si on a de la factorielle
13
Q
Déterminer le rayon de convergence
A
14
Q
Trouver le rayon de convergence
A
15
Q
Trouver le rayon de convergence
A
+∞*
16
Q
Qu’est-ce que le théorème de somme de sommes de séries entières ?
A
17
Q
Démontrer
A
18
Q
Qu’est-ce que le théorème du produit de Cauchy sur les séries entières ?
A
Attention : le deuxième point est faux !
19
Q
Démontrer
A
20
Q
Calculer f(z)
A
Car les deux séries convergent absoluement
21
Q
Qu’est-ce que le théorème de continuité d’une série entière ?
Justif
A
22
Q
Qu’est-ce que le théorème de dérivabilité d’une série entière ?
Justif
A
23
Q
Qu’est-ce que le théorème de classe C∞ d’une limite de série entière ?
Comment justif ?
A
Se montre par récurrence, de la même manière que pour C1
24
Q
Montrer
A
25
Qu’est-ce que le théorème d’intégration d’une somme de série entière ?
26
Par théorème d’intégration d’une somme de série entière
27
À quoi faut-il penser directement si on étudie la convergence d’un complexe ?
Le module, car on peut montrer qu’il tend vers 0 que si son module tend vers 0 (ou montrer qu’il tend vers zl que si le module de z - zl tend vers 0)
28
Montrer la deuxième partie du lemme d’Abel
29
Que peut-on dire si bn = O(anλn) ?
Justif
30
Que peut-on dire si Σ(k=0 → +∞)(an.z0n) converge ? diverge ?
- converge : z0 ≤ R
- diverge : z0 ≥ R
31
Combien vaut R ?
Justif
32
Quelles sont les deux manières d’écrire un produit de Cauchy ?
33
Quel est le lien entre le produit de Cauchy de deux suites et le produit de Cauchy de leurs séries entières ?
Justif
34
À quoi faut-il faire attention avec l’homogénéité d’une série entière ?
35
Quelle est l’expression générale des coefficients d’un DSE ?
Justif
36
Qu’appelle-t-on une fonction développable en série entière ?
37
Quelle chose simple à repérer sur une seule permet directement de dire qu’elle n’est pas DSE ?
Si elle n’est pas de classe C∞ au V0, elle n’est pas DSE
38
Qu’est-ce que la propriété d’unicité du DSE
39
Comment montrer simplement que deux fonctions DSE sont égales sur leur intervalle de DSE ?
Justif
Il suffit de montrer qu’elles sont égales en un voisinage de 0, quelqu’il soit
En effet, on aura alors : ∀n, an = bn, par unicité du DSE sur cet intervalle, ce qui est aussi valable sur le disque entier
40
Montrer que Arcsin est DSE et déterminer celui-ci
41
x2n/n!
42
Montrer que Arcsin² est DSE et déterminer celui-ci
- Puisque a0 = 0, a(2p) = 0 pour tout p
- a(2p+1) = a1 × 4p/(2p+1)(2p parmi p) (écrire sous forme d’un produit avec les … pour s’en rendre compte)
- Puisque a1 = 1, …
43
Comment montrer plus simplement que f est DSE sur ]-R,R[ ?
44
Chercher une solution DSE
45
Qu’est-ce que le principe des zéros isolés ?
Justif
(Avec les zp non nuls)
Corollaire : si f s’annule sur tout un intervalle de la forme ]-ε, ε[ avec ε>0, f = 0
(Comme ε>0, il existe un rang à partir duquel 1/n < ε, c’est-à-dire 1/n € ]-ε,ε[ et donc f(1/n) = 0. Ainsi, la suite des 1/n est une suite de zéros de f non nuls et tendant vers 0, donc f = 0)
46
Montrer
an.rⁿ = …*
47
Montrer
Attention : pour exploiter « f bornée », il faut regarder |f| !
