Conduttori

Question 1

Cosa distingue un materiale conduttore da un materiale isolante?

Answer 1

I conduttori sono caratterizzati dal fatto di avere un elevato numero di cariche (elettroni) liberi. Se un conduttore è complessivamente carico e si trova in presenza di un campo esterno, sul conduttore si induce una densità di carica che crea potenziale e campo elettrico in tutto lo spazio (fenomeno dell’induzione elettrostatica).

Question 2

PROPRIETÀ CONDUTTORE IN EQUILIBRIO

Answer 2

Questo vuol dire che le cariche hanno smesso di muoversi e quindi:

1. Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo. Infatti, le cariche si ridispongono sulla superficie proprio in modo da ottenere un campo elettrico interno nullo.
2. Un conduttore V è equipotenziale (in particolare la superficie S).
3. La densità di carica all’interno del conduttore è nulla. (Tautologica con la 1).

Question 3

TEOREMA DI COULOMB (D)

Answer 3

Dice che sul bordo esterno di un conduttore, il campo elettrico è dato da E(S)=sigma(S)/epsilon0 per il versore direzione ortogonale ad S
Per dimostrarlo si utilizza un cilindro con la forma della superficie da considerare e si usa il teorema di Gauss volendo far tendere l’altezza del cilindro a 0.

Question 4

TEOREMA DI LAPLACE (D)

Answer 4

Se per ipotesi una funzione è costante lungo la superficie che si vuole considerare, allora l’equazione di Laplace ha una soluzione unica.
Per dimostrarlo prendo f1 e f2 e h = f1 – f2 e uso il teorema del flusso nullo(?) e il teorema della divergenza.

Question 5

CAPACITÀ DEL CONDUTTORE (D)

Answer 5

Si abbia un conduttore in assenza di un campo esterno. Dato un volume V, per il teorema di Laplace, abbiamo una soluzione unica φ. Se esistesse altra distribuzione di carica Q’, si calcola phi’ in funzione di phi. si dice che la legge è uguale a quella col campo elettrico e poi si usa il teorema di Gauss sulla superficie mostrando quindi che il rapporto tra cariche e diff. di pot. è uguale.
IMPORTANTE: La carica Q determina univocamente la distribuzione di carica.

Question 6

EFFETTO PUNTA (D)

Answer 6

Su un conduttore, il campo elettrico è maggiore dove il raggio di curvatura è più piccola.
Prendiamo due sfere come esempio (e quindi tali che Q=4πr^2 σ) e usiamo il fatto che il potenziale su una superficie è costante. Allora scrivo i due potenziali coulombiani equivalenti e ricavo il rapporto tra cariche e raggi. Allora poi trovo rapporto tra campo elettrico e raggi, riscrivendo il campo elettrico coulombiano.

Question 7

ENERGIA ELETTROSTATICA DI UN SET DI CONDUTTORI (D)

Answer 7

Facile partendo dalla definizione di Energia e usando il fatto che per ogni conduttore, ho un potenziale costante e la densità di carica è non nulla solo su Vj.
I conduttori devono essere ISOLATI TRA LORO.

Question 8

GABBIA DI FARADAY

Answer 8

Dal teorema di Laplace, ho un unica soluzione phi = phi0 e quindi il campo elettrico è nullo nel volume interno, considerandolo interno ad un conduttore che ha potenziale phi0 ovunque.

Question 9

CONDENSATORI

Answer 9

Sono una coppia di conduttori tali che tutte le linee di campo di uno terminano nell’altro. Quindi se ho due conduttori uno interno all’altro, le cariche sommano a 0 visto che fuori dal conduttore più grande non ho campo elettrico.
La capacità di un condensatore è una costante definita come Q diviso la differenza di potenziale tra i due conduttori che formano il condensatore.
La carica di un condensatore varia con continuità: Q(t) = integrale da t0 a t di I() ds + Q(t0).

Question 10

CONDENSATORE PIANO IDEALE (D)

Answer 10

Si ricorda che il campo elettrico generato da un singolo piano è sigma/2epsilon0. Si scrive la differenza di potenziale come Eh, si scrive E come trovato e ricordando che la carica è roA, si ottiene C = epsilon0A/h. Ne deriva l’energia elettrostatica.

Question 11

CONDENSATORI IN SERIE (D)

Answer 11

La capacità è definita come nei conduttori e in serie vuol dire che passa la stessa corrente e che quindi hanno la stessa carica.
Il reciproco della capacità totale è la somma dei reciproci.

Question 12

CONDENSATORI IN PARALLELO (D)

Answer 12

Sono tanti condensatori che uniscono A e B in tanti modi.

