Méthodo Flashcards
(190 cards)
1
Q
Quelles doivent être les étapes d’un oral ?
A
- Période de réflexion, à voix haute (notamment lister les différentes méthodes auxquelles on pense)
- Période d’organisation : expression claire de ce qu’on envisage de faire et pourquoi
- Période de réalisation
- Période de conclusion : vérification de la cohérence et de si les hypothèses ont toutes bien été utilisées
2
Q
Quelles sont les méthode pour montrer qu’un polynôme en divise un autre ?
A
3
Q
Quelles sont les méthode pour montrer une propriété pour tout polynôme ?
A
4
Q
Quelles sont les méthode pour montrer qu’un polynôme en divise un autre ?
A
5
Q
Quels sont les deux types de produits scalaires qu’on utilise dans l’espace des polynômes ?
A
6
Q
Comment construire une base orthonormale dans l’espace des polynômes ?
A
7
Q
Comment construire une base orthonormale dans l’espace des polynômes ?
A
8
Q
Quelles sont les propriétés à avoir en tête lorsqu’on étudie une fonction polynomiale ?
A
- fonction de classe C∞, on peut donc utiliser tous les théorèmes de Rolle, TVI, théorème des accroissements finis etc…
- un polynôme borné sur IR est constant
- un polynôme périodique est constant (car borné)
- un polynôme P admet au plus deg(P) racines, sinon il est nul
- tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle (conséquence du TVI)
9
Q
Qu’est-ce que le théorème de Weierstrass (HP) ?
Comment l’utilise-t-on ?
A
10
Q
Comment exprimer algébriquement que a est une racine de P ?
A
11
Q
Comment exprimer analytiquement que a est une racine de P ?
A
12
Q
Que peut-on dire du nombre de racines d’un polynôme ?
A
13
Q
Comment exprimer le n-ième coefficient d’un polynôme P ?
A
14
Q
Que peut-on dire du nombre de racines d’un polynôme ?
A
15
Q
Que peut-on dire du nombre de racines d’un polynôme ?
A
16
Q
Comment montrer que deux polynômes sont égaux ?
A
- On montre que leur différence est nulle
- On montre qu’ils ont les mêmes coefficients
- On montre qu’ils ont les mêmes racines, de même multiplicité, et le même coefficient dominant
17
Q
Comment montrer qu’un polynome est nul ?
A
18
Q
Quelles formules a-t-on sur le degré d’une relation entre polynôme ?
A
Avec égalité pour le premier si les degrés sont différents ou si les coefficients dominants ne sont pas opposés
19
Q
Quelles formules a-t-on sur le degré d’une relation entre polynôme ?
A
Avec égalité pour le premier si les degrés sont différents ou si les coefficients dominants ne sont pas opposés
20
Q
Qu’appelle-t-on les polynômes interpolateurs de Lagrange ?
Comment montrer analytiquement leur existence et unicité ?
A
21
Q
Quelle est la décomposition en éléments simples de P’/P, si on connait les racines de P ?
A
22
Q
Quelles sont les méthode pour montrer qu’une partie est un espace vectoriel ?
A
- montrer que c’est un sev
- dire que c’est la somme de deux espaces vectoriels
- dire que c’est le noyau/l’image d’une application linéaire
- dire que c’est l’intersection de deux espaces vectoriel
23
Q
Quelles sont les relations utiles entre sev ?
A
24
Q
Comment montre-t-on que deux sev sont égaux ?
A
25
Comment trouver la dimension d’un espace vectoriel ?
26
Comment montrer que plus de deux sev sont supplémentaire ?
On repasse par la définition
27
Comment trouver la dimension d’un espace vectoriel ?
28
Quelles techniques utilise-t-on souvent pour montrer la liberté d’une famille de polynômes ?
29
Qu’utilise-t-on souvent pour montrer la liberté d’une famille de fractions rationnelles ?
(Pour montrer la définition de libre)
30
Quelles techniques utilise-t-on souvent pour montrer la liberté d’une famille de fonctions quelconques ?
(Pour montrer la définition de libre)
(Récurrence lorsque la famille est infinie)
31
Comment montrer qu’une famille est une base en dimension finie ?