On ne peut pas directement dire f(r.exp(i.θ)) ≤ M, car on est dans les complexes
Pour la fin :
- si n ≥ 1, |z|ⁿ → +∞ lorsque que |z| → +∞
- donc, par encadrement, ∀n€IN*, |an| = 0
- donc ∀n€IN*, an = 0
- donc f = a0 = cste
48
Comment faire si on nous demande l’équivalent lorsque x → 1 d’une somme de série entière, dont (R ≥ 1 suffit)
On trouve (bn) un équivalent de (an) et alors la somme de la série entière des an est équivalente à la somme de la série entière des bn
(Avec f la somme de la série entière des an et g la somme de la série entière des bn)
En gros on repasse juste par les quantificateurs, avec une multiplication par xn et une intégralité triangulaire pour faire passer la propriété des an et bn aux sommes des an.xn et bn.xn
C’est un peu la même méthode que Cesaro
49
50
51
Comment montrer le théorème d’intégration de la somme d’une série entière ?
On prend x dans ]-R,R[ et on permute somme et intégrale car CVN sur [0,x]
52
Quelles sont les quatre méthodes pour montrer qu’une fonction de classe C∞ est DSE ?
- Formule de Taylor-Lagrange
- Méthode de l’équation différentielle
- Intégration ou dérivation d’une fonction dont le DSE est connu
- S’écrit comme un produit/somme de fonctions DSE (somme/produit de Cauchy alors)
53
Qu’est-ce que la méthode utilisant la formule de Taylor-Lagrange pour montrer qu’une fonction est DSE ?
En pratique on commence par utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange mais parfois il faut utiliser le reste pour que ce soit plus précis
54
Qu’est-ce que la méthode de l’équation différentielle pour montrer qu’une fonction est DSE ?
On montre que f est solution d’une équation différentielle (unique car respectant certaines valeurs en certains points) et qu’une série entière vérifie cette équation différentielle et cette condition, donc c’est le DSE de f
55
Qu’est-ce que la méthode d’intégration ou de dérivation d’une fonction DSE connue, pour montrer qu’une fonction est DSE ?
On reconnaît la dérivée ou la primitive d’une fonction dont on connaît le DSE. Alors, par CVN sur tout segment inclus dans ]-R,R[, on peut intégrer ou dériver.
56
Qu’appelle-t-on pôle d’une fonction ?
C’est un point en lequel |f| tend vers +∞
57
Comment trouver, en pratique, le DSE d’une fraction rationnelle ?
Ou alors on passe par une suite récurrente linéaire
58
Pour une fonction rationnelle :
Montrer que R = inf{ |λ| | λ est un pole de f } est le rayon de convergence de f rationnelle
Le pole limite la convergence mais avant c’est bon
59
Comment obtenir le DSE de ln(f), avec f une fonction polynomiale ?
1. Si f est scindé sur IR (car ln pas def a priori sur ℂ) :
- on met f sous sa forme factorisée
- on sépare le ln
- on calcule les DSE des dérivées de ces ln « simples »
- on primitive et on somme
2. Si f n’est pas scindé sur IR :
- on prend la dérivée de ln(f)
- on calcule son DSE car c’est une fonction rationnelle, ou alors on utilise la méthode de la suite récurrente linéaire
- on primitive le DSE
60
En passant par une suite récurrente
Il y a une erreur : c’est a1-a0 = 1, pas a0-a1 = 1
61
Quelles sont les deux méthodes pour obtenir le DSE d’une fonction rationnelle ?
- décomposition en élément simple
- passage par une suite récurrente
62
Montrer que tan est DSE sur ]-1,1[ par la méthode de l’équation différentielle
63
Déterminer les solutions DSE de (E) : (4 + x²).y’’ + 3.x.y’ + y = 0
64
Comment déterminer l’expression de somme de séries f de an.zn avec an définie par récurrence ?
On somme pour n allant de 0 à +∞ la relation de récurrence et, en éjectant des termes des sommes et en faisant des changements d’indice, on arrive soit à une expression de f soit à une équation différentielle sur f que l’on résoud
65
Quels sont les trois types de DSE usuels à connaître ?
- Les DSE qui découlent de Taylor
- Les DSE qui découlent de la série géométrique
- Le DSE de (1+x)α
66
Quels sont les DSE usuels qui découlent de Taylor à connaître ?
67
Quels sont les DSE usuels qui découlent de la série géométrique à connaître ?
Pas de (-1)ⁿ dans le ln(1-x)* !
68
Quel est le DSE de (1+x)α ?
