Onde elettromagnetiche Flashcards
(7 cards)
Cosa si intende per un’onda progressiva che si propaga con velocità v?
Un’onda si dice progressiva se si propaga nel verso positivo delle x. Per esempio F(x-vt) è un’onda progressiva che si propaga in direzione x con velocità v.
Qual è la soluzione generale dell’equazione delle onde unidimensionale? (D)
Considero f(t,x) e considero il d'alambertiano di f = 0. Faccio un cambio di variabili con t in x-vt e x in x+vt e ponendo il d'alambertiano uguale a zero ottengo delle condizioni sulle sue derivate in modo da avere che in generale: f(t,x) = G(x+vt) + F(x-vt) che è soluzione generale delle onde.
Che legame sussiste tra la soluzione generale e le onde monocromatiche? Quali sono le caratteristiche delle onde monocromatiche? Qual è il significato delle grandezze v, ω, k, T, λ e come sono legate tra loro?
Le onde monocromatiche sono onde sinusoidali di frequenza costante e durata infinita.
La soluzione generale delle onde in D=1 può essere scritta come sovrapposizione lineare continua di onde monocromatiche, ovvero funzioni definite così:
fk(t,x) = Re[e^i(wt-kx)fo(k)], dove w indica la frequenza d’onda. In notazione complessa diventa:
fk(t,x) = A(k)cos(wt-kx+alfa(k)), dove A è ampiezza, k è numero d’onda, lambda = 2pi/k lunghezza d’onda e phi = wt-kx fase.
Si dia una base completa di soluzioni dell’equazione delle onde tridimensionali. Cosa si intende per onda piana? Qual è il significato del vettore d’onda k?
Cerchiamo un tipo particolare di soluzioni partendo dall’onda monocromatica fk(t,x) con k vettore perchè è tridimensionale e al posto di kx c’è k scalare x vettori. Pongo d’alambertiano uguale a 0 e trovo che v = wk. Queste mi danno una base di soluzioni. Siccome ho questo prodotto scalare, sostanzialmente k mi dà la direzione di propagazione dell’onda.
Sono onde piane perchè il luogo geometrico in cui fk(t,x) assume velocità costante è un piano.
A partire dalle equazioni di Maxwell nel vuoto si deduca che E e B soddisfano l’equazione delle onde tridimensionale, con v = c. Che conclusione se ne può trarre?
A partire da E e B scritte come onde monocromatiche, dimostrare le equazioni di Maxwell nel vuoto.
Calcolo il rotore di un eq. di Maxwell nel vuoto (quella col rotore di E) ponendola uguale a 0 (poichè il rotore di 0 è 0) ricordandomi che il rotore del rotore è meno gradiente quadro più il gradiente della divergenza e poi uso l’eq. di Maxwell nel vuoto per il rotore del campo magnetico. Così ottengo il d’alambertiano e dimostro che E e B sono sovrapposizione di onde monocromatiche.
Dal porre le divergenze uguali a 0 ottengo che il campo elettrico e il campo magnetico sono ortogonali a k.
Dall’eq. di Maxwell col rotore ottengo che B è ortogonale ad E e che B ed E hanno lo stesso modulo.
Quali sono le proprietà dei campi E e B risultanti? Qual è la direzione del vettore di Poynting associato?
- Sono onde monocromatiche
- Hanno velocità di propagazione c = 1/sqrt(mu0epsilon0)
- Sono onde trasverse (B ed E sono ortogonali alla direzione di propagazione)
- E è ortogonale a B
- E ha lo stesso modulo di B
- B(t,x) è completamente determinato da E(t,x) (si deriva dallo studiare l’eq. di Maxwell del rotore) e viceversa
- Si dice che B ed E sono polarizzati, se, per dei valori fissati, si è in grado di descrivere con una funzione il loro vettore d’onda e quindi il loro cambio di direzione (per esempio, se E0 e k sono fiddati, la punta di E, a x fissato disegna un’ellisse, a t fissato descrive un’elica). Sostanzialmente oscillano sempre lungo la stessa direzione e in particolare, si dice che è polarizzata linearmente se LA DIREZIONE DELLA PERTURBAZIONE è costante nel tempo.
Un’onda si dice polarizzata linearmente se E0 è reale, e quindi E(t,x) = E0*cos(wt-kscalarex). Quindi (?) la direzione di E è costante. - Trasporto di energia: è definito da S = c(prodotto vettoriale tra E e B) = cE^2*n(vettore) che è detto vettore di Poynting ed ha direzione lungo la direzione di propagazione. L’intensità dell’onda corrisponde al modulo del vettore di Poynitng, cioè l’energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione, nell’unità di tempo, o meglio, è il valore medio del modulo del vettore di Poynting calcolato su un periodo.
Quali sono le osservazioni sperimentali che hanno portato Maxwell a identificare la luce come un fenomeno elettromagnetico?
Fino ad allora si sapeva che, riguardo alla luce:
- Era un fenomeno ondulatorio (esperimento di Young)
- Era un fenomeno trasverso (esperimento dei polarizzatori), ovvero è sensibile alla direzione
- Si propaga con velocità c.