⊕ les mêmes méthodes qu’en dimension infinie (libre + génératrice ; existence et unicité de la décomposition)
32
Comment montrer que f€L(E,F) ?
Attention, il y a deux points :
- montrer que f est à valeurs dans F
- montrer que f est linéaire
33
Quelles sont les différentes manières de définir une application linéaire ?
34
Quelles sont les différentes manières de déterminer le rang d’un endomorphisme ?
35
Quelles sont les différentes manières de définir une application linéaire ?
36
Que peut-on dire du rang de uov ?
Il est inférieur à min(rg(u), rg(v)) (théorème du rang)
37
Comment montrer qu’il existe une application de noyau N ou d’image I donné ?
Il suffit de prendre le projecteur :
- parrallèlement à N
- sur I
38
Comment montrer que f, linéaire, est bijective en dimension finie ?
39
Comment caractériser un projecteur ?
40
Comment montrer que f, linéaire, est bijective en dimension finie ?
41
Comment caractériser une symétrie ?
42
L’ensemble des matrices inversibles est-il un espace vectoriel ?
Non, il n’y a même pas 0 dedans !
43
Quel doit être le réflexe si on cherche à montrer une propriété linéaire pour tout x€E ?
Il faut directement penser à la montrer sur une base
44
Si on ne trouve pas de moyens de démontrer une propriété, à quoi faut-il penser ?
Il faut avoir le réflexe de tenter des récurrences sur la dimension de l’espace
45
Que peut-on dire de Ker(fog) et Im(fog) ?
46
Que vaut le noyau de f restreinte à G ?
C’est Ker(f) n G
47
À quoi faut-il penser si on nous parle d’une forme linéaire sur l’espace des matrices ?
Elle est de la forme M → tr(A.M), on trouve les coefficients de A en appliquant aux M = E(i,j)
48
Si on a un espace stable par un endomorphisme, comment se traduit matriciellement cette propriété ?
49
Exprimer la matrice E(i,j) en fonction de Kronecker
50
Comment écrire une matrice A = (a(i,j)) en fonction des E(i,j) ?
51
Que vaut le produit de matrices élémentaires ?
52
Quel doit être le réflexe si on veut montrer une propriété « pour toute matrice M€Mn(IK), … » ?
Si la propriété est linéaire, la montrer pour les E(i,j)
(On peut aussi essayer de la montrer pour les matrices inversibles et d’utiliser la densité)
53
Quelles sont les méthodes pour calculer les puissances d’une matrice ?
- calcul direct (petite taille et petite puissance)
- décomposer la matrice et utiliser le binôme de Newton
- procéder par récurrence (cas simples)
- procéder par récurrence (cas moins simples)
- raisonner en termes d’endomorphismes
- diagonaliser la matrice
54
Qu’est-ce que la méthode « décomposer la matrice et utiliser le binôme de Newton » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
55
Quelles sont les matrices (et leurs puissances) à connaitre ?
56
Qu’est-ce que la méthode « récurrence (cas simples) » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
57
Qu’est-ce que la méthode « récurrence (cas moins simples) » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
(Pas faire attention en haut à gauche)
58
Qu’est-ce que la méthode « raisonner en termes d’endomorphisme » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
59
Qu’est-ce que la méthode « raisonner en termes d’endomorphisme » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
60
Qu’est-ce que la méthode « diagonaliser la matrice » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
60
Qu’est-ce que la méthode « raisonner en termes d’endomorphisme » pour déterminer les puissances d’une matrice ?
61
Quelles sont les méthodes pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
- effectuer un calcul par bloc
- utiliser un polynôme annulateur
- interpréter en terme d’endomorphisme
62
Qu’est-ce que la méthode « effectuer un calcul par bloc » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
Lorsqu’on cherche à inverser une matrice par blocs, on peut essayer de trouver son inverser sous la même forme :
63
Qu’est-ce que la méthode « utiliser un polynôme annulateur » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
64
Qu’est-ce que la méthode « utiliser un polynôme annulateur » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
65
Qu’est-ce que la méthode « interpréter en termes d’endomorphisme » pour déterminer l’inverse d’une matrice ?