69
Montrer le DSE de (1+x)α
70
Qu’est-ce que le théorème de continuité d’une somme de série entière de variable complexe ?
Justif
71
Quels théorèmes de régularité a-t-on le droit d’utiliser pour une série entière à variable complexe ?
On ne peut ni intégrer ni dériver : on n’a que la continuité
72
Définir l’exponentielle complexe et justifier la possibilité d’une telle définition
(En particulier pour x€IR)
73
Montrer que exp(z1 + z2) = ez1 × ez2
74
Montrer la formule de cos à partir de l’exponentielle, en déduire la forme trigonométrique et la formule de Moivre
75
Montrer que la dérivée de l’exponentielle réelle est égale à elle-même
76
Calculer U, V et W
/(1-x)³* et donc -2 et pas -6
77
Si an ~ bn avec bn décroissant, a-t-on an décroissant?
Non !
Les deux sont équivalentes, l’une est décroissante mais l’autre alterne entre croissant et décroissant
On peut aussi prendre l’exemple de deux suites adjacentes
78
Montrer
79
Si on a une série entière et qu’on veut séparer les termes pairs ou tous les trois termes par exemple, pour calculer son rayon de convergence, comment faire ?
Il ne faut pas le faire sur la série ! On revient à la définition et on étudie tous les trois termes mais de la suite (an.zn) pas de la série
80
Que peut-on dire du DSE d’une fonction paire ou impaire ?
Justif
81
Quand pense-t-on a utiliser le produit de Cauchy ?
- Si on veut calculer le rayon de convergence et la somme d’une série numérique où il y a une somme dans le an
- Si on veut déterminer le DSE d’un produit (d’un carré par exemple), dans ce cas on l’utilise dans l’autre sens
82
Lorsqu’on veut calculer le DSE d’un carré comment faire ?
- produit de Cauchy
- méthode de l’équation différentielle
83
Rappeler la formule de Taylor reste intégral à l’ordre n en a. Si a = 0 ?
84
Comment justifier lorsqu’on fait un produit de Cauchy ?
« par produit de Cauchy de séries absolument convergentes »
85
Comment faire les produits de Cauchy avec les séries entières ?
Se ramener au cas des séries numériques avec zn = zk × zn-k, c’est plus simple
86
Que peut-on dire du rayon de convergence d’une série entière où la suite des (an) est bornée ?
Justif
Tant que |z|<1, (zn) est également bornée, donc (an.zn) est bornée et donc :
∀z€Do(0,1), R ≥ z, donc R ≥ 1
87
Quelle est l’expression du reste de Taylor-Lagrange ?
(En 0 à l’ordre n)
C’est ce qu’il y a dans la somme mais intégré de 0 à x (on passe au continu pour ne plus faire d’approximation)
88
Exprimer la dérivée k-ième de f : x → 1/(1-x)
89
Utiliser le principe des zéros isolés pour montrer que f n’est pas DSE0
90
On peut intervertir les somme car |z| < max(|λk|), donc pour tout 1 ≤ k ≤ p, |z.λk| < 1 et toutes les sommes convergent
91
À quelle condition la trace d’une matrice est la somme de ses valeurs propres et le déterminant en est le produit ?
Attention : seulement si le polynôme caractéristique est scindé, c’est-à-dire **seulement si la matrice est trigonalisable** !
Dans ℂ c’est toujours vrai, mais il faut quand même dire que d’après le théorème de D’Alembert-Gauss, χA est scindé sur ℂ et donc A est trigonalisable.
92
Si on veut Σan.zⁿ et Σbn.zⁿ de même rayon de convergence car an ~ bn, faut-il un signe constante ?
Non ! an et bn peuvent même être complexes, donc ça n’aurait pas de sens de regarder leur signe. On travaille tout le temps en module.
93
Q1/ critère d’équivalence pour les séries entières de suites de signe constant
Q2/ inverser l’intégrale par propriété des séries entières puis faire le changement de variable et calculer
(Dmd aux autres s’ils ont une correction propre)
94
Redémontrer les formules de cos(t) et sin(t) et fonction de tan(t/2)
95
Qu’est-ce que le théorème de Liouville ?
Comment le montre-t-on ?