La capacità totale è la somma delle capacità.

Question 13

CORRENTE ELETTRICA

Answer 13

Supponiamo di avere delle cariche che fluiscono in un conduttore filiforme.
Si definisce la corrente I come la carica che attraversa la sezione di un filo nell’unità di tempo. Ragioneremo con la corrente in termini di cariche positive.

Question 14

DENSITÀ DI CORRENTE E CORRELAZIONE CON VELOCITÀ (D)

Answer 14

La densità di corrente è la corrente che attraversa l’unità di superficie con la stessa direzione della velocità delle cariche e si indica con j. Infatti dI = j scalare dsigma.
J = rov deriva dalla definizione di corrente e dal calcolare la carica passante in un volume di parallelepipedo “infinitesimo” deltax per dA, con deltax =vdeltat.

Question 15

TRE TIPI DI VELOCITA RIGUARDO LE CORRENTI

Answer 15

1. La velocità di deriva è quella di cui ci siamo occupati e corrisponde alla velocità media lungo il conduttore (10^-5 m/s)
2. La velocità termica si ricava dalla formula dell’energia cinetica del moto termico (3/2kT^2=1/2mv^2) che per T = 300K da 10^5 m/s.
3. La velocità di propagazione del segnale che corrisponde alla risposta di una lampada quando viene accesa, che è approssimabile alla velocità della luce.

Question 16

POSTULATO CONSERVAZIONE LOCALE DELLA CARICA ED EQUAZIONE DI CONTINUITÀ (D)

Answer 16

Postulato della conservazione locale della carica è che se in un volume V durante deltat la carica diminuisce di deltaQ, allora durante lo stesso intervallo una carica deltaQ deve aver attraversato il bordo di V.
Scrivendolo in formule e poi usando il teorema della divergenza, si ottiene l’equazione di continuità, ovvero ∂ρ/∂t+¯∇∙¯j=0 .
È un’equazione relativistica che vale in ogni sistema di riferimento inerziale.

Question 17

LEGGE DI CONSERVAZIONE GLOBALE DELLA CARICA

Answer 17

Prendendo il limite per V che tende ad R3 dell’eq. di continuità, supponendo che j vada a 0 abbastanza in fretta si ottiene che dQ/dt = 0, ovvero che la carica totale dell’universo si conserva.

Question 18

LEGGE DI OHM (D)

Answer 18

Dice che il potenziale tra due punti divisi da una resistenza è RI. Deriva dallo scrivere la velocità media di un elettrone, che dà luogo ad una densità di corrente (in funzione del campo elettrico) e poi scrivo la differenza di potenziale come EL (L distanza), ottenendo RI, con R insieme di robe costanti.

Question 19

EFFETTO JOULE

Answer 19

Sapendo la definizione di energia potenziale e quindi di lavoro, scrivo la potenza associata e quindi la potenza associata ad un resistore ohmico, la quale si trasforma in calore che porta a scaldare il conduttore (fenomeno chiamato appunto effetto joule).

Question 20

GENERATORI DI DIFFERENZA DI POTENZIALE

Answer 20

Il generatore crea una differenza di potenziale di origine non elettrostatica. Nel generatore agisce una forza F caratterizzata dalla forza elettromotrice, ovvero il lavoro svolto dal generatore per unità di carica che lo attraversa. Si definisce quindi la potenza del generatore come Energia per far partire le cariche moltiplicato per l’intensità di corrente (quindi w = ƐI).

Question 21

LEGGI DI KIRCKHOFF

Answer 21

1. Per ogni nodo vale che la somma algebrica delle correnti è nulla.
2. Per ogni maglia vale che la somma algebrica delle differenze di potenziale è nulla.
   La prima segue dalla conservazione della carica, la seconda dalla conservazione dell’energia lungo la maglia.

Question 22

PROCESSO DI CARICA DI UN CONDENSATORE

Answer 22

Consideriamo circuito con Condensatore, resistenza e generatore. All’inizio il condensatore è scarico. Si scrive l’equazione differenziale del circuito in Q ricordando che I è la derivata di Q, si ricava Q(infinito) e sapendo Q(0) si scrive l’equazione differenziale Q(t) = epsilon*C(1-e^t/RC) (RC deriva dal fatto che era a denominatore di Q).

Question 23

PROCESSO DI SCARICA DI UN CONDENSATORE

Answer 23

Consideriamo circuito con Condensatore, resistenza. All’inizio il condensatore è carico con carica Q0. Si scrive l’equazione differenziale del circuito in Q ricordando che I è meno la derivata di Q (essendo una corrente di scarica) e quindi si ottiene che Q(t) = Q0*e^-t/RC.