Magnetostatica

Question 1

CARATTERISTICHE NOTATE DA ORSTED

Answer 1

Scoprì che un filo percorso da corrente agisce su un ago magnetico allo stesso modo dei magneti. Emersero quindi le seguenti caratteristiche dell’azione magnetica:

1. Si esercita (anche) su oggetti complessivamente scarichi.
2. Viene generata da cariche in moto
3. Per il principio di azione e reazione, deve dunque agire anche su cariche in moto.

Question 2

FORZA DI LORENTZ E CAMPO MAGNETICO (D)

Answer 2

Si scrive F proporzionale a q e lineare in v e poi, siccome la forza lascia la velocità costante, si usa il teorema dell’energia cinetica e il fatto che dT = dL, si scompone la matrice in due matrici Aij + Aji in modo da ottenere che Aij è antisimmetrica e infine si usa la dualità di Hodge, ottenendo la notazione vettoriale:
¯F=q¯vׯB

Question 3

EQUAZIONE DI LORENTZ E LAVORO CAMPO MAGNETICO

Answer 3

In presenza di un campo elettrico, una particella deve soddisfare l’equazione di Lorentz:
¯F=q(E ̅+¯vׯB). Per come è definita, essendo dr = v*dt, la forza di Lorentz non compie lavoro (e quindi neanche il campo magnetico).

Question 4

AZIONE DEL CAMPO MAGNETICO SU CORRENTI

Answer 4

La forza esercitata su un volume dV di densità di corrente j si ottiene scrivendo dq=ro*dV e rov=j. Si ottiene quindi: ¯dF=¯jׯB dV

Question 5

SECONDA LEGGE ELEMENTARE DI LAPLACE

Answer 5

Invece la forza esercitata (a causa di un campo magnetico) su un tratto di filo dr percorso da corrente I si ottiene scrivendo dV=Sdr e jS=I. Si ottiene così: dF=Idr×B .
Quindi se ho due fili vicini, un filo genera campo magnetico che genera forza che viene esercitata su un tratto del secondo filo in cui passa corrente I.

Question 6

TEOREMA SPIRA CHIUSA (D)

Answer 6

dr è una forma esatta e quindi una spira chiusa percorsa da una corrente I in presenza di un campo magnetico uniforme, percepisce una forza totale nulla.

Question 7

MOMENTO DI DIPOLO MAGNETICO

Answer 7

Data una densità di corrente j, si definisce il suo momento di dipolo magnetico come il vettore ¯μ=1/2 ∫▒¯x×j ̅(¯x) d^3 x .

Question 8

TRE ESEMPI FONDAMENTALI MOMENTO DI DIPOLO MAGNETICO

Answer 8

1. Nel caso di una spira percorsa da una corrente I si ha che mu=ISigmabar. Bisogna mostrare che, nel caso di una spira piana, Sigmabar è nvettore per A e quindi mu = IA.
2. Nel caso di un corpo carico uniformemente ruotante, con densità di carica ro, massa totale M e carica totale Q, poiché il momento angolare è dato da ¯L=∫▒¯xׯ(ρ_m ) ¯v(¯x)d^3 x , con rom densità di massa ¯(ρ_m )=M/Q ρ ̅ per uniformità, vale che ¯μ=Q/2M ¯L .
3. Per quanto riguarda l’elettrone, possiede uno spin (ovvero il momento angolare intrinseco) che è L = h(tagliato)/2. Si ottiene, a causa di effetti relativistici, che il momento vale (e*h(tagliato))/2m, invece che /4m come verrebbe usando la definizione.

Question 9

TRE TEOREMI SUL MOMENTO MAGNETICO (D, D)

Answer 9

Sia dato un sistema di cariche con densità di corrente j. Allora:

1. Se sul supporto di j, B può essere considerato costante, allora B esercita sul sistema il momento meccanico M = mu x B. Il momento meccanico è definito come l’integrale del prodotto vettoriale tra r e dF. Si dimostra per una spira: uso il teorema di dualità di Hodge dopo aver mostrato che la matrice è antisimmetrica e poi si fa scrivendo la definizione di momento, usando la proprietà del prodotto scalare e usando il fatto che dr con B costante è esatto e quindi integrale sulla curva fa 0.
2. Se sul supporto di j le derivate j-esime di B possono essere considerate costanti, allora B esercita sul sistema la forza F=-grad(Um) con U_m=-¯μ∙¯B . Per dimostrarlo, scrivo B come espansione di Taylor su j e poi ottengo qualcosa come F = derivata di (mu*B).
3. Il sistema possiede l’energia potenziale meccanica Um, ovvero il lavoro meccanico svolto da B vale Lm=-deltaUm, purchè Bi e diBi varino poco sul supporto di j.

