Elettrostatica Flashcards
(21 cards)
TEOREMA DELLA DUALITA DI HODGE
DIMOSTRAZIONE
Data una matrice 3x3 antisimmetrica esiste un unico vettore B tale che:
- Aij=EijkBk
- Bi = 1/2*EijkAjk
TEOREMA DEL FLUSSO NULLO
DIMOSTRAZIONE
Se il campo è minore o uguale di una costante fratto r^3, allora la divergenza del campo su R3 vale 0.
Si dimostra dicendo che il modulo dell’integrale sui vettori di modulo R è minore dell’integrale del modulo, poi scrivo darea come r^2domega con omega angolo solido e poi tutto questo è minore uguale della stessa roba posto r=R.
FORZA CONSERVATIVA
Una forza POSIZIONALE F si dice conservativa se (TFAE):
- Il rotore è 0.
- esiste potenziale della forza che è -gradienteF
- esiste potenziale tale che lavoro è -deltaPotenziale
- Integrale lungo una curva non dipende dalla curva
- L’integrale lungo una qualsiasi curva chiusa è sempre 0.
3 CARATTERISTICHE FONDAMENTALI DELLA CARICA ELETTRICA
- La carica è quantizzata, ovvero è un multiplo intero di elettroni i quali sono formati da 3 quark uud (u=2/3, d=-1/3), mentre i protoni da udd
- La carica si conserva in tutti i processi fisici.
- La carica è invariante relativistica, ovvero non dipende dal sistema di riferimento inerziale.
LEGGE DI COULOMB
La forza di Coulomb è a simmetria sferica e centrale (e quindi conservativa), F12 = -F21 e a grandi distanze va come il reciproco del quadrato della distanza.
Vale ovviamente il principio di sovrapposizione.
CAMPO ELETTRICO
È definito come il rapporto tra la forza di Coulomb e la carica di prova che sarebbe nel punto in cui si calcola la forza.
Campo Coulombiano è campo elettrico generato da una carica Q posta nell’origine O.
Il rotore del campo elettrico è 0 perché deriva dalla forza conservativa di Coulomb.
POTENZIALE ELETTRICO (D)
È definito come la funzione tale che l’inverso della derivata restituisce il campo elettrico. È una funzione scalare e per calcolare la derivata si possono guardare le singole componenti.
DENSITÀ DI CARICA E DISTRIBUZIONE
La distribuzione di carica è definita come la funzione tale che Q_tot è l’integrale di questa funzione integrata su tutto V.
Quando si passa alle equazioni continue, si ha quindi qj = integrale ρ(y) d^3 y
ANDAMENTI ASINTOTICI (D)
- La divergenza al finito per x che tende a y è fittizia perché basta cambiare variabile con y = y+x e andando in coordinate polari si risolve.
- Se y tende all’infinito, basta prendere ro a supporto compatto.
- Per x che tende ad infinito, considero sempre ro a supporto compatto e noto che x-y e quindi è circa x e quindi viene che a grandi distanze il campo si comporta come un campo Coulombiano.
LINEE DI CAMPO
Dato un campo vettoriale di classe C infinito, e che non si annulli mai, esiste una sola curva integrale x(lambda) passante per un punto y in R3 che soddisfi il sistema:
1. differenziale di x(lambda) su lambda è W(x(lambda))
2. x(0) = y.
Il teorema si applica anche per il campo elettrico (SEMPRE NEI PUNTI DOVE NON SI ANNULLA).
Vanno dalle cariche positive alle cariche negative.
SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE (D)
La superficie equipotenziale per un campo elettrico è una superficie in cui il potenziale è costante.
Su una superficie equipotenziale S il campo elettrico è ortogonale:
Si usa il fatto che il DIFFERENZIALE del potenziale su x(lambda) per ipotesi è 0.
ANGOLO SOLIDO (D)
L’angolo solido è il rapporto tra dA e raggio al quadrato da un punto fisso che chiamiamo origine e indica quindi l’apertura angolare del cono.
Si ottiene dA=r^2 dΩ e quindi integrando su una sfera si ha integrale dΩ=4π.
Poi voglio dimostrare che u scalare dsigma è dA (lo faccio usando il fatto che n scalare u è cosalfa)
TEOREMA DI GAUSS (D)
Si guarda il flusso infinitesimo e si considera quando la carica è interna al volume e quando è esterna e poi si usa il principio di sovrapposizione per generalizzare.
Il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa uguaglia la carica racchiusa dalla superficie diviso Ɛ_0
EQUAZIONI FONDAMENTALI DELL’ELETTROSTATICA
Equazione di Coulomb: direttamente dal teorema di Gauss.
Equazione del rotore: direttamente dal fatto che E è campo conservativo.
EQUAZIONE DI POISSON (D)
Le equazioni fondamentali corrispondono all’equazione di Poisson:
-∇^2 φ=ρ/ε_0 che ha sempre soluzione: φ=1/(4πε_0 ) ∫(ρ(¯y)d^3 y)/(|¯x-¯y|) . Dimostro che ha soluzione usando il fatto che il rotore di E è 0, quindi è conservativo e quindi esiste potenziale elettrostatico. L’altro argomento è uguale al contrario.
EQUAZIONE DI LAPLACE (D)
∇^2 f=0 con f che va come 1/r non ammette soluzioni se non l’unica f = 0. Lo dimostro usando il teorema del flusso nullo su divergenza di f*grad(f).
ENERGIA ELETTROSTATICA DEL CAMPO ELETTRICO
So che F è conservativa, e quindi esiste funzione potenziale tale che F = -∇U, con U definita come “energia potenziale” che quindi corrisponde al potenziale elettrico per la carica.
In formule si ha che U=qφ .
ENERGIA DI DISTRIBUZIONI PUNTIFORMI E CONTINUE (D)
L’energia potenziale di un sistema di cariche è:
U=1/(8πε_0 ) ∑_(i≠j)▒(q_i q_j)/|r_ij | .
Si ottiene scrivendo che il lavoro infinitesimo è sommatoria su j di Fj scalare drj ma poi, siccome Fj è somma per i diversa da j, allora il lavoro è sommatoria doppia di i e j con i diverso da j e poi si scrive come 1/2 della mini sommatoria che risulta essere d(rj-ri). Si usa il fatto che a scalare da = ada e che df/f^2 = -d(1/f) e in questo modo ottengo -d(…) = lavoro infinitesimo. Allora l’argomento è l’energia elettrostatica.
L’energia elettrostatica di rij è il lavoro che compie il campo elettrico per spostare tutte le cariche da ri ad infinito
CONSERVAZIONE ENERGIA IN PRESENZA DI CAMPO ESTERNO (D)
Vale che l’energia meccanica si conserva. L’energia meccanica è descritta, in presenza di un campo esterno, da energia cinetica + energia potenziale dovuta alla presenza delle altre cariche + il potenziale dovuto al campo elettrico esterno (che è somma di qj*phi(rj)).
DENSITÀ DI ENERGIA ELETTROSTATICA (D)
Estrapolando l’energia potenziale di un sistema di cariche al caso di una distribuzione continua di cariche ro, si ottiene U_e=1/2 ∫▒〖ρ(¯x)φ(¯x)d^3 x〗 .
Usando poi l’equazione di Coulomb per ro e la regola del prodotto con la divergenza al contrario trovo che l’energia potenziale può essere descritta in funzione dell’integrale della densità di energia elettrostatica (che è localizzata in ogni punto x).
CAMPO DI DIPOLO ELETTRICO
mistero