66
Dans quels cas une matrice triangulaire est-elle inversible ?
Elle est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont tous non nuls
67
Quelles sont les différentes méthodes pour calculer le rang d’une matrice ?
- utiliser des opérations élémentaires et revenir à la définition
- déterminer le noyau et utiliser le théorème du rang
- étudier l’inversibilité
68
Quel est le lien entre matrices équivalentes, semblables et le rang ?
69
Qu’appelle-t-on la matrice Jr, quelle est sa propriété ?
70
Quel est le lien entre matrices équivalentes, semblables et le rang ?
71
En quoi les matrice Jr sont-elles utiles ?
72
Que faut-il savoir sur les matrices carrées de rang 1 ?
- Si A est une matrice carré de rang 1, elle s’ecrit X.YT
73
À quoi faut-il penser si on cherche à montrer que, pour deux matrices A et B données, il existe P tel que B = P(A) ?
Polynômes de Lagrange + réduction
74
Quel est le lien entre polynôme annulateur d’une matrice et famille liée ?
75
Quelle est la méthode générale pour déterminer le centre d’un ensemble ?
76
Déterminer le centre de Mn
Donc M est dans le centre ssi ∀(i,j), mii = mjj et mij = 0 si i≠ j ssi M est scalaire
77
Déterminer le centre de GLn
78
Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation matricielle ?
- repasser par les coefficients (taille 2)
- procéder par conditions nécessaires et éliminations
- interpréter en terme d’endomorphisme
- passer par un polynôme SARS
79
Qu’est-ce que la méthode « procéder par conditions nécessaires et éliminations » pour résoudre une équation matricielle ?
80
Qu’est-ce que la méthode « interpréter en termes d’endomorphisme » pour résoudre une équation matricielle ?
81
Qu’est-ce que la méthode « passer par un polynôme SARS » pour résoudre une équation matricielle ?
Dans Mn(IR), il faut que toutes les racines de P soient réelles
82
Qu’est-ce que la méthode « interpréter en termes d’endomorphisme » pour résoudre une équation matricielle ?
83
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on passe des endomorphisme aux matrices pour résoudre un exercice ?
- ça ne doit pas être le premier réflexe !
- souvent, tout l’enjeu est de trouver une base adaptée, qui permettra ensuite de mener des calculs plus simples
- il faut donc creuser les hypothèses et ensuite seulement passer en matrices
- une fois la matrice introduite, pour faciliter l’exercice, il faut essayer de se ramener à une forme simplifiée (utilisation des matrices Jr, E(i,j), diagonalisation, trigonalisation)
- il peut souvent être utile de le faire dans l’autre sens : passer des matrices aux endomorphismes
84
Quelle est la différence entre être diagonalisable dans IR et dans ℂ ?
- diagonalisable dans IR : diagonalisable + toutes les valeurs propres sont réelles (⇔ dz et P€GLn(IR))
- diagonalisable dans ℂ : diagonalisable (P€GLn(ℂ))
85
À quoi faut-il penser si on est dans un exercice de matrices et qu’on nous dit qu’on se place sur ℂ ?
Il faut surement utiliser une valeur propre (on sait qu’il en existe une sur ℂ, mais par forcément sur IR)
86
Quelles sont les principales méthodes pour calculer un déterminant ?
- additionner toutes les colonnes à la première, factoriser pour avoir une colonne de 1, soustraire les lignes pour avoir beaucoup de 0, développer (lorsque les sommes des éléments des lignes/colonnes sont les mêmes, par exemple lorsqu’on a les mêmes éléments mais pas dans le même sens)
- repérer une liaison entre les colonnes (alors, le déterminant est nul)
- développer par rapport à une ligne/colonne
- aboutir à une relation de récurrence (en développant par rapport à une ligne/colonne, si on ne trouve pas d’ordre 1 c’est peut-être ordre 2)
- utiliser les formules de calcul par blocs
- utiliser la réduction matricielle (déterminer les valeurs propre, le déterminant est le produit)
- faire des calculs par blocs
87
En passant par la réduction
88
Qu’est-ce que la méthode « faire des calculs par bloc » pour résoudre une équation matricielle ?