Question 10

EQUILIBRIO ANGOLARE DI UN SISTEMA

Answer 10

Il sistema si trova in equilibrio angolare quando il momento meccanico (considerando B costante sul supporto di j) è 0. Se mu è parallelo a B, il sistema è in equilibrio stabile, se è antiparallelo, il sistema è in equilibrio instabile.

Question 11

FREQUENZA DI CICLOTRONE

Answer 11

Se consideriamo una carica q che si muove in presenza di un campo magnetico costante (WLOG consideriamo B sull’asse z e v=(vperp,0,vparallela). Allora ¯w=-(q¯B)/m il cui modulo si chiama frequenza di ciclotrone. Scrivendo l’equazione di newton si arriva ad ottenere che in presenza di un campo magnetico costante e uniforme, una carica compie un moto ad elica di frequenza w, periodo T e raggio R=vperp/w. Il passo d’elica è costante e vale deltaz=vparallela*T. Per determinare in modo esplicito vx e vy bisogna risolvere l’equazione differenziale.

Question 12

EQUAZIONI FONDAMENTALI DELLA MAGNESTOSTATICA

Answer 12

In che modo una densità di corrente genera un campo magnetico? Poniamo j(t,x) = j(x) e ro(t,x) = ro(x). Allora l’equazione di continuità impone l’importante vincolo: divergenza di j = 0.

Question 13

ASSENZA DI CARICHE MAGNETICHE

Answer 13

Ipotizzando che il campo magnetico soddisfi equazioni analoghe a quelle del campo elettrico e sapendo che in natura il campo magnetostatico decresce sempre come 1/r^3, per il teorema del flusso nullo si ha che la carica magnetica totale di qualsiasi sistema fisico è zero. Ciò significa che in natura non esistono cariche magnetiche e quindi le equazioni fondamentali sono:
Divergenza di B = 0 (oppure Integrale di B dsigma = 0), che è un’equazione fondamentale della magnetostatica.
Campi con queste caratteristiche si chiamano Solenoidali.

Question 14

LEGGE DI BIOT-SAVART

Answer 14

Supponiamo di avere un filo rettilineo rivolto verso l’asse z percorso da una corrente I. Sperimentalmente si trova che le linee di campo B sono cerchi concentrici con il filo, il modulo di B è proporzionale a 1/r e a I. Ne deriva quindi la legge di Biot-Savart:
¯B=(μ_0 I)/2πr ¯(u_φ ) dove phi è la coordinata cilindrica: (x,y,z) diventa (r,phi,z).

Question 15

TEOREMA FLUSSO CAMPO MAGNETICO (D)

Answer 15

Sia B il campo magnetico di un filo infinito e gamma una qualsiasi curva chiusa. Allora vale:
∫_γ^.▒¯B∙d¯s=μ_0 I se gamma si avvolge attorno al filo. Infatti, scrivendo ds in coordinate cilindriche come dzuz+drur+rdphiuphi, si ottiene giusto.
∫_γ^.▒¯B∙d¯s=0 se gamma non si avvolge attorno al filo. Infatti, riutilizzando il procedimento di prima, alla fine si ottiene che si devono sommare due pezzi discordi che si annullano sempre tra loro.
Funziona come il teorema di Gauss all’incirca, con i flussi infinitesimi di campo magnetico che si cancellano.

Question 16

Definizione di Campo Vettoriale Solenoidale

Answer 16

Un campo vettoriale continuo in un insieme aperto A si definisce solenoidale se il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa S è nullo (e quindi se il flusso attraverso una qualsiasi superficie S dipende solo dal bordo della superficie).

Question 17

LEGGE DI AMPERE (D)

Answer 17

La legge di Ampere stabilisce il modo in cui una densità di corrente j crea un campo magnetico. Si dimostra usando tre estrapolazioni:
Suppongo valga il principio di sovrapposizione e quindi se ho tanti fili, la corrente totale si ha in corrispondenza dei fili concatenati a gamma.
Supponiamo che la formula valga per fili di qualsiasi forma.
Supponiamo che la formula valga anche per correnti distribuite con continuità, e quindi I_γ=∫_(S|dS=γ)^.▒¯j∙d¯Σ . Vogliamo dimostrare però che è indipendente dalla superficie S scelta che ha come bordo gamma: Prendo allora la sottrazione tra Igamma e I’gamma e uso il teorema della divergenza (ricordando l’equazione di continuità a tempo fisso).
Posso riscrivere la legge di Ampere utilizzando il teorema del rotore. Ottengo quindi: Il rotore di B è mu0 * j(x) che è un’equazione fondamentale della magnetostatica.