Illustrer avec cet exemple :
89
Quelles sont les différentes méthodes pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
- calculer son polynôme caractéristique
- déterminer un polynôme annulateur
- utiliser la trace et le rang
90
Qu’est-ce que la méthode « déterminer un polynôme annulateur » pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
91
Qu’est-ce que la méthode « utiliser la trace et le rang » pour déterminer les valeurs propres d’une matrice ?
- si la matrice est de rang 1 : 0 est valeur propre de dimension n-1 et tr(A) est valeur propre de dimension 1 (car la somme des valeurs propres vaut tr(A) et qu’il doit y en avoir n avec multiplicité)
- si la matrice est de rang 2 : 0 est valeur propre de dimension n-2 et il reste deux valeurs propres α et β à déterminer : tr(A) = α + β et tr(A²) = α² + β² (pour la même raison), on calcule donc A² et on résoud
- passer par un polynôme d’une matrice « simple »
92
Comment déterminer les éléments propres d’une matrice tridiagonale ?
(X est le vecteur non nul tel que A.X = λ.X)
On finit ensuite la résolution
93
À quoi peut-on penser si on voit une matrice ou beaucoup de coefficients se répètent (on n’a que 2/3 valeurs au total) ?
Décomposer comme somme de matrices plus simples, surtout si toute la diagonale a la même valeur
94
Qu’est-ce que la méthode de détermination des valeurs propres/éléments propres par passage par un polynôme d’une matrice simple ?
95
Comment utiliser le théorème spectral pour déterminer un sous-espace propre ?
96
Quelles sont les méthodes pour montrer que (/dire si) une matrice est diagonalisable ?
- calculer les éléments propres et voire si la somme des dimension des espaces propres vaut dim(E)
- calculer le polynôme caractéristique et regarder s’il a n racines distinctes (suffisant mais pas nécessaire)
- déterminer un polynôme annulateur SARS
- utiliser le théorème spectral (pour une matrice symétrique réelle…)
- raisonner par conditions nécessaires
97
Qu’est-ce que la méthode « déterminer un polynôme annulateur SARS » pour montrer qu’une matrice est diagonalisable ?
98
Qu’est-ce que la méthode « raisonner par conditions nécessaires » pour montrer qu’une matrice est diagonalisable ?
99
Que peut-on dire d’une matrice réelle de taille impaire ?
Elle admet au moins une valeur propre réelle (son polynôme caractéristique est de degré impair, donc admet une racine réelle)
100
Quel est le lien entre multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique et la dimension du sous-espace propre associé ?
dim(Eλ) ≤ mλ, mais on n’a pas du tout forcément l’égalité !
101
Qu’est-ce que la méthode de recherche des racines rationnelles d’un polynôme ?
Avec p/q la forme irréductible
102
Quelles sont les 6 équivalences à « λ est valeur propre de A » en dimension finie ?
103
Quelles sont les équivalences à « A diagonalisable » ?
104
Quelles sont les deux idées qu’on peut tenter si on cherche à montrer des propriétés sur les polynômes caractéristiques ?
- raisonner sur les matrices inversibles, puis par densité
- utiliser les matrices Jr et raisonner par bloc
105
Quelles sont les équivalences à « A diagonalisable » ?
106
À quoi faut-il penser si on fait de la réduction sur des espaces de fonctions ?
Faire le lien entre valeur propre et équation différentielle (analyse-synthèse)
107
Comment montrer que deux normes sont équivalentes sur Mn ?
Mn est un evn de dimension finie, donc toutes les normes sont équivalentes
108
Qu’est-ce que la forme réduite triangulaire de u ?
Justif
109
Que peut-on dire du spectre complexe d’une matrice nilpotente ?
Justif
Il vaut {0}
110
À quoi faut-il penser si on fait des calculs avec une matrice nilpotente ?
La mettre sous sa forme réduite
111
Comment montrer qu’une forme linéaire est symétrique/anti-symétrique ?
112
Comment montrer qu’un vecteur x est nul ? (dans le cadre de l’algèbre bilinéaire)
On se place dans un espace euclidien et on montre que sa norme au carré (donc ) est nulle
113
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un endomorphisme est auto-adjoint ?
- par la définition
- montrer que sa matrice, dans une base orthonormale, est symétrique
114
Rappeler l’énoncé du théorème spectral
115
Rappeler l’énoncé du théorème spectral algébrique
116
Rappeler l’énoncé du théorème spectral matriciel
117
Rappeler l’énoncé du théorème spectral algébrique
118
Comment accéder à des informations sur les valeurs propres d’un endomorphisme, avec des normes etc… ?
119
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un endomorphisme est orthogonal ?
Ou alors on montre que :
- les colonnes sont toutes de norme 1
- les colonnes sont orthogonales entre elles
120
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un endomorphisme est orthogonal ?
Ou alors on montre que :
- les colonnes sont toutes de norme 1
- les colonnes sont orthogonales entre elles
121
Comment montrer qu’une application linéaire est continue d’un evn dans un autre ?
(En dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues)
122
Comment montrer qu’une application linéaire n’est pas continue d’un evn dans un autre ?
123
Factoriser a² + b²
(a + i.b)(a - i.b)
124
Quelles sont les différentes méthodes pour montrer une inégalité ?
- se ramener aux inégalités classiques
- intégrer les inégalités classiques
- faire une étude de fonction
- utiliser la convexité
- interpréter graphiquement (pour l’intuition)
- passage à la limite dans des inégalités déjà établies
- tenter de mettre les différents membres sous une forme commune
125
Qu’est-ce que la méthode « intégrer les inégalités classiques » pour montrer une inégalité ?
126
Qu’est-ce que la méthode « tenter de mettre les différents membres sous une forme commune » pour montrer une inégalité ?
127
Que peut-on dire d’une fonction continue sur un intervalle, qui ne s’annule pas ?
Elle est de signe constant
128
À quoi faut-il penser si on veut montrer par l’absurde qu’une dindon continue s’annule ?
Si elle ne s’annule pas, elle est de signe constant (sur un intervalle)
129
Quel théorème lie la dérivabilité d’une fonction à celle de son inverse ?
130
Quel théorème lie la dérivabilité d’une fonction à celle de son inverse ?
131
Qu’est-ce que le théorème de limite de la dérivée ?
132
Quelles sont les méthodes pour prouver la dérivabilité d’une fonction ?
- revenir à la définition
- exprimer comme une somme, composée, etc… de fonctions dérivable
- utiliser le théorème de dérivabilité de la bijection réciproque
- utiliser le théorème de la limite de la dérivée
- procéder par récurrence (pour montrer qu’une fonction est de classe C∞)
133
Qu’est-ce que la méthode « revenir à la définition » pour prouver la dérivabilité d’une fonction ?
134
Comment utiliser la dérivabilité d’une fonction ?
135
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une fonction est convexe ?
- passer par la définition
- passer par la croissance de la pente
- utiliser les dérivées de f
136
Rappeler la définition de la convexité d’une fonction
Pour tout t dans [0,1]
137
Qu’est-ce que la méthode « passer par la croissance de la pente » pour montrer qu’une fonction est convexe ?
138
Qu’est-ce que la méthode « utiliser les dérivées f » pour montrer qu’une fonction est convexe ?
139
Rappeler l’équation de la tangente à la courbe de f en a
y = f’(a).(x-a) + f(a), assez logique
140
Quelles sont les méthodes pour montrer que la dérivée d’une fonction s’annule ?
- utiliser le théorème de Rolle
- supposer par l’absurde qu’elle ne s’annule pas, et si elle est continue, elle est de signe constant : on cherche une contradiction
141
Comment montrer qu’une fonction f, composée d’autres fonctions, est croissante ?
Plutôt que de tout dériver (ce qui est maladroit), il vaut mieux regarder si les fonctions ne sont pas elles mêmes toutes croissantes
142
Quelles sont les méthodes pour résoudre les équations fonctionnelles ?