Question 18

SOLUZIONI EQUAZIONI FONDAMENTALI DELLA MAGNETOSTATICA

Answer 18

L’equazione gradiente di B = 0 ha soluzione generale B = rotore di A0, per un generico A0 chiamato “potenziale vettore”. Tale soluzione non è unica perchè se prendo A = a0+gradiente di C, per un arbitrario campo scalare C, allora vale sempre B = rotore di A (per invarianza di Gauge). è sempre possibile scegliere C tale che la divergenza di A sia 0. Dobbiamo dunque risolvere il sistema:
1. B = rotore di A
2. Divergenza di A = 0
3. Rotore di B = mu0 * j(x).
Riscrivendo l’ultima e usando la prima, si ottiene che il gradiente della divergenza di A - il gradiente quadro di A - mu0*j(x) = 0. Quindi usando la 2 e usando sapendo che l’eq. di Poisson ha soluzione unica, allora trovo A. Sapendo poi che B = rotore di A, calcolo la derivata xj-esima della parte in x di A e faccio il prodotto vettoriale con A.

Question 19

PRIMA LEGGE ELEMENTARE DI LAPLACE

Answer 19

Un tratto di filo dr percorso da una corrente I genera in un punto distante Rvettore il campo B infinitesimo derivante dalla soluzione fondamentale: d¯B=(μ_0 I)/4π (d¯rׯR)/R^3 .

Question 20

FORZA TRA FILI INFINITI

Answer 20

è attrattiva se la corrente scorre concordemente e si calcola con la seconda legge elementare di Laplace, considerando B il campo magnetico generato dall’altro filo con la legge quindi di Biot-Savart.

Question 21

CAMPO DI DIPOLO MAGNETICO

Answer 21

mistero.

Question 22

FUNZIONAMENTO DELLA BUSSOLA

Answer 22

Se ho una bussola appartenente ad xy e campo magnetico appartenente ad xz, la bussola si orienta per minimizzare l’energia potenziale compatibilmente con il vincolo di appartenere a xy. La bussola lungo l’asse x dunque si orienta parallela alla proiezione di B sull’asse x. Ed è sempre la componente lungo l’asse x che fa ruotare la bussola (si ottiene calcolando esplicitamente la coordinata z del momento meccanico). Quindi è la componente tangenziale alla terra che ruota la bussola.
Il campo magnetico della terra ha permesso all’atmosfera della terra di non svanire, in quanto protegge dal vento solare.

Question 23

FORZA TRA MAGNETI

Answer 23

Consideriamo due magneti con momenti magnetici con lo stesso verso rivolto verso l’asse z crescente. Sia F la forza che mu1 esercita su mu2 e B il campo magnetico generato da mu1. Allora F=-grad(Um)=grad(mu2scalareB) e quindi la componente z della forza è mu2*(derivataz-esima di B) ma chiaramente B è funzione decrescente di z, quindi Fz<0 e la forza è attrattiva (essendo la forza che quello sotto esercita su quello sopra).

Question 24

PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO DELL’ELETTROMAGNETE

Answer 24

Un elettromagnete è un dispositivo in grado di produrre intensi campi magnetici. Un solenoide produce campi magnetici di modesta intensità B0. Per ovviare a questo problema, si può introdurre nel solenoide un materiale detto ferromagnete (nichel, ferro,…) che è materiale con elettroni con momento magnetico che si può posizionare concordemente al campo magnetico esterno. In assenza di campo esterno, le direzioni dei momenti di dipolo degli elettroni hanno media totale 0 (essendo random). In presenza di campo esterno, molti momenti si orientano lungo B0 e danno luogo ad un momento non indifferente che genera a sua volta un campo magnetico concorde con B0. Sperimentalmente si trova che lo potenzia di 10^3.
Per far uscire il campo magnetico dal solenoide, si può utilizzare un circuito a ferro di cavallo (siccome integrale di Bscalaredsigma è 0, le linee di campo B si mantengono forti anche nel vuoto):