- méthode progressive
- méthode integro-différentielle
143
Qu’est-ce que la « méthode progressive » pour résoudre des équations fonctionnelles ?
En appliquant la relation à des couples judicieux
144
Qu’est-ce que la « méthode integro-différentielle » pour résoudre des équations fonctionnelles ?
Pour l’exemple : on cherche l’ensemble des fonctions telles que f(x+y) = f(x) + f(y)
145
À quoi faut-il faire attention si on calcul le DL d’une primitive ?
On intègre tous les termes du DL de la fonction de base ET on n’oublie pas la constante !!
146
Comment faire un DL en a ≠ 0 ?
On pose x = t + a et on fait le DL de la fonction en t ainsi obtenue
147
Quels doivent être les deux réflexes lorsqu’on va calculer un DL ?
- où le fait-on ?
- la fonction est-elle paire ou impaire ?
148
Qu’est-ce que Taylor reste intégral ?
149
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite converge ?
- théorème de la limite monotone
- comparaison à une autre suite
- utilisation d’un équivalent de la suite
- cas particulier des suites u(n+1) = f(un)
- lien suite-série (lorsque les méthodes classiques ne marchent pas)
- sommes de Riemann
- comparaison série/intégrale
- utiliser les suites adjacentes
- utiliser des suites de matrices (si on étudie deux suites et qu’elles ne sont pas adjacentes)
- utiliser la définition
- utiliser Cesaro
150
Qu’est-ce que la « comparaison à une autre suite » pour montrer la convergence d’une suite ?
151
Quelle technique peut permettre de déterminer la limite d’une suite dans le cas particulier u(n+1) = fn(un)
Déterminer les valeurs de premier terme pour lesquelles la suite reste constante. S’il n’y en a qu’une seule, c’est surement la limite.
152
Qu’est-ce que la méthode « utiliser une suite de matrices » pour montrer la convergence d’une suite ?
153
À quoi faut-il penser si on étudie la convergence d’une suite définit par un produit/des puissances ?
154
Pour une suite définit par récurrence, quelle est la première chose à essayer pour déterminer la valeut de sa limite ?
Passer à la limite dans la relation de récurrence (après avoir montré que la limite existe)
155
Qu’est-ce que la méthode pour déterminer la convergence/la limite dans le cas particulier u(n+1) = f(un) ?
156
Comment montrer généralement qu’une suite ne converge pas ?
157
Quel est l’ordre des chose à faire si on étudie la convergence d’une série réelle ?
- est-ce que le terme général tend vers 0 ?
- est-ce que les sommes partielles peuvent s’exprimer en tant que telles ? On revient alors au cas d’étude d’une suite simple
- voir si ACV (max 2min30 pour tout tester)
- voir si semi-CV
158
Quelles sont les méthodes pour montrer l’ACV d’une série ?
- majorer par une série de référence
- obtenir un équivalent du terme général
- utiliser le théorème des accroissements finis (si un = fn(n+1) - fn(n))
- appliquer la règle du nα.un (surtout lorsqu’il y a des exp ou des ln)
- appliquer la règle de D’Alembert (produits, quotients, factorielles, puissances) (penser à dire un > 0 à partir d’un certain rang)
- appliquer la règle de Raabe-Duhamel 1
- appliquer la règle de Raabe-Duhamel 2
- effectuer une comparaison série/intégrale
159
Qu’est-ce que la méthode « majorer par une série de référence » pour montrer qu’une série est ACV ?
160
Qu’est-ce que la méthode « utiliser le théorème des accroissements finis (si un = fn(n+1) - fn(n)) » pour montrer qu’une série est ACV ?
161
Qu’est-ce que la méthode « appliquer la règle de Raabe-Duhamel 1 » pour montrer qu’une série est ACV ?
Regarder dans cours
162
Montrer la règle de Raabe-Duhamel 1
Cours
163
Qu’est-ce que la méthode « appliquer la règle de Raabe-Duhamel 2 » pour montrer qu’une série est ACV ?
Cours
164
Montrer la règle de Raabe-Duhamel 2
Cours
165
Qu’est-ce que la méthode « utiliser la règle du nα.un » pour montrer qu’une série est ACV ?
166
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite est semi-convergente ?
- utiliser le théorème des séries alternées
- utiliser le DL du terme général, jusqu’à un ordre ACV
- regrouper les termes par paquets, sans changer l’ordre
- effectuer une transformation d’Abel
167
Dans le cas de l’étude d’une série trigonométrique, à quoi faut-il penser ?
- au passage à l’exponentielle complexe
- aux formules trigonométriques
- aux DL
- à Abel
168
Quel est l’ordre des chose à faire si on étudie la convergence d’une série complexe ?
- est-ce que le terme général tend vers 0 ?
- est-ce que les sommes partielles peuvent s’exprimer en tant que telles ? On revient alors au cas d’étude d’une suite simple
- voir si ACV (max 2min30 pour tout tester)
- transformation d’Abel
169
Rappeler le théorème des séries alternées
170
Rappeler la transformation d’Abel et justifier
171
Quelle doit être le réflexe dès qu’on traite des séries ?
Vérifier qu’elle converge avant de l’écrire
172
Que faire si on cherche à établir des résultats sur la somme d’une série ?
Il vaut mieux repasser par les sommes partielles puis passer à la limite
173
À quoi faut-il penser si on étudie une série dont le terme général est une intégrale ?
Il faut souvent chercher un équivalent de cette intégrale
174
Quelles sont les méthodes pour calculer la somme d’une série ?
- se ramener à un télescopage (le plus souvent, notamment si le terme général : est une fraction rationnelle, fait intervenir des logarithmes, fait intervenir des racines, fait intervenir des fonctions trigonométriques)
- écrire la somme comme une série entière appliqué à un point (dans son disque de convergence !)
- utiliser les séries géométriques
- reconnaitre le cas particulier où le terme général est P(n)/n!, avec P un polynôme
- utiliser des intégrales
175
Qu’est-ce que la méthode « se ramener à un télescopage » pour calculer la somme d’une série ?
176
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série est une fraction rationnelle ?
177
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série fait intervenir un logarithme ?
178
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série fait intervenir des racines ?
179
Comment se ramener à un télescopage, pour calculer la somme d’une série, lorsque le terme général cette série fait intervenir des fonctions trigonométriques ?
180
Qu’est-ce que la méthode « reconnaitre le cas particulier où le terme général est P(n)/n!, avec P un polynôme » pour calculer la somme d’une série ?
Il fait faire attention à traiter à part les n < deg(P) premiers termes
181
Qu’est-ce que la méthode « utiliser des intégrales » pour calculer la somme d’une série ?
(L’égalité de la somme c’est une somme géométrique de raison -t)
182
À quelles pistes penser dans un exercice théorique sur les séries ?
+ idée 5 : utiliser la comparaison à une intégrale
Il faut penser à faire intervenir les intégrales dès que le terme général se met sous la forme f(n), avec f monotone de signe constant
183
Quelles sont les propriétés qu’on peut prouver sur la limite f d’une suite de fonctions fn s’il y a CVU ?
Rappeler les théorèmes
184
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite de fonction ne CVU pas ?
- calculer sup|fn-f| (f déterminée par CVS) et montrer que ça ne tend pas vers 0
- trouver une suite xn telle que |fn(xn) - f(xn)| ≥ a > 0
- raisonner pas l’absurde et alors f vérifie une certaine condition alors que non
185
Quelles sont les méthodes pour montrer la CVU d’une série de fonctions ?
- prouver la CVN
- majorer uniformément le reste par une suite tendant vers 0
- penser à utiliser pour cela la majoration du reste par le CSSA
186
Quelles sont les propriétés qu’on peut prouver sur la limite f d’une série de fonctions fn s’il y a CVU ?
Rappeler les théorèmes
187
Comment établir la continuité et la dérivabilité de la somme d’une série de fonctions qui ne CVU pas ?
Il faut revenir à la définition
188
Comment faire si on a une intégrale impropre + une somme infinie (=intégrale impropre d’une somme de série de fonctions) ?
189
Comment faire si on a une intégrale impropre + une somme infinie (=intégrale impropre d’une somme de série de fonctions) ?
